Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices
relatif. Il s'agit d'étudier le mouvement d'un point par rapport à un repère en À la fin de ce polycopié nous proposons quelques exercices corrigés.
CAHIER COURS SIMPLIFIES 100 EXERCICES CORRIGES
Mouvement relatif. ??????? ??????. A.FIZAZI. Univ-BECHAR. LMD1/SM_ST. 124. ?? ???????? ????. 4.28. ???. 4.35. Corrigés des exercices de 4.28 à 4.35.
Exercices et Contrôles Corrigés de Mécanique du Point Matériel
Nous étudions dans cet exercice le mouvement des électrons dans un tube cathodique R1 : lié `a la voiture =? référentiel relatif dont Ve.
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
9) Retrouver ( ) par calcul direct. Corrigé : I-Etude de la cinématique de M par décomposition de mouvement : 1. la vitesse relative
République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l
1.5 Corrigés . 6.2 Le mouvement relatif-1 . ... Ce polycopie regroupe un recueil de cours et exercices sur la mécanique du point.
Cours et Exercices de mécanique du point matériel
[4] https://www.exoco-lmd.com/mecanique-du-point/exercices-corriges-de-mouvement- relatif/. [5] ZIANI NOSSAIR et BOUTAOUS AHMED Mécanique du point matériel
mouvement relatif et mouvement absolu.pdf
Si (R) est en rotation par rapport à (R0) on définit un vecteur rotation k. ? = ??. JG. G. (? est la vitesse angulaire
Mécanique du point
COURS et EXERCICES A la fin de chaque chapitre on propose des exercices avec leurs solutions. ... Le mouvement d'un point est un concept relatif.
SERIE DEXERCICES N° 10 : MECANIQUE : CINEMATIQUE DU
T étant animée d'un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse u . Etude du mouvement relatif de M (mouvement dans le référentiel (R') lié au repère (O ...
exercices incontournables
19 avr. 2017 Cet exercice traite du mouvement relatif d'un point matériel. Il faut bien définir le référentiel absolu (considéré comme galiléen) et le ...
Chapitre 4 : Mouvement relatif MI
Mouvement relatif : le mouvement de M par rapport à (R) Mouvement absolue : Le mouvement de M par rapport à (R 0) Mouvement d’entrainement : le mouvement du repère mobile (R) par rapport au repère fixe (R 0) 2 1 Composition de la vitesse On a ???????????????=????????????????????+( ? ??
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Exercices Ch 8 : Relativité du mouvement 1 Mouvement et référentiel Sur une ligne droite un camion A suit un camion B en maintenant constante la distance qui les sépare Le camion A roule à une vitesse constante de 80 km/h 1 Dans quel référentiel est donnée la valeur de la vitesse du camion A ? 2
Série TD N° 04 Mouvement relatif - univ-tlemcendz
Mouvement relatif EXERCICE 1 Les coordonnées d’une particule mobile dans le référentiel (R) muni du repère sont données en fonction du temps par : Dans un deuxième référentiel (R’) muni du repère avec sont données par : 1-Exprimez la vitesse v de M dans (R) en fonction de sa vitesse v’ dans (R’) procéder
Cinématique et dynamique du point matériel
types de mouvement et les différents systèmes de coordonnées (cartésiennes polaires cylindriques et sphériques) Nous terminons cette partie par l’étude du mouvement relatif Il s’agit d’étudier le mouvement d’un point par rapport à un repère en mouvement (repère mobile) Nous abordons le cas d’un repère en mouvement de
Quels sont les mouvements relatifs ?
Exemple de mouvements relatifs. La cinématique est la partie de la physique qui décrit les mouvements des corps solides, sans chercher à en expliquer les causes. Pour faire une étude cinématique il faut un système de coordonnées (SC), auquel nous rapporterons toutes les observations, et une horloge. Rappelons que pour Newton le temps est absolu...
Qu'est-ce que le mouvement relatif ?
Un mouvement est relatif s’il est décrit par rapport à un repère mobile. Une liaison autorise des degrés de liberté entre deux solides sans que les mouvements correspondants aient effectivement lieu au sein du mécanisme complet. Un degrés de liberté qui se traduit par un mouvement possible au sein d’un mécanisme participa à une mobilité.
Qu'est-ce que le mouvement relatif du corps?
Le mouvement relatif du corps est observé à partir d'un référentiel particulier et varie en fonction du choix du référentiel. Lorsque les deux référentiels, S et S', se déplacent relativement à une vitesse constante, les accélérations des corps observées à partir des deux référentiels sont égales.
