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Universit

e de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre

17-18semestre 1

1 Corps des nombres complexes

Introduction :Au paragraphe 1.1 nous rappelons la denition de l'ensemble des nombres complexes muni

de leurs operations d'addition et de multiplication. Au paragraphe 1.2, nous denissons le module et l'argu-

ment d'un nombre complexe non nul qui permettent d'ecrire tout nombre complexeznon nul sous la forme z=eiouest un reel strictement positif etun reel de l'intervalle [0;2[. Au paragraphe 1.3, nous

montrons comment identier l'ensemble des nombres complexes et l'ensemble des points d'un plan muni d'un

repere orthonorme. Nous illustrons rapidement cette correspondance. Au paragraphe 1.4, nous montrons com-

ment exprimer les solutions d'une equation du second degre a l'aide d'une racine carree de son discriminant.

Au paragraphe 1.5, nous montrons comment interpreter geometriquement les applications de l'ensemble des

nombres complexes vers lui m^eme associant a un complexezle complexeaz+bouaetbsont des complexes

non nuls xes. Poura6= 1, nous montrons comment decomposer une telle application comme le produit d'une

rotation et d'une homothetie de m^eme centre.

Nous xons deux objectifs.

1) Savoirresoudre une equation du second degredont les coecients sont des nombres complexes. Nous

expliquerons notamment en travaux diriges comment resoudre algebriquement l'equation2= ou est

un nombre complexe donne par sa partie reelle et sa partie immaginaire. On se reportera a l'exercice 1 du

paragraphe 1.6 et aux exercices de la premiere feuille de T.D. .

2) Savoirdecomposer une similitude directe comme le produit d'une rotation et d'une homothetie

de m^eme centre. Ce centre se determine en resolvant une equation du premier degre a coecients com-

plexes. L'angle de la rotation et de le rapport de l'homothethie necessitera de savoir determiner le module et

l'argument d'un nombre complexe. On se reportera aux exercices 2 et 3 du paragraphe 1.6 et aux exercices

de la premiere feuille de T.D. . 1

1.1 Le corps des nombres complexes

Deux reelsaetbdenissent un nombre complexe notez=a+ib. Le reela, notea= Rez, est appele la partie reelle dezet le reelb, noteb= Imz, est appele la partie imaginaire dez.

Pour touta;a0;b;b0, on a :

a+ib=a0+ib0()a=a0etb=b0:

L'ensemble des nombres complexes est noteC.

SurC, nous denissons deux operations appelees addition et multiplication. Soita;a0;b;b0quatre reels et

z=a+bi;z0=a0+b0iles nombres complexes correspondants. | L'addition dezetz0dansCest denie par : z+z0= (a+a0) + (b+b0)i ; | La multiplication dezetz0dansCest denie par : zz

0= (aa0bb0) + (ab0+ba0)i :

a) Proprietes de l'addition de C : L'addition est associative, c'est a dire que pour toutz;z0;z002C: (z+z0) +z00=z+ (z0+z00): L'addition est commutative, c'est a dire que pour toutz;z02C: z+z0=z0+z : 2

Le complexe 0+0i, note 0, est appele l'element neutre de l'addition. C'est le seul nombre complexe veriant

pour toutz2C: z+ (0 + 0i) = (0 + 0i) +z=z : Tout elementz2Cadmet un symetriquez0, notez. C'est le seul nombre complexe veriant : z+z0=z0+z= 0: Au vue de ces quatre proprietes, on dit queCest un groupe commutatifrelativement a l'addition. b) Proprietes de la multiplication dans C : La multiplication est associative, c'est a dire que pour toutz;z0;z002C: (zz0)z00=z(z0z00): La multiplication est commutative, c'est a dire que pour toutz;z02C: zz

0=z0z :

La multiplication possede un element neutre 1+0i, note 1. C'est le seul nombre complexe veriant pour tout

z2C: z(1 + 0i) = (1 + 0i)z=z : Tout elementz2Cdistinct de 0 admet un symetriquez0appele inverse dez, notez1ou1z . Ce complexez0 est l'unique element deCveriant : zz

0=z0z= 1:

Au vue de ces proprietes, on dit queCest un corps commutatifrelativement aux operations addition et multiplication.

Sur le corps des nombres complexes, on peut distinguer une troisieme operation dite de multiplication par

un reel. Elle associe a tout reelet tout complexez=a+bile complexe : z=a+bi : 3 Notation 1.1.1Soita;bdeux reels. Le complexea+ 0iest notea,0 +biest notebi,0 + 1iest notei. On constatera la coherence de ces notations. Soitz;z0deux complexes, on pose :z+ (z0) =zz0et siz06= 0 :z1z 0=zz 0:

Soitz=a+biavecaetbreels, l'oppose dezest

z= (a) + (b)i=abi :

Soitz=a+bi6= 0 avecaetbreels, l'inverse dezest :

1z =aa

2+b2+ba

2+b2i=abia

2+b2: Comme la multiplication est commutative, noter que pour tout reela;b:a+bi=a+ib.

