Chapitre 3 - Séries de Fonctions
Si la série de fonctions Pfn converge uniformément sur I alors la fonction somme S est continue sur I. Preuve.— Cela découle directement de l'application de la
Suites et séries de fonctions
Définition 1.1. Soit I ? R soit pfnqnPN une suite de fonctions et f une fonction définie sur I. ‚ Convergence simple. On dit que la suite pfnq converge
Cours dAnalyse IV Suites et Séries de fonctions
Nous considèrerons ensuite les séries dans leur généralité puis les suites et séries de fonction
Séries de Fonctions
Convergence simple. • Pour tout n ? N un est une fonction définie sur Y . Définition. La série de fonctions ? un converge
Recherches sur les séries de fonctions cylindriques dues à C
Or/cette équation intéressante qui présente le premier exemple d'un développement en série de fonctions cylindriques différente des séries de Fourier (3)
Suites et séries de fonctions
7 oct. 2019 Par le critère des séries alternées la série converge pour tout x ? [0 1]. Puisque la notion de convergence simple n'est rien d'autre qu'une ...
M41 Suites et séries de fonctions
Suites et séries de fonctions rédigé par Anne Moreau. Augustin Louis baron Cauchy
Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions
Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions Convergence simple d'une suite de fonctions : ... de dans K converge simplement vers la fonction si.
SUITES et SERIES DE FONCTIONS
Définition de la convergence simple. Soit (fn) une suite de fonctions numériques définies sur E : 1). On dit que la suite (fn) converge en un point x ' E
Chapitre 10 :Suites et séries de fonctions
Dans le cadre des séries le domaine de convergence simple est le domaine de définition de la fonction somme totale. B) En pratique. L'étude de la convergence
Université de Lille Année 2018-2019
Licence Mathématiques 2ème année Semestre 4 M41Suites et séries de fonctions
rédigé par Anne MoreauAugustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux le 23 mai 1857, est un mathé-
maticien français, membre de l"Académie des sciences et professeur à l"École polytechnique. Catholique fervent,
il est le fondateur de nombreuses oeuvres charitables, dont l"OEuvre des Écoles d"Orient. Royaliste légitimiste, il
s"exila volontairement lors de l"avènement de Louis-Philippe, après les Trois Glorieuses. Ses positions politiques
et religieuses lui valurent nombre d"oppositions.Table des matières
Chapitre 1. Suites de fonctions5
1. Convergences5
2. Convergence uniforme et limite
73. Convergence uniforme et continuité
74. Convergence uniforme et intégration sur un segment
95. Convergence uniforme et dérivation
9Chapitre 2. Séries de fonctions11
1. Convergences11
1.1. Convergences simple et absolue
111.2. Convergence uniforme12
1.3. Convergence normale13
1.4. Critère d"Abel uniforme14
1.5. Fonction zeta de Riemann
152. Propriétés de la convergence uniforme
152.1. Convergence uniforme et limite
162.2. Convergence uniforme et continuité
162.3. Convergence uniforme et intégration sur un segment
162.4. Convergence uniforme et dérivation
17Chapitre 3. Séries entières19
1. Rayon de convergence19
1.1. Rayon de convergence et somme d"une série entière
191.2. Règles de d"Alembert et de Cauchy
212. Opérations sur les séries entières
222.1. Structure vectorielle22
2.2. Dérivation23
2.3. Produit de Cauchy de deux séries
233. Convergence24
4. Régularité de la somme d"une série entière
245. Développements en série entière
255.1. Généralités26
5.2. DSE(0) usuels27
6. Fonctions usuelles d"une variable complexe
296.1. Exponentielle complexe29
6.2. Fonctions circulaires et hyperboliques
29Chapitre 4. Exponentielle de matrices et systèmes différentiels 31
1. Espaces vectoriels normés31
1.1. Normes, exemples31
1.2. Suites dans un espace vectoriel normé
321.3. Comparaison de normes33
1.4. Application linéaire continue, norme subordonnée
331.5. Suites de Cauchy34
1.6. Cas de la dimension finie
352. Exponentielle de matrices36
3. Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
373.1. Généralités37
3.2. Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants
383.3. Utilisation d"une exponentielle de matrice
393
Chapitre 1
Suites de fonctions
Dans tout ce chapitre,KdésigneRouC. On s"intéresse à la convergence de suites de fonctions définies sur
un même domaine non videDdeRouC, et à valeurs dansRouC. Le module surCest noté| · |, c"est-à-dire
|x+iy|=?x2+y2pour tousx,y?R.
