[PDF] Dérivation - Correction Domaine de définition : Aucune

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Dérivation - Correction

Exercice 1

1.

La fonction f(x) = 2x3est-elle dérivable en 0?

f(x)f(0)x0=2x3 + 3x =2xx = 2 Donc, la fonctionf(x) = 2x3est dérivable en 0 et vaut 2. 2. La fonction g(x) =2x2+x2est-elle dérivable en -1? 3. La fonction h(x) = 2x3x2+ 2x1est-elle dérivable en 3?

Exercice 2

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

1.f(x) =x6+ 2x4+ 4x32x2x2

f

0(x) = 6x5+ 8x3+ 13x24x1

2.g(x) =x2+3x1x2

Posons :u=x2+ 3x1etv=x2.

On a donc :u0=2x+ 3etv0= 1.

g

0(x) =(2x+ 3)(x2)(x2+ 3x1)1(x2)2=2x2+ 4x+ 3x6 +x23x+ 1(x2)2=x2+ 4x5(x2)2

3.h(x) =3x3x2+x+1x

2+4x1

Posons :u= 3x3x2+x+ 1etv=x2+ 4x1.

On a donc :u0= 9x22x+ 1etv0= 2x+ 4.

h

0(x) =(9x22x+ 1)(x2+ 4x1)(3x3x2+x+ 1)(2x+ 4)(x2+ 4x1)2

h

0(x) =9x4+ 36x39x22x38x2+ 2x+x2+ 4x1(6x4+ 12x32x34x2+ 2x2+ 4x+ 2x+ 4)(x2+ 4x1)2

On change les signes de la parenthèse car on a un signe- devant. h

0(x) =9x4+ 36x39x22x38x2+ 2x+x2+ 4x16x412x3+ 2x3+ 4x22x24x2x4(x2+ 4x1)2

Puis ont calcule, sans se tromper.

h

0(x) =3x4+ 24x314x25(x2+ 4x1)2

Exercice 3

Etudier les fonctions suivantes :

1www.mathsbook.fr

1.f(x) =x2+ 4x1Domainededéfinition : Aucune valeur interdite, donc :Df=R.Dérivée :

f

0(x) = 2x+ 4Tableaudevariations :

f

0(x) = 0()2x+ 4 = 0()x=2

La dérivée s"annule pourx=2.

Et :f(2) = 481 =5.

Ce qui nous donne le tableau de variations suivant.x ???2 f 0(x) 0 f(x) ?5Représentationgraphique : 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6

12-1-2-3-4-5-6-7

O ??2.g(x) =x3+ 3x2+x4Domainededéfinition :Aucune valeur interdite, donc :Dg=R.Dérivée : g

0(x) =3x2+ 6x+ 1Tableaudevariations : Trouvons les racines du polynôme dérivée de la fonctiongen calculant le.

= 364(3)1 = 36 + 12 = 48

On a :p =

p48 = p163 = 4p3.

Les racines deg0(x)sont donc :

x

1=6 + 4p3

6=32p3

3 x

2=64p3

6=3 + 2p3

3

2www.mathsbook.fr

De plus,g(32p3

3 ) =4;08etg(3+2p3 3 ) = 2;08.

D"où le tableau de variations suivant :x

x1 x2 g ?(x) g(x) ?4;?8

2;?8Représentationgraphique :

1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

12345-1-2-3

??3.h(x) =x2+4x3x+3Domainededéfinition : On a une fraction. Qui dit fraction dit valeur interdite car le dénominateur contient l"incon-

nuex. Le dénominateur doit être différent de 0. x+ 36= 0()x6=3Dérivée : La dérivée d"un quotient, rien de plus simple.

On a :u=x2+ 4x3etv=x+ 3.

Donc :u0=2x+ 4etv0= 1.

h

0(x) =(2x+ 4)(x+ 3)(x2+ 4x3)1(x+ 3)2=2x26x+ 4x+ 12 +x24x+ 3(x+ 3)2=x26x+ 15(x+ 3)2Tableaudevariations : Le dénominateur étant un carré, toujours positif, le signe de la dérivée est le signe du

numérateur. SoitP(x) =x26x+ 15le numérateur de la dérivée.