Denition 1.1.2Un nombre complexe est dit reel si sa partie imaginaire est nulle et imaginaire pur si sa

partie reelle est nulle. L'applicationR!C,a7!a=a+ 0iidentie les nombres reels aux nombres complexes de partie imagi- naire nulle. Cette identication est compatible aux operations addition et multiplication. Denition 1.1.3(Puissance n-ieme) Soitzun nombre complexe, on convient quez0= 1et quez1=z. Soit nun entier naturel non nul, on designe parzn=z:z :::z=zzn1le produit n fois dezpar lui m^eme. Le complexeznest appele la puissance n-ieme dez. 4

On convient alors pourznon nul quezn=1z

n=1z n

Pour toutn;mentiers relatifs, on a alors :

z nzm=zn+m;(zn)m=znm: Exemple :i0= 1;i1=i;i2=1;i3=i;i4= 1. Soitnun entier relatif, divisonsnpar 4 : n = 4k+r avec k;rentier relatif et 0r3. Alors : i n=i4k+r=i4kir= (i4)kir=ir: Soitz;z0deux nombres complexes, il resulte des proprietes des nombres complexes que : zz

0= 0()z= 0 ouz0= 0:

Denition 1.1.4On appelle conjugaison l'application :

C!C:z=a+bi7!z=abi ;oua;b2R:

Le nombre complexez=abiest appele le conjugue dez. Proprietes de la conjugaison :Soitz;z02C,2Retn2Z:z+z0=z+z

0;z=z ;zz

0=zz 0;z n=z n;Rez=12 (z+z);Imz=12i(zz): En particulier, on obtient :z=z()Imz= 0;z=z()Rez= 0: Soita;bdeux reels etz=a+bi, on a :zz=a2+b2qui est donc un reel positif. Denition 1.1.5Soita;bdeux reels etz=a+bi. On appelle module dezet on notejzjle nombre reel positif : jzj=pa

2+b2=pzz :

5 On remarque que sizest reel,jzjn'est autre que la valeur absolue dez. Remarques :Soitz2C:jzj=jzjetjzj2=zzet si de plusz6= 0 :1z =z zz =z jzj2. Proprietes du module d'un nombre complexe :Soitz;z02C,2Retn2Z: jzj= 0()z= 0;jz+z0jjzj+jz0j;jzj=jjjzj:

On a aussi :

jzz0j=jzjjz0j;jznj=jzjn;j1z j=1jzjpourz6= 0;jjzj jz0jjjzz0j;jRezjjzj;jImzjjzj: Pour toutzcomplexe non nul, on verie quezjzjest de module 1. Montrons par exemple la formulejzz0j=jzjjz0j. Soita;b;a0;b0reels tels quez=a+bietz0=a0+b0i: jzz0j=j(aa0bb0) + (ab0+ba0)ij=q(aa0bb0)2+ (ab0+ba0)2 =pa

2a02+b2b022aa0bb0+a2b02+b2a02+ 2aa0bb0

=pa

2a02+b2b02+a2b02+b2a02=qa

2(a02+b02) +b2(a02+b02)

=q(a2+b2)(a02+b02) =q(a2+b2)q(a02+b02) =jzjjz0j:

1.2 Argument d'un nombre complexe

Rappelons quelques resultats sur les fonctions trigonometriques. a) Pour toutreel : cos2+ sin2= 1: b)(cos= cos0 sin= sin0() 9k2Z;0= 2k : c) .Soitx;y2R:x2+y2= 1() 92[0;2[ unique ;(x= cos y= sin: d) (cos(+0) = coscos0sinsin0 sin(+0) = sincos0+ cossin0: 6

Notation 1.2.1ei= cos+isin :

Pour tout;0reels, on peut alors verier la formule magique : e i(+0)=eiei0: Denition 1.2.2Soitzun complexe non nul, le complexezjzjest de module1. Il existe donca;breels verianta2+b2= 1tels quezjzj=a+bi. On appelle alors argument dez, noteargz, l'unique reel2[0;2[ tel quea= cosetb= sin. Ainsi, un nombe complexe non nulzs'ecrit :z=eiouest le module dezetson argument. Une telle

ecriture est unique, en particulier, deux complexes non nuls sont egaux s'ils ont m^eme module et argument.

Donnons quelques proprietes de l'argument :

a) Pour toutz2C f0get= argz:z=jzj(cos+isin) =jzjei. b) Pour toutz;z02C f0g: arg(zz0) = argz+ argz0(mod 2). c) Pour toutreel etreel strictement positif :z=ei()jzj=et= argz(mod 2).

Rappelons que siaest un nombre reel positif etnun entier naturel, il existe un unique reel positif note

a

1=ndont la puissance n-ieme est egal aa, c'est a dire solution de l'equation :xn=aetx2R+. Le reela1=n

est appele la racine n-ieme dea

Denition 1.2.3(racine n-ieme de l'unite) Soitnun entier naturel, on appelle racine complexe n-ieme de

l'unite tout nombre complexeztel quezn= 1.

