Situations concr`etes exploitant des barycentres
Il appara?t en effet que tout barycentre de points pondérés par des coefficients réels non négatifs
Autotest sur les barycentres
Exercice 2 : Positions de barycentres Exercice 3 : Positions de barycentres II ... Placer chaque point G à l'aide du théorème du barycentre partiel.
TS Exercices sur les barycentres
3 Soit ABCD un tétraèdre de l'espace E. On note I le barycentre des points pondérés (A 1) et (B
LES RESSOURCES NUMÉRIQUES POUR LES MATHÉMATIQUES
Pourquoi les barycentres sont-ils utiles en géométrie ? » Quel plan détaillé ? L'intérêt du barycentre dépasse le domaine des Mathématiques.
Généralisation de la notion de centre de gravité dun triangle : les
Les barycentres sont donc d'abord considérés d'un point de vue physique et concret. Quel est le lien entre centre de gravité et barycentre?
Untitled
Les Barycentres? Un problème de points. 1. La notation de Grassmann. Si AB est un vecteur et P un point quelconque alors: AB PB PA.
137 - Barycentres dans un espace a ne réel de dimension finie
appelé le barycentre des points pondérés (Ai?i) et noté Bar((Ai
Barycentre - Lycée dAdultes
3 janv. 2011 OB. PAUL MILAN. 3 janvier 2011. PREMIÈRE S. Page 10. 10. 3 BARYCENTRE DE TROIS POINTS. Cette formule dépend directement de la formule de ...
Sur le barycentre dune probabilité dans une variété
polation géodésique qui consiste à remplacer deux points par leur barycentre pris sur la géodésique qui les joint
Barycentres
8 déc. 2003 1.4.10. ? Dans l'espace affine de l'exemple I.1.2 déterminer le point m barycentre des points i ...
SBPMef
J. Bair
V. Henry
Situations concr`etes
exploitant des barycentresCommission p´edagogique de la SBPMef
2008Soci´et´e Belge des Professeurs de Math´ematique d"expression fran¸caise
Rue du Onze novembre 24, B 7000 Mons, Belgique
Situations concr`etes
exploitant des barycentresJacques BAIR
Val´erie HENRY
2008D´epot l´egal: D/2008/7075/1
Avant-propos
Lors du Congr`es de la SBPMef organis´e`aLi`ege en aout 2004, Christian Van Hoosteavait fait un int´eressant expos´eintitul´e "Plaidoyer pour la notion de barycentre - de 15 `a
18 ans". Il y montrait que le concept g´eom´etrique de barycentre intervient `a de multiples
reprises dans les cours de math´ematiques des trois derni`eres ann´ees du secondaire...ce qui lui permettait de conclure son r´esum´edel"´epoque par ce joli slogan: "le barycentre: une notion de poids dont le centre est partout! " A la suite de cette conf´erence, il nous a sembl´e opportun de prolonger l"´etude de Christian Van Hooste en montrant que le concept de barycentre admet de nombreuses applications non seulement dans le champ des math´ematiques pures, mais aussi au niveau des math´ematiques plus appliqu´ees.C"est ainsi que nous avons rassembl´e, apr`es un premier chapitre fait de g´en´eralit´es com-
prenant notamment un bref historique, diverses situations concr`etes et simples montrant que les barycentres peuvent etre exploit´es en m´ecanique, en statistique, en particulier pour des s´eries chronologiques et des graphiques triangulaires, en controle flou ainsi que pour les courbes de B´ezier. Nous sommes reconnaissants envers les administrateurs de la SBPMef d"avoir bien voulu proposer notre manuscrit `asacommissionp´edagogique puis d"avoir accept´edele publier. Nous tenons encore `a remercier les membres de la Soci´et´e qui ont relu notre texte et nous ont communiqu´e diverses remarques et suggestions pour am´eliorer le travail original.1G´en´eralit´es
1.1 Bref historique
C"est Archim`ede (287-212 avant J´esus-Christ), un des plus grands math´ematiciens grecs de l"Antiquit´e, qui introduisit la notion de centre de gravit´e. On lui doit notamment leprincipe du levier 1 selon lequel un levier est en ´equilibre lorsque les moments des deux forces motrice-→F A appliqu´ee au pointAet r´esistante-→F B appliqu´ee au pointBpar rapport au point d"appuiOsont ´egaux et oppos´es; en d"autres termes, les modulesF A etF B de ces deux forces et les distancesd A etd B des points d"applicationAetBau point d"appuiOv´erifient cette ´egalit´e
F A ×d A =F B ×d B Nous disons aujourd"hui que le point d"appuiOdu levier `al"´equilibre est lecentre de gravit´eou lebarycentredes points d"applicationAetBpond´er´es respectivement par les distancesd A etd B Le motcentre de gravit´eprovient de l"adjectif latingravisqui signifielourdoupesant. Il fut utilis´e dans ce sens par des scientifiques des XVI `eme et XVII `eme si`ecle, notamment par le brugeois Simon Stevin (1548-1620; voir section 1.5) et le math´ematicien suisse P. Guldin (1577-1643) dans son ouvrage intitul´eDe centro gravitatis(1635). Les travaux du savant anglais I. Newton (1642-1727) mirent `a l"honneur le substantifgravitation`a partir du XVIII `eme si`ecle. Le pr´efixebarysignifie ´egalementlourd, mais provient lui du grecbarys.Ilestplus r´ecent puisqu"il apparaıt probablement pour la premi`ere fois dans l"ouvrageDer barycen- trische Calculpubli´e en 1827 par le math´ematicien-astronome allemand A. M¨obius (1790- 1868)2 .Celui-cid´eveloppa le barycentre d"un point de vue purement math´ematique, en
le consid´erant comme un point "repr´esentatif" d"un ensemble de points affect´es de coeffi-
cients positifs ou n´egatifs. Il rendit donc cette notion ind´ependante de son interpr´etation
physique originelle et en fit un concept abstrait dont de nombreuses applications concr`etes furent trouv´ees ult´erieurement. De nos jours, la notion de barycentre est reli´ee ´etroitement `a celle d"ensembleconvexe,dont les premi`eres ´etudes syst´ematiques sont dues au c´el`ebre math´ematicien allemand H.
