[PDF] Les maths au coll`ege : Cours Techniques et Exercices

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DenisLEFUR

CollegeZephir,Cayenne

11mars2004

oeuvrelesnotionsetudieesdanscechapitre. document. disponible. 2/175

Tabledesmatieres

Tabledesmatieres5

IPartiegeometrique7

1Letrianglerectangle9

2Lesdroitesparalleles21

3Lespolygones31

4Lesdroitesremarquables39

3

TABLEDESMATIERESTABLEDESMATIERES

5Lesangles47

6Longueurs,airesetvolumes53

7Lestransformations61

8Geometriedansl'espace73

9Geometrieanalytique91

IIPartienumerique105

10Lecalculnumerique107

4/175

TABLEDESMATIERESTABLEDESMATIERES

11L'arithmetique119

12Lecalcullitteral125

13Laproportionnalite143

14Gestiondedonnees159

Index173

5/175

TABLEDESMATIERESTABLEDESMATIERES

6/175

Premierepartie

Partiegeometrique

7

Chapitre1

Letrianglerectangle

1.1Lecours

1.1.1LetheoremedePythagore

Enoncedutheoreme

Butdutheoreme

Premiereapplication:calculdel'hypotenuse

E FG5 7?

Enonce

Ondonne:EF=5etFG=7.

audixieme.

Solution

CalculonsEG.

Commentaires

d'apresletheoremedePythagore, 5

2+72=EG2Onremplacelesdeuxvaleursconnues.

25+49=EG2

EG2=74

EG=p

74(valeurexacte)

9

1.1.LECOURSCHAPITRE1.LETRIANGLERECTANGLE

S RT4 ?7

Enonce

Ondonne:RS=4etST=7.

dixieme.

Solution

CalculonsRT.

Commentaires

DansletriangleRSTrectangleenR,

d'apresletheoremedePythagore, 4

2+RT2=72

16+RT2=49

RT2=4916

RT2=33

RT=p

33(valeurexacte)

ReciproquedutheoremedePythagore

Enoncedelareciproque

Butdelareciproque

A BC4;8 86;4

Enonce

BC=8.

MontrerqueABCestuntrianglerectangle.

Solution

MontronsqueletriangleABCestrectangleenA

Commentaires

BC2=82=64[BC]estlegrandc^otedutriangle.

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CHAPITRE1.LETRIANGLERECTANGLE1.1.LECOURS

K LM3;5 53;6

Enonce

LetriangleKLMest-ilrectangle?

Solution

VerionssiletriangleKLMestrectangleenK.

Commentaires

LM2=52=25[LM]estlegrandc^otedutriangle.

Propriete

del'hypotenuse. l'hypotenuse.

Premiereapplication:lecercleestdonne

ABOE (C)

Enonce

Eestunpointducercle(C)telqueBE=4.

MontrerqueABEestuntrianglerectangle.

Solution

MontronsqueletriangleABEestrectangleenE

Eestunpointducercledediametre[AB],

alorsletriangleABEestrectangleenE.

11/175

1.1.LECOURSCHAPITRE1.LETRIANGLERECTANGLE

DFIE

Enonce

{Iestlemilieude[DF]; {DF=8,DE=3etIE=4.

MontrerqueDEFestuntrianglerectangle.

Solution

MontronsqueletriangleDEFestrectangleenE.

Iestlemilieude[DF],d'ouDI=IF=DF2=82=4.

OnadoncID=IF=IE=4.

alorsDEFestrectangleenE.

1.1.3Trigonometrie

Commentnommerlesc^otes

ABC c^oteadjacentc^oteopposehypotenuse dutrianglerectangle. ABC.

Sions'interessemaintenantal'angle\

ACB, {[AB]estlec^oteopposeal'angle\ ACB; {[AC]estlec^oteadjacental'angle\ACB; etdenommerlesc^otesdutriangle.

Lesformules

LKM c^oteadjacentc^oteopposehypotenuse

DansletriangleKLMrectangleenL,

cos(\LKM)=LKMK =c^oteadjacenthypotenuse sin( \LKM)=LM MK =c^oteopposehypotenuse tan( \LKM)=LM LK =c^oteopposec^oteadjacent

Premiereapplication:calculd'unangle

DEF4 7

Enonce

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CHAPITRE1.LETRIANGLERECTANGLE1.1.LECOURS

DEF c^oteadjacentc^oteoppose hypotenuse

Commentaires

triangle. nometriqueautiliserestlesinus.

Solution

1.Calculonsl'angle\EDF.

Commentaires

sin(\EDF)=EFDF =c^oteopposehypotenuse

Onrappellelaformule.

sin( \EDF)=4

7Onconna^tdonclesinusdel'angle

2.Calculonsl'angle\EFD.

Onadonc:\EDF+\EFD=90.

D'ou,\EFD=90\EDF=9035.

EFD=35.

Deuxiemeapplication:calculd'unelongueur

VTU 6 52
o

Enonce

UV=6cmet[VTU=52.

CalculerTU.Onarrondirasavaleuraumm.

VTUc^oteadjacent

c^oteopposehypotenuse

Commentaires

triangle.

