[PDF] Barycentre - Lycée dAdultes 3 janv. 2011 OB. PAUL

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1

Barycentre

Table des matières

1 Rappels sue les vecteurs

2

1.1 Définition

2

1.2 Opérations sur les vecteurs

2

1.2.1 Somme de deux vecteurs

2

1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire

2

1.3 Vecteurs et configuration

3

1.3.1 Le milieu d"un segment

3

1.3.2 La médiane d"un triangle

3

1.4 Colinéarité de deux vecteurs

4

1.5 Géométrie analytique

5

2 Barycentre de deux points

6

2.1 Définition

6

2.2 Propriétés

7

2.3 Réduction

8

3 Barycentre de trois points

10

3.1 Définition

10

3.2 Associativité

11

3.3 Réduction

13

4 Barycentre de n points

15

4.1 Définition

15

4.2 Associativité

15

4.3 Réduction

16

5 Centre d"inertie d"une plaque homogène

17

5.1 Principes utilisés par les physiciens

17

5.2 Application

18

5.2.1 Exercice 1

18

5.2.2 Exercice 2

19 PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

21 RAPPELS SUE LES VECTEURS1Rappelssuelesvecteurs

1.1Définition

Définition 1 :Un vecteur~uou!ABest défini par :

êune direction (la droite(AB)).

êun sens (deAversB)

êUne longueur : la norme du vecteurk~ukouAB!

AB=!CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme.

1.2Opérationssurlesvecteurs

1.2.1Sommededeuxvecteurs

La somme : la relation de chasles :

AC=!AB+!BC

Cette relation permet de décompo-

ser un vecteur.

On a l"inégalité triangulaire :

k ~u+~vk6k~uk+k~vkConstruction de la somme de deux vecteurs de même origine. On effectue un parallélogramme, afin de reporter le deuxième vecteur permettant d"appli- quer la relation de Chasles.Propriété 1 :La somme de deux vecteurs :

êEst commutative :~u+~v=~v+~u

êEst associative :(~u+~v) +~w=~u+ (~v+~w) =~u+~v+~w êPossède un élélment neutre~0 :~u+~0=~u êtout vecteur possède un opposé~u:!AB=!BA1.2.2Multiplicationd"unvecteurparunscalaire Lorsqu"on multiplie un vecteur par un réelk, appelé scalaire, le vecteur ainsi formék~uest tel que : êSa longueur est multiplié parjkjPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

1.3 VECTEURS ET CONFIGURATION3êSik>0 son sens est inchangé et sik<0 son sens est inversé.Propriété 2 :La multiplication par un scalaire est distributive par rapport

à l"addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels.

êk(~u+~v) =k~u+k~v

1.3.1Lemilieud"unsegment

SiIest le milieu d"un segment[AB]

alors : AI=12 !AB

AI=!IB

!IA+!IB=!0Théorème 1 :SoitABCun triangle. SiIetJsont les milieux respectifs de [AB]et[AC]alors :!IJ=12 !BC1.3.2Lamédianed"untriangle Dans un triangleABC,(AA0)la médiane issue deA, vérifie :

AA0=12

(!AB+!AC)PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

41 RAPPELS SUE LES VECTEURS1.4Colinéaritédedeuxvecteurs

Définition 2 :On dit que deux vecteurs~uet~vsont colinéaires, si et seulement si, il existe un réelktel que : v=k~uPropriété 3 :La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l"aligne- ment. êLes droites(AB)et(CD)sont parallèles si et seulement si les vecteurs!AB et!CDsont colinéaires. êLes pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs!ABet!AC sont colinéaires.Application :SoitABCun triangle,Eest tel que!AE=13 !BC,Iest tel que !CI=23 !CBetFest tel que!AF=13 !AC. Démontrer queI,EetFsont alignés

Faisons d"abord une figure :Exprimons

!EIet!EFen fonction de!AB.