Minkowski (1864-1909).
Dans l"espace num´eriqueR
n de dimensionnquelconque 3 , un ensemble convexe est 1Un levier est constitu´e d"une barre rigide, de poids souvent n´egligeable, mobile autour d"un axe
d"appuiOsous l"action de deux forces qui tendent `a la faire tourner en sens oppos´es. 2M¨obius est bien connu pour le ruban qui porte son nom; celui-ci est obtenu en collant une extr´emit´e
d"une bande de papier sur l"autre extr´emit´e, apr`es l"avoir retourn´ee, de sorte qu"est ainsi obtenue une
surface poss´edant un seul cˆot´e".
3Cette pr´esentation englobe ´evidemment les cas particuliers et classiques du plan (pourn=2)oude
l"espace (pourn= 3) muni d"un rep`ere cart´esien, souvent (mais pas n´ecessairement) suppos´e orthonorm´e;
elle peut ˆetre g´en´eralis´ee sans peine `a tout espace vectoriel r´eel, mˆeme de dimension infinie.
2 caract´eris´e par le fait que le segment de droite reliant deux quelconques de ses points est enti`erement inclus dans l"ensemble (Figure 1). Figure 1: Ensemble convexe et ensemble non convexe Il apparašt en eet que tout barycentre de points, pond´er´es par des coecients r´eels non n´egatifs, nest rien dautre quun point appartenant `alenveloppe convexede ces points, c"est-`a-dire `a l"intersection de tous les ensembles convexes comprenant les points en question. Grace notamment aux d´eveloppements r´ecents de lag´eom´etrie convexe,lanotionde barycentre est de nos jours largement exploit´ee en physique, en statistique, en ´economie, engestion,...; en particulier, elle intervient de fa¸con d´ecisive pour r´esoudre des probl`emes
concrets comme la prise de d´ecision face `a des informations vagues ou encore pour con- cevoir des formes harmonieuses `a donner `a des carrosseries d"automobiles. Lespagesquivontsuivrevisent`a donner un petit aper¸cu de telles applications, peut- etre moins courantes mais concr`etes et pour la plupart modernes, de la notion de barycen- tre. Mais auparavant, nous allons profiter dans la structure vectorielle des espaces con-sid´er´es pour d´efinir ponctuellement le concept de barycentre; cette d´efinition sera ensuite
illustr´ee par quelques cas particuliers parmi les plus simples.1.2 Pr´esentation ponctuelle
Consid´eronsppointsP
i , chacun d"eux ´etant affect´e d"un coefficient r´eel (appel´eparla suitepoids)λ i positifounul,avecdeplus? p i=1 i =0.Le barycentre desppoints pond´er´esP
i i ) est le pointGd´efini par l"´egalit´e vectorielle p i=1 i -→PG= p i=1 i --→PP i o`uPd´esigne un point quelconque. 3 Il est `anoterqueGne d´epend qu"en apparence du choix deP, car le remplacement dePpar un autre pointQdonnerait un barycentreG telque,ennotantsimplementλ la somme? p i=1 iλ--→QG
p i=1 i --→QP i p i=1 i ?-→QP+--→PP i =λ-→QP+ p i=1 i --→PP i =λ-→QP+λ-→PG =λ-→QG de sorte queG=G En particulier, si l"on prend pourPl"origineOde l"espace, on obtient cette ´egalit´e: -→OG= p i=1 i --→OP iOr, dans l"espaceR
n , pour un point arbitraireX`ancoordonn´ees, le vecteur--→OX poss`ede pr´ecis´ement les memes composantes que les coordonn´ees correspondantes deX; de la sorte, len-uple (x 1 ,x 2 ,...,x n )peutetre regard´e indiff´eremment comme repr´esentant le pointXou le vecteur--→OX 4 .Ainsi,toute´egalit´e vectorielle peut etre traduite ponctuelle- ment et une alg`ebre peut etre instaur´ee entre les points deR n . La somme de deux points X=(x 1 ,x 2 ,...,x n )etY=(y 1 ,y 2 ,...,y n ) est le pointX+Y=(x
1 +y 1 ,x 2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] les bases constitutionnelles du droit administratif vedel pdf
[PDF] les bases d'excel pdf
[PDF] les bases de l'informatique pdf
[PDF] les bases de la conjugaison française pdf
[PDF] les bases de la physique pdf
[PDF] les bases de la programmation informatique
[PDF] les bases de la programmation pdf
[PDF] les bases de numération
[PDF] les bases des mathématiques
[PDF] les bases des mathématiques pdf
[PDF] les bases du calcul littéral
[PDF] les bases du grafcet
[PDF] les bases en maths 3eme
[PDF] Les basse de l'orthographe