13/175

Solution

CalculonsTU.

Commentaires

tan([VTU)=VUTU =c^oteopposec^oteadjacent

Onrappellelaformule.

tan(52)=6

TUOnremplacelesvaleursconnues.

TUtan(52)=6Onfaitlesproduitsencroix.

TU=6 tan(52)Onobtientlavaleurexacte.

1.2Lesexercices

1.2.1Exercicescorriges

Exercice1

ABC

DEnonceL'unitedelongueurestlecen-

timetre.

Ondonne:

BD=7;AD=12;

\BCD=50.

1.Calculerlamesuredel'angle\ADB(on

donneraleresultatarrondieaudegre).

2.CalculerlalongueurCD(ondonnerale

resultatarrondieaudixieme).

Solution

1.Calculons\ADB.

DAB c^oteadjacentc^oteoppose hypotenuse

DansletriangleADBrectangleenB,

cos( \ADB)=BD AD =c^oteadjacenthypotenuse cos( \ADB)=7 12

D'apreslacalculatrice,\ADB=55.

2.CalculonsCD.

DCBc^oteadjacent

c^oteopposehypotenuse

DansletriangleBCDrectangleenB,

sin( \BCD)=BD CD =c^oteopposehypotenuse sin(50)=7 CD sin(50)CD=7 CD=7 sin(50)

D'apreslacalculatrice,CD=10;9cm.

14/175

Exercice2

Enonce

1.TracerletriangleRECtelque:

RE=7;5cm;RC=10cmetEC=12;5cm.

Solution

1.Voirguresuivante.

ERC10;5

7:512;5

EC2=12;52=156;25

ER2+RC2=7;52+102=56;25+100=156;25

3.CalculonslesanglesdutriangleERC.

Commenconsparcalculerl'angle\

REC. ERC c^oteadjacentc^oteoppose hypotenuse

DansletriangleERCrectangleenR,

sin( \REC)=RC EC =c^oteopposehypotenuse sin( \REC)=10;5 12;5

D'apreslacalculatrice,\

REC=57.

Deplus,lesangles\RECet\

RCEsontcomplementaires,d'ou

REC+\RCE=90

RCE=90\

REC=9057=33.

1.2.2Autresexercices

{letheoremedePythagore; {lesanglesinscrits; {lesquadrilateresparticuliers;

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Exercice3:arepeterregulierement.

1.Calculerlec^otemanquant.

2.Calculerl'undesanglesaigus.

3.Endeduirel'autreangleaigu.

Exercice4:arepeterregulierement.

aigu.

1.Calculerl'undesc^otesmanquants.

2.Calculerledernierc^ote.

Exercice5

queAD=3cm.

1.Construirelagure.

2.DemontrerqueletriangleABDestrectangle.

3.CalculerlalongueurDB.

Exercice6

ABC E D timetre.

ABCestuntrianglerectangleenC.

Destunpointdusegment[AB].

Eestunpointdusegment[AC].

Ondonne:

AC=6;BC=4;5;AD=4;

(DE)//(BC).

2.ProuverqueAB=7;5.

3.CalculerAE.

4.(a)Calculerlecosinusdel'anglebA.

Exercice7

MNL H

OndonneML=2;4cmetLN=6;4cm.

simpliee. nombredecimal.

16/175

Exercice8

L'uniteestlecentimetre.

2.MontrerqueletriangleRSTestrectangle.

[TS]enunpointL.Placercepointsurlagure. (c)CalculerKL.

Exercice9

Exercice10

vraiegrandeur. ONL K

J5;4cm3;6cm

2cm3cm

Ondonne:

OK=2cm;OL=3;6cm;

OJ=3cm;ON=5;4cm;

{letriangleOKJestrectangleenK. pres). lesangles\OJKet\ONLsontegaux.

Exercice11

A BCH [AH]hauteurissuedeA;

AH=5cm;AB=8cm;\ACH=51.

Onnedemandepasderefairelagure.

(b)LetriangleABCest-ilrectangleenA?

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Exercice12

EST H [TH]estlahauteurissuedeT.

Iln'estpasdemandedereproduirelagure.

Onsaitque:

gure); {l'airedutriangleESTestde42cm2.

1.ProuverqueTH=7cm.

Exercice13

304
A BCH donne:

AC=4cm,BH=1;5cmet\ACB=30.

1.CalculerlavaleurexactedeAH.

l'angle ABC.

Exercice14

KL MNR S

Onconsiderelagureci-contre.

Ondonne:

MN=8cm;ML=4;8cmetLN=6;4cm.On

nedemandepasderefairelaguresurlacopie.

1.DemontrerqueletriangleLMNestrec-

tangle.

2.Calculerlavaleurarrondieaudegredela

mesuredel'angle\LNM.

3.SoitKlepieddelahauteurissuedeL;

montrerqueLK=3;84cm.

4.SoitSlepointde[MN]telqueNS=2cm,

laperpendiculairea(LN)passantparS coupe[LN]enR;calculerRS.

Exercice15

OAB C onaplaceunpointCtelquel'angle\

ABCmesure50.Surle

1.MontrerqueletriangleABCestrectangle.

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