Quelle est la position mesurée d'un triangle de mouvement relatif?
Selon la figure du triangle de mouvement relatif, la position mesurée du cadre S' par rapport au cadre S est , alors que la position de la particule P par rapport au repère S' est et par rapport au cadre S est Les vitesses de la particule et des référentiels sont des dérivées temporelles de ses vecteurs de position.
CHAPITRE1
Rappels et compléments mathématiques
1.1 Exercices
1.1.1Opérations sur les vecteurs
On donne trois vecteurs?A(3,2⎷2,⎷3),?B(2,⎷3,⎷2) et?C(1,2,2).1. Calculer les normes??A?,??B?et??C?. En d´eduire les vecteurs unitaires?uA,?uB
et?uCdes directions, respectivement, de?A,?Bet?C.2. Calculer cos(
??uA,?uB), cos(??uB,?uC) et cos(??uC,?uA), sachant que les angles sont com- pris entre 0 etπ.3. Calculer les composantes des vecteurs?e1=?uB??uC,?e2=?uC??uAet?e3=?uA??uB.
4. En d´eduire sin(
??uA,?uB), sin(??uB,?uC) et sin(??uA,?uC). V´erifier ces r´esultats en utili- sant la question 2.5. Montrer que?e1,?e2,?e3peuvent constituer une base. Cette base est-elle orthogo-
nale, norm´ee?1.1.2Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire
SoitR(O,?i,?j,?k) un rep`ere cart´esien et consid´erons la base sph´erique (?er,?eθ,?e?).
1. Exprimer les vecteurs de la base sph´erique dans la base cart´esienne.
2. Calculer
∂?e r 3Rappels et compl´ements math´ematiques
3. En d´eduired?er,d?eθetd?e?dans la base sph´erique.
4. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base sph´erique peuvent se mettre
sous la forme d?e en pr´ecisant l"expression du vecteur rotation ?Ω des vecteurs de la base sph´erique par rapport `aR. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la base sph´erique par rapport `aR.5. On consid`ere la base cylindrique (?eρ,?e?,?k) . Quel est son vecteur rotation par
rapport `aR? En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, calculer la d´eriv´ee par rapport
au temps des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR.6. Consid´erons un vecteur
?V=Vr?er+Vθ?eθ+V??e?. En utilisant les r´esultats pr´ec´e- dents, calculer la d´eriv´ee par rapport au temps de ?Vpar rapport `aR1.1.3Déplacement élémentaire
On se propose de traiter dans cet exercice le d´eplacement ´el´ementaire dans les troissyst`emes de coordonn´ees, cart´esiennes, cylindriques et sph´eriques et ce en utilisant les
r´esultatsde l"exercice 2Consid´erons un rep`ere cart´esienR(O,?i,?j,?k). Soient (?eρ,?e?,?k) et (?er,?eθ,?e?) respective-
ment les bases cylindrique et sph´erique. SoitMun point rep´er´e par--→OMpar rapport `a
R. On consid`ere un d´eplacement infinit´esimal deMenM?tel queM?est tr`es proche deM. On note alors le d´eplacement ´el´ementaire par--→OM?---→OM=d---→MM?=d--→OM
1. Dans le rep`ere cart´esien,--→OM=x?i+y?j+z?k. Calculer le d´eplacementd--→OMpar
rapport `aRdans la base cart´esienne.2. Rappeler le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport `aR. Partant de--→OM=ρ?eρ+z?k, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRdans la base
cylindrique.3. Rappeler le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR. Dans la base
sph´erique--→OM=r?er, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRet ce dans cette base.1.1.4Tube cathodique
On ´etudie le mouvement des ´electrons dans le tube cathodique d"un osilloscope. Les ´electrons arrivent enOavec une vitesse?v0=v0?iet traversent les plaques de d´eviation P1etP2de longueurl. Les ´electrons sont soumis entre les plaques de d´eviation`a une
acc´el´eration uniforme?γ0=γ0?jet sont d´evi´es, figure ci-dessous. L"´ecran est `a la distance
D= 5lde la sortie des plaques. On exprime dans le reste de l"exercice les grandeurs vectorielles dans la base cart´esienne. la vitesse de la particule `a la sortie des plaques est?vAet fait un angleαavec?i. L"acc´el´eration des ´electrons entre les pointsAetEest nulle. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices5
1. Etablir les ´equations horaires du mouvement
des ´electrons entre les plaques de d´eviation, x(t) ety(t). En d´eduire l"´equation de la tra- jectoirey=f(x).2. Calculer la vitesse des ´electrons au pointA,
?vA, en fonction dev0,letγ0. En d´eduire
l"angleα=?(?i,?vA).3. Quelle est la nature de la trajectoire des ´elec-
trons entreAetE? En d´eduire les ´equations horairesx(t) ety(t). D´eterminer la d´eviationδen fonction dev0,letγ0.