Nous savons que!CI=23

!CBdonc!BI=13 !BC. On en déduit que!AE=!BI donc queAEIBest un parallélogramme. On a alors : !EI=!AB

De plus :

!EF=!EA+!AF 13 !CB+13 !AC 13 (!AC+!CB) 13 !ABPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

1.5 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE5On en déduit alors :

!EF=13 !EI. Les vecteurs!EFet!EFsont colinéaires et donc les pointsE,FetIsont alignés.

1.5Géométrieanalytique

Propriété 4 :Mis à part les calculs de distance qui exige un repère ortho- normal, les formules suivantes sont valable dans tout repère. êSoit deux pointsA(xA;yA)etB(xB;yB), les coordonnées du vecteur!AB vérifient :!AB=xBxA y ByA êSoit deux pointsA(xA;yA)etB(xB;yB), les coordonnées du milieuIdu segment[AB]vérifient : I=0 B B@x B+xA2 y B+yA2 1 C CA êOn appelle déterminant de deux vecteurs~u(x;y)et~v(x0;y0), le nombre : det(~u,~v) =x x0 y y 0 =xy0x0y êDeux vecteurs sont colinéaires si et seulement si, leur déterminant est

égale à 0

uet~vcolinéaires,det(~u,~v) =0 êDans un repère orthonormal, la norme d"un vecteur~uet la distance entre les pointsA(xA;yA)etB(xB;yB)verifient : jj ~ujj=qx 2+y2 AB=q(xBxA)2+ (yByA)2Application :ABCDest un parallèlogramme.M,N,Qsont tels que : DM=45 !DA,!AN=34 !AB,!CQ=23 !CD La parallèle à(MQ)menée parNcoupeBCenP. Déterminer le coefficientk de colinéarité tel que!BP=k!AD. Faisons une figure, en prenant comme repère(A;!AB,!AD):PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

62 BARYCENTRE DE DEUX POINTSD"après l"énoncé les coordonnées deM,NetQsont :

M 0;15 ,N34 ;0 ,Q13 ;1 CommePest sur(BC), son abscisse est 1. De plus commekest tel que :!BP= k!AD, son ordonné vautk. Les coordonnées dePsont :

P(1;k)

Comme(NP)//(MQ), le déterminant de!MQet!NPest nul, on a : det(!MQ,!NP) =013 0 134 115
k0 =0 13 14 45
k =0 k3 15 =0 k3 =15 k=35

2Barycentrededeuxpoints

2.1Définition

Remarque :Le mot barycentre renvoie à la notion de centre d"inertie ou de gravité en physique.PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

2.2 PROPRIÉTÉS7Définition 3 :On appelle barycentre de deux pointsAetBassociés aux

coefficients respectifsaetb, le pointGtel que : a !GA+b!GB=~0 aveca+b6=0

On note alorsGbarycentre des points pondérés(A,a)et(B,b)Démonstration :montrons qu"un tel point existe et est unique. Il s"agit

alors de pouvoir placer ce point. Exprimons le pointGa l"aide du vecteur!AB avec la relation de Chasles : a !GA+b!GB=~0 a !GA+b(!GA+!AB) =~0 a !GA+b!GA+b!AB=~0 (a+b)!GA=b!AB (a+b)!AG=b!AB

Commea+b6=0, on a :

AG=ba+b!AB

On peut alors placer le pointG.

2.2Propriétés

Propriété 5 :SiGest le barycentre des points pondérés(A,a)et(B,b), alors :!AG=ba+b!ABApplication :AetBétant donnés, placer les barycentresG1etG2des points pondédérés respectifs(A,3),(B,1)et(A,1),(B,3).

CommeG1est le barycentre de(A,2),(B,1), on a :

AG=12+1!AB=13

!AB

CommeG2est le barycentre de(A,1),(B,3), on a :

AG=31+3!AB=32

!AB On peut alors placer les deux pointG1etG2:PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

82 BARYCENTRE DE DEUX POINTSRemarque :

êLorsquea=b, on dit queGest l"isobarycentre des pointsAetB.Gest alors le milieu du segment[AB].