Les racines dePsont facilement calculables.

= 364(1)15 = 36 + 60 = 96

On a :

p = p96 = p446 = 4p6.

On a donc les deux racines deP:

x

1=6 + 4p6

2=32p6

x

2=64p6

2=3 + 2p6

Voici donc le fameux tableau de variations, très simple.

3www.mathsbook.fr

x x1?? x2 h 0?x? h?x?Représentationgraphique : ??Exercice 4 1. Calculer les tangen tesen A(0;2)etB(2;2)de la fonctionf(x) = 2x24x+ 3. Calculons la dérivée de cette fonction, nous allons en avoir besoin. f

0(x) = 4x4

On applique bêtement la formule du cours.

y=f0(xA)(xxA) +f(xA) = (4)(x0) + 3 =4x+ 3 y=f0(xB)(xxB) +f(xB) = (84)(x+ 2) + (24 + 8 + 3) =12(x+ 2) + 19 =12x24 + 19 =12x5 2. Calculer les tangen tesen aux p ointsd"abscisses 5 et -2 de la fonction f(x) =x32x2x+ 1. Calculons la dérivée de cette fonction, nous allons en avoir besoin. f

0(x) = 3x24x1

On applique bêtement la formule du cours.

y=f0(5)(x5) +f(5) = (75201)(x5) + (125505 + 1) = 54(x5) + 71 = 54x270 + 71 = 54x199 y=f0(2)(x+ 2) +f(2) = (12 + 81)(x+ 2) + (88 + 2 + 1) = 19(x+ 2)13 = 19x+ 3813 = 19x+ 25

Exercice 5

On considère la fonctionfdéfinie surRpar :

f(x) =x34x2+ 4x 1.

Calculer la dériv éede f.

f

0(x) = 3x28x+ 4

4www.mathsbook.fr

2.Etudier le signe de cette dériv ée.

Calculons, à l"aide de, les racines de ce polynôme dérivé. = 64434 = 16

D"où les racines suivantes :

x

1=8 + 46

= 2 x 1=846 =46 =23

Voici donc le tableau de signes.x

x1 x2 f ?(x) +3.En déduire le tableau de v ariationde la fonction f.

Là où la dérivée est positive, la fonction est croissante, et là où elle est négative, la fonction est décroissante.

x x1 x2 f ?(x) f(x)4.T racerla courb ereprésen tativede la fonction fdans l"intervalle[1;3]. 1 2 3 -1 -2 -3

1234-1-2

O

~|5.Déterminer par calcul les co ordonnéesde sp ointsd"in tersectionde cette c ourbea vecl"axe des abscisses.

Les points d"intersection de la fonction avec l"axe des abscisses sont tout simplement les points où la fonction

s"annule. On le voit aisément sur le graphique (0 et 2), mais on nous demande par calcul, donc calculons. f(x) = 0()x34x2+ 4x= 0()x(x24x+ 4) = 0()x(x2)2= 0 Les solutions de cette équation sont :x= 0oux= 2. En remplaçant dans la fonction, on trouve que l"ordonnée des ces deux points est nulle.

5www.mathsbook.fr

Exercice 6

Soit un rectangle dont le périmètrePest égal à 4cm. 1. Déterminer ses dimensions (Longueur Let largeurl) sachant que son aireSest égale à34 cm2. On sait que le périmètre d"un rectangle de longueurLet de largeurlest :2(L+l) = 4, soitL+l= 2. De plus, l"aire de ce même rectangle est :Ll=34 On a donc un système de deux équations à deux inconnues. Résolvons-le.

L+l= 2()L= 2l

On met tout cela dans la seconde égalité.

Ll=34 ()(2l)l=34 ()2ll2=34 ()l22l+34 = 0

Il nous suffit donc de résoudre cette équation du second degré pour déterminer l"inconnuel, puisL.

Calculons donc le discriminant.

= 44134 = 43 = 1

D"où les racines suivantes.

x

1=2 + 12

=32 x 2=212 =12

Donc,l=32

etL= 2l= 232 =12 oul=12 etL= 2l= 212 =32 2.