y xO j i 1P 2 P l D=5lδ E Aα1.1.5Exercice
Un v´ehicule, que l"on peut consid´erer comme un point mat´erielM, se d´eplace parrapport `a un r´ef´erentielR(O,xyz) avec un mouvement de translation uniforme de vitesse?V(M/R) telle que|?V(M/R)|=v. Le v´ehicule roule sur une bosse dont le profil peut
ˆetre repr´esent´e pary=f(x). On s"int´eresse au segment de la route [A,B].1. Calculer la vitesse?V(M/R) en fonction
de xet de la d´eriv´ee premi`eref?(x) = df(x)/dxpar rapport `ax.2. Calculer l"acc´el´eration?γ(M/R). En d´e-
duire que la composante de l"acc´el´eration selonOypeut se mettre sous la forme y(M/R) =v2f??(x) (f?2+ 1)2 f ??(x) ´etant la d´eriv´ee seconde def(x) par rapport `ax. AB M y x O y=f(x)1.1.6Opérations sur les vecteurs : une autre approche
L"objectif de cet exercice est de reformuler les expressions des op´erations vectorielles en utilisant la
fonction de Kroneckerδij1et le tenseur de Levi-Civita?ijk2.Les indicesi,j,k? {1,2,3}´etant donn´e
que l"on travaille dans un espace vectoriel de dimension 3.1. la fonction de Kronecker est d´efinie par
ij=?1 sii=j0 si non
2. Le tenseur de Levi-Civita est d´efini par
ijk=???0 si au moins deux indices sont ´egaux1 si (i,j,k)?{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)} -1 si (i,j,k)?{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Rappels et compl´ements math´ematiques
On consid`ere un rep`ereRmuni de la base orthonorm´ee (?e1,?e2,?e3). La propri´et´e d"or- thonormalit´e de la base se traduit par?ei·?ej=δij, qui seront utilis´es dans la suitede l"exercice, sauf mention contraire. Soient trois vecteurs?A(a1,a2,a3),?B(b1,b2,b3) et?C(c1,c2,c3).
1. Montrer que le produit scalaire
?A·?B=? i=1,3aibi.2. Sachant que lai`emecomposante de?A??Bpeut s"´ecrire comme suit (?A??B)i=?3j,k=1?ijkajbk, en d´eduire que
A??B=?
i,j,k? ijkajbk?ei.3. Montrer que le produit mixte
A·(?B??C) =?
i,j,k? ijkaibjck.4. En utilisant le r´esultat de la question 2, montrer
A?(?B??C) = (?A·C)?B-(?A·B)?C
5. Montrer que
??A??B?·??C??D?
=??A·?C???B·?D? -??A·?D???B·?C?1.1.7Exercice : Opérations sur les vecteurs
On donne les trois vecteurs?V1(1,1,0),?V2(0,1,0) et?V3(0,0,2).1. Calculer les normes??V1?,??V2?et??V3?. En d´eduire les vecteurs unitaires?v1,?v2
et?v3des directions respectivement de?V1,?V2et de?V3.2. Calculer cos(
??v1,?v2), sachant que l"angle correspondant est compris entre 0 etπ.3. Calculer?v1·?v2,?v2??v3et?v1·(?v2??v3). Que repr´esente chacune de ces trois
grandeurs?1.1.8Exercice : Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire
Consid´erons la position d"un pointMdans le rep`ereR(O,xyz). Soient (?i,?j,?k),(?eρ,?e?,?k) et (?er, ?eθ, ?eφ) respectivement les bases cart´esienne, cylindrique et sph´erique
associ´ees `a ce rep`ere. Le tenseur poss`ede les propri´et´es suivantes, que l"on neva pas d´emontrer i,j? ijk?ijl=δklet? i? ijk?ilm=δjlδkm-δjmδkl. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices7
1. Calculer
∂?e2. En d´eduired?eρetd?e?dans la base cart´esienne.
3. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base cylindrique peuvent se
mettre sous la forme d?eρ=dt?Ω??eρetd?e?=dt?Ω??e?
en pr´ecisant l"expression du vecteur rotation ?Ω des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la base cylindrique dansR.4. Quel est le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR? En utilisant
les r´esultats de la question pr´ec´edente, d´eduire les expressions de d?e r dt,d?eθdtetd?eφdt.1.1.9Exercice : Mouvement rectiligne
On effectue un test d"acc´el´eration sur une voiture arrˆet´ee au d´epart (vitesse initiale
v0= 0). La route est rectiligne.
1. La voiture est chronom´etr´ee `a 20sau bout d"une distanceD= 140m.
1-a)D´eterminer l"expression de l"acc´el´erationγ, supos´ee constante.
1-b)D´eterminer l"expression de la vitessevDatteinte `a la distanceD.
2. Calculer la distance d"arrˆetLpour une d´ec´el´eration de 8ms-2?
1.1.10Exercice : Excès de vitesse
Un conducteur roule `a une vitesse constantev0= 120 km h-1sur une route r´ecti-ligne d´epassant la limite autoris´ee. Un gendarme `a moto d´emarre `a l"instant o`u la voiture
passe `a sa hauteur et acc´el`ere uniform´ement. Le gendarme atteint la vitesse 100 km h-1 au bout de 12s.1. Quel sera le temps n´ecessaire au gendarme pour rattraperla voiture?
2. Quelle distance aura-t-il parcourue?
3. Quelle vitesse aura-t-il atteinte?
Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Rappels et compl´ements math´ematiques
1.1.11Exercice : Mouvement circulaire uniforme
Consid´erons un satellite g´eostationnaire en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre sur une orbite de rayonr. Il est soumis `a une acc´el´erationγ=g0?R r?2, o`u
g0= 9.81m s-2etR= 6400 km , le rayon de la Terre. La p´eriode de r´evolution du
satellite est ´egale `a la p´eriode de rotation de la Terre sur elle mˆeme.1. Calculer la p´eriodeTde rotation de la Terre en secondes. En d´eduire la vitesse
angulaire Ω.2. D´eterminer l"altitude de l"orbite g´eostationnaire.
1.1.12Exercice : Mouvement sur une ellipse
Un point mat´erielMse d´eplace sur une ellipse d"´equation en coordonn´ees cart´esiennes x2 a2+y2b2= 1, voir figure ci-contre. la direction de--→OMpar rapport `a l"axeOxest rep´er´ee par l"angle?. L"´equation horaire du mouvement deMpeut se mettre sous la forme x(t) =x0cos(ωt+φ) ety(t) =y0sin(ωt +ψ) o`u l"on suppose queωest une constante. A l"instantt= 0,Mse trouvait enM0.
y xO M 0 M a b1. D´eterminerx0,φetψ. En d´eduirey0.
2. D´eterminer les composantes, et ce dans la base cart´esienne, de la vitesse (x,y) et
de l"acc´el´eration (¨x,¨y).3. Montrer que l"acc´el´eration peut se mettre sous la forme?γ=-k--→OMo`ukest `a
d´eterminer. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.2 Solutions9
1.2 Solutions
1.2.1Corrigé 1 : Opérations sur les vecteurs
1. Soit un vecteur?V= (v1,v2,v3). On sait que la norme est donn´ee par??V?=??
i=1,3v2i. En appliquant ce r´esultat aux trois vecteurs?A(3,2,⎷3),?B(2,⎷3,⎷2) et ?C(1,2,2) , on obtient ?A?=?32+ 22+⎷32= 4
?B?=?22+⎷32+⎷22= 3
?C?=?12+ 22+ 22= 3
On sait que le vecteur unitaire?uVde la direction du vecteur?V, est d´efinie par ?u V=?V /??V?. De la mˆeme mani`ere, en appliquant ce r´esultat, on obtient ?u A= (34,12,⎷
3 4) ?u B= (23,⎷
33,⎷
2 3) ?u C= (13,23,23)
2. Pour d´eterminer les cosinus des angles entre les trois vecteurs pris deux `a deux,
nous utilisons la d´efinition du produit scalaire suivante ?A·?B=??A???B?cos(??A,?B), ce qui donne cos( ??A,?B) =?A·?B ??A???B?3×2 + 2×⎷
3 +⎷3×⎷2
4×3
?0.993 de mˆeme cos( ??B,?C) =?B·?Cquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] rgph 1994 maroc
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