[PDF] smo osm Indication : Déterminer les angles

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smoosm Olympiades Suisses de MathématiquesGéométrie I - Indications

Actualisé: 15 octobre 2016

vers. 1.0.01 Angles dans le triangle

Mise en jambes

1.1 Soit ABCun triangle avecAB=AC, dans lequel la bissectrice de\ABCcoupe perpendiculai- rementAC. Montrer queABCest équilatéral.

Indication :Déterminer les angles enBetC.

Avancé

1.2 Soit ABCun triangle avecAB > AC. La bissectrice de l"angle extérieur enCcoupe la bissectrice de\ABCenD. La parallèle àBCpassant parDcoupeCAenLetABenM.

Montrer queLM=BMCL.

Indication :Montrer queBM=DMet queCL=DL.2 Angles dans le cercle

Mise en jambes

2.1 Les p ointsA,B,CetDse trouvent dans cet ordre sur un cercle. Calculer l"angle\DBAdans les cas suivants : (a)\DCA= 56=)56 (b)\CBD= 39,\ADC= 121=)20 (c)\CBA= 91,\CAD= 13=)78 (d)\ADB= 41,\DCB= 103=)62 (e)\BAD= 140,\ACB= 17=)23 2.2 Soit ABCun triangle etPle deuxième point d"intersection de la bissectrice de\BACavec le cercle circonscrit au triangleABC. Montrer queBPCest un triangle isocèle. Indication :Que peut-on dire de\PBCet de\BCPà l"aide du théorème de l"angle périphé- rique? 1

2.3Soit ABCDun quadrilatère avec\BAD= 131,\DBA= 17et\ACB= 32. Combien vaut

\DCA? Indication :Montrer premièrement queABCDest un quadrilatère inscrit. 2.4 Soit ABCun triangle aveckson cercle circonscrit, de centreO. Soittla tangente àkau point A. Soitsla réflexion de la droiteABpar rapport àt. Montrer quesest une tangente au cercle circonscrit au triangleABO. Indication :Essayer de montrer que l"angle entresetABest égal à\AOB. La fin de la preuve est ensuite une conséquence d"un théorème relatif aux tangentes. 2.5 Soien tAetBdeux points distincts etkle cercle ayant pour diamètreAB. Prouver que les tous les angles inscrits regardantABvalent90. (Un tel cercle est appelécercle de Thalèsdu segment AB.)

Indication :Penser à la médiatrice.

Avancé

2.6 Soit ABCun triangle avecIson centre du cercle inscrit. La droiteCIcoupe le cercle circonscrit du triangleABIune deuxième fois enDetAIcoupe le cercle circonscrit du triangleBCIune deuxième fois enE.

Montrer que les pointsD,EetBsont alignés.

Indication :Déterminer les angles\ABDet\EBCen fonction de,et (définis usuelle- ment) et montrer ensuite que\EBC+\CBA+\ABD= 180. 2.7 Soit ABCun triangle rectangle etMle milieu de l"hypoténuseAB. Montrer queAM=BM= CM. Indication :Remarquer queCse trouve sur le cercle de Thalès deAB. Quel rôle joue alorsM?

Olympiade

2.8 Dans un triangle rectangle ABC, soitMle milieu de l"hypoténuseAB,Hle pied de la hau- teur issue deCetWle point d"intersection deABavec la bissectrice de\ACB. Montrer que \HCW=\WCM. Indication :Regarder le résultat 2.7 et y réfléchir en termes d"angles. 2.9 Les médianes AA0,BB0etCC0du triangleABCcoupent le cercle circonscrit du triangleABC une deuxième fois aux pointsA0,B0respectivementC0(Cette formulation veut automatiquement dire queA0,B0etC0sont les points milieux des côtés du triangleABC). Supposons que le centre de gravitéSest le milieu du segmentAA0. Montrer alors queA0B0C0est un triangle isocèle.

Indication :Il est connu que le centre de gravité partage les médianes dans un rapport 2 :1. Il

est aussi vrai queSA0=AS= 2SA0, ainsiA0est le milieu deSA0. En outre,SA0=A0A0et A

0B=A0C, doncSBA0Cest un parallélogramme. Essayer maintenant de déterminer\C0B0A0

et\A0C0B0en fonction des angles du parallélogramme (Angle périphérique!). 2

3 Quadrilatères inscrits

Mise en jambes

3.1 Soit ABCun triangle avecHson orthocentre etHA,HBetHCles pieds de ses hauteurs. Montrer queAHCHHBetBCHBHCsont des quadrilatères inscrits. Indication :Trouver deux angles opposés dont la somme vaut180.