êLe barycentreGest situé sur la droite(AB)Propriété 6 :Homogénéité du barycentre. SiGest le barycentre de(A,a)

et(B,b)alorsGest aussi le barycentre de(A,ka)et(B,kb)lorsquekest un réel non nul.Cela découle de la définition : a !GA+b!GB=~0,ka!GA+kb!GB=~0 aveck6=0

Application :Le barycentre de

A,110 et B,15 est aussi le barycentre de (A,1)et(B,2).Propriété 7 :Le barycentre de deux pointAetB, se situe sur la droite (AB). Réciproquement si trois points sont alignés, alors l"un est le barycentre des deux autres.Application :Soit les trois alignésA,BetCalignés comme sur la figure ci-dessous. Montrer queCest le barycentre de(A,a)et(B,b).D"après la figure on a : !CA=2!CB

On a donc :!CA+2!CB=~0

Cest alors le barycentre de(A,1)et(B,2)

2.3Réduction

Théorème 2 :Formule de réduction. SiGest le barycentre de(A,a)et (B,b)alors pour tout pointMdu plan, on a : a !MA+b!MB= (a+b)!MGPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

2.3 RÉDUCTION9Démonstration :en appliquant la relation de Chasles :

a !MA+b!MB=a(!MG+!GA) +b(!MG+!GB) =a!MG+a!GA) +b!MG+b!GA) = (a+b)!MG+a!GA+b!GB OrGest le barycentre de(A,a)et(B,b)donca!GA+b!GB=~0 = (a+b)!MG Application :Cette formule de réduction permet de déterminer les lignes de niveau c"est à dire de déterminer puis tracer l"ensemble des pointsMqui vérifient une relation vectorielle. [AB]est un segment de longueur 5 cm. Déterminer l"ensembleGdes pointM qui vérifient la relation (R) : jj2!MA+3!MBjj=10 On pose le pointGbarycentre de(A,2)et(B,3), d"après la formule de réduc- tion, on a :

2!MA+3!MB=5!MG

La relation (R) devient :

jj5!MGjj=10,MG=2 L"ensembleGest donc le cercle de centreGest de rayon 2.

Pour tracerG, on trace d"abordGqui vérifie :

!AG=35 !AB

On trace ensuite le cercleGen remarquant qu"il passe par B.Propriété 8 :SiGest le barycentre de(A,a)et(B,b), alors les coordon-

nées du pointGdans le repère(O;~ı,~â)vérifient : OG=aa+b!OA+ba+b!OBPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

103 BARYCENTRE DE TROIS POINTSCetteformuledépenddirectementdelaformulederéductionenprenantpour

le pointMle point origineO. Application :On donne les pointA(1;3)etB(2;1). Déterminer les coordon- nées des pointM, barycentre de(A,1)et(B,3)etN, barycentre de(A,2)et (B,1)puis placer les pointA,B,MetN. On applique la formule donnant les coordonnées du barycentre.

OM=11+3!OA+31+3!OB=12

!OA+32 !OB

ON=221!OA+121!OB=2!OA!OB

On obtient alors les coordonnées des pointM(xM;yM)etN(xN;yN) 8>< :x M=12 1+32 2=52 y M=12 3+32 1=0( x

N=212=0

y

N=231=53Barycentredetroispoints

3.1Définition

Définition 4 :On appelle barycentre des points pondérés(A,a),(B,b) et(C,g), le pointGqui vérifie : a !GA+b!GB+g!GC=~0 aveca+b+g6=0PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

3.2 ASSOCIATIVITÉ11Démonstration :montrons qu"un tel point existe et est unique. Exprimons

le pointGa l"aide du vecteur!ABet!ACavec la relation de Chasles : a !GA+b!GB+g!GA=~0 a !GA+b(!GA+!AB) +g(!GA+!AC=~0 a !GA+b!GA+g!GA+b!AB+g!AC=~0 (a+b+g)!GA=b!ABg!AC (a+b+g)!AG=b!ABg!AC

Commea+b+g6=0, on a :

AG=ba+b+g!AB+ga+b+g!AC

On peut alors placer le pointG.

Remarque :L"isobarycentre(a=b=g)de trois pointsA,BetCest le centre de gravité du triangleABC.