On c hercheà présen tles dimens ionsdu rectangle de façon à ce que son taire Ssoit maximale.

(a)

Exprimer Sen fonction del.

D"après la formule de l"aire d"un rectangle :S=lL=l(2-l): (b)

Soit la fo nctiondéfinie sur Rparf(x) =x(2x).

Calculer sa dérivée et le signe de celle-ci afin de dresser le tableau de variation de cette fonctionf. Puis tracer la courbe

représentative de cette fonction dans l"intervalle[0;2]. Calculons la dérivée de cette fonction très simplef(x) =x(2x) = 2xx2. f

0(x) = 22x

Quand cette dérivée s"annule-t-elle?

f

0(x) = 0()22x= 0()2x= 2()x= 1

Dressons donc le tableau de variations de la fonctionf.x +?1 f 0(x) 0 f(x)Et voici donc le tracé de la fonction.

6www.mathsbook.fr

1 2 -1 -2 -3 -4 -5

12345-1-2-3

??(c)En déduire les dimensions d urectangle don tle p érimètrePest égal à 4cm et l"aireSest maximale.

La fonctionfreprésente en fait l"aire du rectangle. Cette aire est maximale quand la fonctionfl"est, c"est à dire quand

sa dérivée s"annule, soit au point de coordonnées(1;1).

On en conclut donc les dimensions du rectangleL=l= 1pour que le périmètre soit égal à4cmet l"aire maximale.

D"ailleurs, ses dimensions se vérifient aisément.

Exercice 7

On considère le fonctions définies surRsuivantes : f(x) =x1 g(x) =x2x1

1.Etudedef:

(a)

Calculer la dériv éede f.

f

0(x) = 1

(b)

Etudier le signe de cette dériv ée.

La dérivée est constante égale à 1, donc toujours positive. (c) En déduire le tableau de v ariationsde la fonction f.

La dérivée est toujours strictement positif, donc la fonction est toujours strictement croissante.

On aurait pu directement le deviner en regardant simplement la fonction vu que c"est une fonction affine.

x f ?(x) f(x)2.Etudedeg: (a)

Calculer la dériv éede g.

On a :u=x2etv=x1.

Donc :u0= 2xetv0= 1.

g

0(x) =2x(x1)x21(x1)2=2x22xx2(x1)2=x22x(x1)2=x(x2)(x1)2

7www.mathsbook.fr

(b)Etudier le signe de cette dériv ée.

Le dénominateur étant strictement positif, car c"est un carré, le signe de la dérivée dépend que du numé-

rateur. Mais quand es-ce que ce numérateur s"annule-t-il? Quant l"un de ses facteurs est nuls.

Soit, pourx= 0oux= 2.

Attention à ne pas oublier lavaleur interditedans le tableau.

Cette valeur interdite est 1.

On a donc le tableau de signe de la dérivée suivant.x ??012 g ?(x) 0 0 +(c)En déduire le tableau de v ariationsde la fonction g. Là où la dérivée est positive, la fonction est croissante. Là où la dérivée est négative, la fonction est décroissante. x ??012 g ?(x) 0 0 g(x)3.Comparaisondesdeuxfonctions : (a)

Graphiquemen t:

i.

T racerles courb esreprésen tativesdes fonctions fetgdans un même repère dans l"intervalle[3;5].

8www.mathsbook.fr

??ii.Quels son tles co ordonnéesdes év entuelsp ointsd"in tersectionsde ces deux courb es?

Par lecture graphique, les deux courbes se coupent en un point, que l"on noteraA, de coordonnéesA(12

;12 (b)

Numériquemen t:

i. Quelle équation faut-il résoudre p ourrép ondreà la question précéden te?

Il faut résoudre :f(x) =g(x).

ii.

La résoudre.

f(x) =g(x)()x1 =x2x1 ()(x1)2=x2()x22x+ 1 =x2 () 2x+ 1 = 0()x=12 On a trouvé lex, on remplace dans une des deux fonctions pour trouver ley.

On retrouve bien le point A de coordonnéesA(12

;12

9www.mathsbook.fr

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