Le produit de deux racines n-ieme de l'unite est une racine n-ieme de l'unite. L'inverse d'une racine n-

ieme de l'unite est une racine n-ieme de l'unite. On traduit ces proprietes en disant que l'ensemble des racines

n-ieme de l'unite est un sous-groupe multiplicatifdu groupe multiplicatif des complexes non nuls (voir la

section structures algebriques). 7

Proposition 1.2.4Le nombre complexeu=ei2n

est une racine n-ieme de l'unite. L'ensemble des racines n-ieme de l'unite est l'ensemble a n elements : C n=fei2kn ;k2 f0;1;:::;n1gg=f1;u;u2;:::;un1g:

Exemples :C1=f1g,C2=f1;1g,C3=f1;j;j2gouj=ei23

=12 +p3 2 i,C4=f1;i;1;ig. Racines n-ieme d'un nombre complexe donne par son module et son argument : Soircun complexe non nul,rle module decet2[0;2[ son argument. On appelle racine n-ieme dec, tout nombre complexeztel quezn=c. Cette egalite equivaut a : jzjn=retnargz=(mod 2) ou encorejzj=r1n et argz=n (mod2n Le nombre complexecnon nul a donc n racines n-ieme qui sont les elements de l'ensemble : fr1n ei(n +2kn );k2 f0;1;:::;n1gg: Exemple :Determinons les complexesztels quez3= 1 +i. On aj1 +ij=p2 , d'ou :

1 +i=p2(

p2 2 +p2 2 i) = 212 (cos4 +isin4 ) = 212 ei4 Les complexes cherches sont donc les elements de l'ensemble : f216 ei12 +2k3 ;k2 f0;1;2gg:

1.3 Nombres complexes et geometrie

SoitPun plan muni d'un repere orthonorme (0;~i;~j). L'application : C!P z=x+yi7!M x y;le point de coordonneesx;ydans le repere (0;~i;~j) 8 est une bijection qui identie l'ensemble des nombres complexesCet le planP. Le nombre complexezest appele l'axe du pointM. Rappelons que siAetBsont deux points deP,ABest le reel positif qui designe la distance deAaBet que si~uet~vsont deux vecteurs deP,d(~u;~v) designe l'angle entre~uet~v.

Nous avons alors :

jzj=qx

2+y2=OMet argz=d(~i;~OM):

SiM1est d'axez1etM2d'axez2:

jj ~M1M2jj=jz2z1jet arg(z2z1) =d(~i;~M1M2): Indiquons comment se traduisent geometriquement quelques operations sur les nombres complexes :

Addition :SoitM1d'axez1,M2d'axez2, le pointMd'axez1+z2est le pointMdu plan deni par~OM=~OM1+~OM2. Soitz1=x1+y1ietz=x+yi. Soit~uvecteur de cordonnes (x1;y1) dans le repere (~i;~j).

etMle point d'axez=x+yi. Le pointM0d'axez+z1a donc pour coordonnees (x+x1;y+y1) dans le repere (0;~i;~j). C'est l'image deMpar la transation de vecteur~u. Il est deni par~MM0=~u. Multiplication par un reel :SoitMd'axez=x+yiet2R. Le pointM0d'axeza donc pour

coordonnees (x;y) dans le repere (0;~i;~j). C'est l'image deMpar l'homothetie de centre 0 et de rapport.

Conjugaison :SoitMd'axez=x+yi. Le pointM0d'aceza donc pour coordonnees (x;y) dans le repere (0;~i;~j). C'est l'image deMpar la symetrie orthogonale par rapport a l'axe des abscisses. Multiplication parei:SoitMd'axez=x+yiet2R. Le pointM0d'axeeizest l'image deMpar la rotation de centre l'origine et d'angle. Les coordonnees deM0dans le repere (0;~i;~j) sont (cosxsiny;sinx+cosy). 9 SoitM1;M2;M3trois points du plan deux a deux distincts d'axes respectivementz1;z2;z3, on a : arg( z3z1z

2z1) =d(~M1M2;~M1M3):

1.4

Equations du second degre

Rappelons que siaest un nombre reel positif, il existe un unique reel positif notepadont le carre est

egal aa, c'est a dire solution de l'equation :x2=aetx2R+. Le reelpaest appele la racine carree de a. Ce resultat se deduit des proprietes de l'ensemble des nombres reels. Lemme 1.4.1Pour tout2C, il existe2Ctel que2= . On dit queest une racine carree de.

Ce lemme se deduit de la proposition 1.2.4. Nous montrerons en fait, voir les exercices type 1.6, comment

il est possible de determiner une expression algebrique des racines carrees d'un nombre complexe donnee

par sa partie reelle et sa partie imaginaire. Cas particulier : Commei2=1, sibest un reel negatif,ipb=iqjbjest une racine carree deb.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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