3.2Associativité

Théorème 3 :Théorème d"associativité. SiGest le barycentre de(A,a), (B,b)et(C,g)et siHest le barycentre de(A,a)et(B,b)aveca+b6=0

alorsGest le barycentre de(H,a+b)et(C,g).Démonstration :toujours avec la relation de Chasles. On sait queGest le

barycentre de(A,a),(B,b)et(C,g)donc : a !GA+b!GB+g!GC=~0 a(!GH+!HG) +b(!GH+!HB) +g!GC=~0 (a+b)!GH+a!HA+b!HB+g!GC=~0 CommeHest le barycentre de(A,a)et(B,b), on a :a!HA+b!HB=~0 (a+b)!GH+g!GC=~0

Gest bien le barycentre de(H,a+b)et(C,g).

Application :Ce théorème est bien utile pour placer le barycentre de trois points car il permet de placer le barycentre de 3 points en plaçant coup sur coup le barycentre de deux points. Soit un triangleABC. Placer le barycentreGdes points pondérés(A,1),(B,2) et(C,3).PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

123 BARYCENTRE DE TROIS POINTSméthode 1 :Soit le pointHbarycentre de(A,1)et(B,2), on a alors :

AH=23 !AB D"après le théorème d"associativité,Gest le barycentre de(H,3)et(C,3).G

est donc l"isobarycentre deHet deC,Gest donc le milieu de[HC].méthode 2 :Soit les pointHetIrespectivement barycentre de(A,1),(B,2)

et(B,2),(C,3). D"après le théorème d"associativité,Gest le barycentre de(H,3) et(C,3)doncH,GetCsont alignés. De mêmeGest aussi d"après le théorème d"associativité, le barycentre de (A,1)et(I,5), donc les pointsA,GetIsont alignés. Gest donc l"intersection des droites(HC)et(AI). Il suffit alors de placer les pointsHetI. !AH=23 !ABet!BI=35 !BCPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

3.3 RÉDUCTION133.3Réduction

Théorème 4 :Formule de réduction et coordonnées deG: SiGest le barycentre de(A,a),(B,b)et(C,g), alors pour tout pointMdu plan on a : a !MA+b!MB+g!MC= (a+b+g)!MG Les coordonnées deGdans le repère(O;~ı,~â)vérifient :

OG=aa+b+g!OA+ba+b+g!OB+ga+b+g!OCDémonstration :Généralisationdesformulespourlebarycentrede2points.

Application 1 :SoitABCun triangle rectangle isocèle enAtel queAB=4 cm. Déterminer et tracerG, l"ensemble des pointsMdu plan tels que : jj !MA+!MB+2!MCjj=4 On cherche à réduire l"expression de gauche en introduisant le pointGbary- centre des points(A,1),(B,1)et(C,2), on a alors grâce à la formule de réduc- tion : !MA+!MB+2!MC= (1+1+2)!MG=2!MG

L"ensemble des pointsMrevient à :

jj2!MGjj=4 MG=2 L"ensembleGest donc le cercle de centreGet de rayon 2 cm. Pour tracerG, il faut d"abord placerGpuis déterminer si le cercle passe par un point particulier. barycentre intermédiaire les pointsAetBcar la somme de leur coefficient est nulle. On pose alorsH, barycentre des points(B,1)et(C,2), on a alors :

BH=21+2!BC=2!BC

Gest alors le barycentre de(A,1)et(H,1+2). DoncGest l"isobarycentre des pointsAetH.Gest le milieu de[AH] On observe que le pointCappartient au cercle solution. Pour le vérifier, on remplaceMdans la relation, on a alors : jj !CA+!CB+2!CCjj=jj!AC+!CBjj=AB=4 La relation est vérifiée, donc le pointCappartient àG. On pourrait aussi le

montrer par le théorème des milieux. On obtient la figure suivante :PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

143 BARYCENTRE DE TROIS POINTSApplication 2 :Dans le repère(O;~ı,~â), placer les pointsA(2;1),B(1;4)et

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