[PDF] Chapitre 3 - Séries de Fonctions

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Chapitre3

S´eriesdeFonctions

3.1Quelque srappelssurless´erie snum´eriques

Less´er iesnum´eriquesdoivent ˆetrevuescommedessuitesnum´erique sparticuli`eres:si (u n estunesui tenum´eri que,las´eriede termeg´en´eralu n estlasuit e( S n )d´ efiniepar S n n p=0 u p

Onditq uelas´eri econvergel orsquel asuite(S

n )con verge.Danscecas,lalimit eestappel ´ee sommedelas´er ie,eton note n=0 u n =lim n"+! n p=0 u p On´ecr itaussi-demani`ereu npeuabusive,m aisc 'estp arfoispratique-quelaquant it´e u n estlas´e riedet ermeg´en´eralu n ,et quele nombreS n estlan-i`emesommepartielle delas´erie. Puisqu'ils'agitdesuitespartic uli`eres,le stechn iquesvuespour´etud ierlaconvergencedes suitess'appliquent` al'´etudedelaconvergencedess´erie s.Ilex istebiensˆurdestechniqu es

sp´ecifiques,etl'onpeutr´esumerl'´etu ded'un es´erien um´eriqueparl 'algorithmedelaFigure

3.1. Onpeut aussiˆetreame n´e`autilise rlecrit`eredeC auchypourlasuite (S n ).Dufai tdela natureparticuli` eredecettesuite,ilprendlaformesuivant e:las´ erie u n convergesiet seulementsi !!>0,"N #Ntelqueq$p$N q n=p u n

3.2Notion des´eriedefonction

Less´e riesdefonctionssontaussiu noutil interneauxmath´ematique s.Commepour less´eries num´eriques,ondoitgarder`al'espritqu'il s'agi td'untyp eparticulierd esuite defonctions.

CHAPITRE3.S

ERIESDEFONCTIONS22

0.siu n '(0,la s´erie n#0 u n diverge.

1.essayerderechercherun eformu leexplicitepourlessommes

partiellesS n ,etd'´etudierlasuite(S n 2.siu n $0pou rtoutn,essayerd'utiliserl'undescrit`eres suivant: - comparaisonavecuneautres´ erie. - D'Alembert. - Cauchy. - Riemann.

2bis.siu

n &0pou rtoutn,´e tudierlas´eriedetermeg´ en´eral )u n 3.siu n n'estpasdesignecon stant, essaye r - d'´etudierlas´erie n#0 |u n |.Si ellecon verge, n#0 u n converge. - d'utiliserle"crit`eresp´ecial"p ourless ´eriesaltern´ees,

Figure3.1-Etu ded 'unes´erienum´ erique

Reprenonsparexemplenotre´e quationd i

´erentiellepr´ef´er´ee,ouplutˆotl eprobl`emedeCauchy f =f, f(0)=1. Aveclam´e thoded 'Euler,ilestprobablementas sezp´enibledetrouverl'ex pressi onexplicit e def n (x)pou runxdonn´e,autrementditd edonnerunevaleurapproch´ee def(x).Voici uneautref a¸condefaire(c' estlam´etho dedePi card).Unefonct ionf#C 1 estsolution du probl`emedeCauchyci-dessu ssiets eulementsi f(x)= x 0 f (t)dt+f(0)=1+ x 0 f(t)dt.

Onn'ar iengagn´esem ble-t-il:la fonctioninc onnuefsetrouv edesdeuxcˆot´ed el'´egalit´ e.

L'id´eesuppl´ementai reestded´efinirunesuitedefonctions(S n )par r´ecur rence,enposant S 0 :x*(1et S n+1 :x*(1+ x 0 S n%1 (t)dt.

Silasuite (S

n )con vergeuniform´ementv ersunefonctionS,ond oita voir,pourc haquex

S(x)=li m

n"+! S n+1 (x)=li m n"+! (1+ x 0 S n%1 (t)dt)=1+ x 0 lim n"+! S n%1 (t)dt=1+ x 0

S(t)dt.

Autrementditsilasuite(S

n )con verge,lalimitedelasui te(S n )es tlasolution duprobl `eme:

S(x)=e

x Notesdu coursMath203,ann ´ee2011/2012.Vers ion1.1ThierryRamond

CHAPITRE3.S

ERIESDEFONCTIONS23

Onpeut calculerlesf onctionsS

n deproc heenproche: S 1 (x)=1+ x 0

1dt=1+x,

S 2 (x)=1+ x 0 (1+t)dt=1+x+ x 2 2 S n (x)= n p=0 x p p!

Autrementdit,lafonctionx*(e

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