Avancé

3.2 Soit ABCun triangle et soientD,EetFdes points sur les côtésBC,CArespectivementAB. DéfinissonsPcomme le deuxième point d"intersection des cercles circonscrits des trianglesFBD etDCE. Montrer queAFPEest un quadrilatère inscrit.

Indication :Montrer que\PFA=\PDBet que\PDB=\PEC.

3.3 Soit ABCDun rectangle etMle milieu du côtéAB. SoitPla projection deCsur la droiteMD (c-à-d.Pse trouve surMDde telle sorte queCPetMDsoient perpendiculaires).

Montrer quePBCest un triangle isocèle.

Indication :Montrer queMBCPest un quadrilatère inscrit et utiliser que\DMA=\BMC. 3.4 Soit ABCun triangle avec son orthocentreHet ses pieds des hauteursD,EetF. Montrer que

Hest le centre du cercle inscrit du triangleDEF.

Indication :Trouver le plus de quadrilatère inscrit (!) et montrer que\EDH=\HDFavec plusieurs applications du théorème de l"angle périphérique. 3.5 Soit ABCDun quadrilatère convexe dans lequel les diagonales se coupent perpendiculairement (convexesignifie, pour unn-gone, que tous les angles intérieurs soient180). PosonsPl"inter- section des diagonales. Montrer que les quatre projections dePsur les droitesAB,BC,CDet

DAforment un quadrilatère inscrit.

Indication :SoientE;F;GetHles projections sur les droitesAB;BC;CDetDA. Trouver le plus de quadrilatères inscrits et montrer ensuite que\FEP=\90\PGFet que\PEH= 90
\HGP. 3.6 Soit ABCun triangle avecHson orthocentre. Ensuite, soitMle milieu du segmentAHetN le milieu du segmentBC. Montrer que les 3 pieds des hauteurs du triangleABCse trouvent sur le cercle de Thalès du segmentMN. Comment cela implique-t-il que les trois pieds des hauteurs deABC, les trois milieux des côtés deABCet les milieux des segmentsAH,BHetCHse trouvent tous sur un cercle? (On appelle ce cercle lecercle de Feuerbachou aussicercle des9points.) Indication :SoientD;EetFles pieds des hauteurs surBC,CAetAB. Parce que\MDN= 90
,Dse trouve sur le cercle de Thalès deMN. PourEetFil y a plus à faire. Remarquer premièrement queEetFse trouvent sur le cercle de Thalès deAHetBC.MetNsont les centres des cercles de Thalès, ainsi on aAM=HM=EM=FMetBN=CN=EN=FN.

Alors on a :

\NFC+\CFN=\FCN+\MHF=\HCD+\DHC= 180\CDH= 90: 3 Pour la deuxième partie, on a montré queMetNse trouvent sur le cercle circonscrit deEDF. De la même manière, on peut montrer que les milieux des cotésCAetAB, ainsi que les milieux deBHetCHse trouvent sur ce cercle.

Olympiade

3.7 Soien tAetBdeux points distincts sur un cerclek. Le pointCse trouve sur la tangente àk passant parBet tel queAB=AC. SoitDle point d"intersection de la bissectrice de\ABC avecAC. Supposons que le pointDse trouve à l"intérieur dek. Montrer que\ABC >72. Indication :Soit\ABC=etPun point sur le cerclekqui se trouve de l"autre coté deAB par rapport àC. D"après le théorème de l"angle tangent\APB=. Soit encoreQun poit sur k, qui se trouve du même coté deABpar rapport àC.AQBPest un quadrilatère inscrit, ainsi \BQA= 180. Remarquer encore queDse trouve à l"intérieur deksi\BDA >\BQA.

Ceci est équivalent à

32
>180, da\BDA=\DBC+\BCD=32 . En bricolant, >72. 3.8 Deux cercles k1etk2ayant comme centreM1respectivementM2se coupent aux pointsAetB. La droiteM1Bcoupek2enF6=BetM2Bcoupek1enE6=B. La parallèle àEFparBcoupe k

1etk2en deux autres pointsPrespectivementQ.

(a) Mon trerque Best le centre du cercle inscrit du triangleAEF. (b)

Mon trerque PQ=AE+AF.

Indication :Pour (a) : Remarquer queM1A=M1B=M1EetM2A=M2B=M2F. De plus, les médiatrices peuvent aider. Par chasse-aux-angles interposées,M1AFEetAM2FEsont des quadrilatères inscrits (autrement ditM1,A,M2,FetEse trouvent sur un même cercle). (Si

tu désespères à ce stade, pense à celui qui a tout traduit de l"allemand et mange un morceau de

chocolat.) Le reste se résume à de la chasse-aux-angles. Pour (b) : SoitSl"intersection dePBet deAE. Montrer quePASet queSBEsont isocèles.

Ainsi,PB=AE. De manière analogueBQ=AF.

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