1. Convergences
Soit(fn)n?Nune suite de fonctions définies surDet à valeurs dansC.Soitfune application deDdansC. On dit que(fn)n?Nconverge simplementversfsi pour tout
xdeD, la suite(fn(x))n?Nconverge versf(x). On dit aussi quefest lalimite simplede(fn)n?N.Définition 1- convergence simpleAutrement dit, la suite(fn)n?Nconverge simplement versfsi pour toutxdeD, on a :
?ε >0,?N?Ntel que?n>N,on ait|fn(x)-f(x)|6ε. BAttention: dans l"expression ci-dessus, l"entierNdépenddexdansD(et deε). On peut noterfnCVS-→fpour exprimer que(fn)n?Nconverge simplement versf(surD). Exemple1.1.On considère, pourn?N, l"applicationfn: [0,1]→R, x?→xn.La suite de fonctions (fn)n?Nconverge simplement sur[0,1]versf, où f: [0,1]→R, x?→?0six?[0,1[,
1six= 1.
2.On considère, pourn?N?, l"applicationfn:R→R, x?→sin(nx)n
.La suite de fonctions(fn)n?N converge simplement surRversf, oùfest la fonction identiquement nulle surR.3.On considère, pourn?N?, l"applicationfn: [0,+∞[→R, x?→xx+n.La suite de fonctions(fn)n?N?
converge simplement sur[0,+∞[versf, oùfest la fonction identiquement nulle sur[0,+∞[.4.(Phénomène de bosse glissante) On considère, pourn?N, l"applicationfn:R→R, x?→n2xe-nx.La
suite de fonctions(fn)n?Nconverge simplement sur[0,+∞[versf, oùfest la fonction identiquement
nulle sur[0,+∞[.Exercice de cours 1.Vérifier les assertions des exemples ci-dessus, et représenter graphiquementf1,f2,f3
dans l"exemple 4. Remarque1.Dans l"exemple 1, on observe que la limitefn"est pas continue à gauche en1alors que toutes les fonctionsfnle sont. Dans l"exemple 4, on alimn→+∞(f?n(0)) = +∞alors que?limn→+∞fn? ?(0) =f?(0) = 0. De plus, lim n→+∞? 1 0 f n(t)dt= 1?=? 10?limn→+∞fn?dt=?
1 0 f(t)dt= 0. 5Unviversité de Lille - Licence de mathématiques 2annéée 2017-2018Soitfune fonction deDdansC. On dit que(fn)n?Nconverge uniformémentversfsurDsi
lim n→+∞sup x?D|fn(x)-f(x)|= 0.On dit aussi quefest lalimite uniformede(fn)n?N.Définition 2- convergence uniformeAutrement dit, la suite(fn)n?Nconverge uniformément versfsi :
?ε >0,?N?Ntel que?n>N,on ait :?x?D,|fn(x)-f(x)|6ε. BAttention: dans l"expression ci-dessus, l"entierNne dépend pasdexdansD(il dépend seulement deε). On observera la différence avec la définition1 .On peut noterfnCVU-→fpour exprimer que(fn)n?Nconverge uniformément versf(surD).Exercice de cours 2.
1.Représenter graphiquement la notion de convergence uniforme à l"aide "d"un tube».
2.Parmi les suites de fonctions de l"exercice1 , quelles sont celles qui convergent uniformément versf?
3.Pour l"exemple 1, vérifier que l"on a la convergence uniforme de la suite(fn)n?Nversfsur tout
segment inclus dans[0,1[.Si une suite de fonctions(fn)n?Nconverge uniformément surDvers une fonctionf, alors la suite de
fonctions(fn)n?Nconverge simplement surDversf.Proposition 3- la convergence uniforme entraine la convergence simpleExercice de cours 3.Démontrer cette proposition.
Rappel. Soit(un)n?Nune suite de nombres complexes. On dit que la suite(un)n?Nestde Cauchysi : ?ε >0,?N?Ntel que?p,q>N,|up-uq|6ε.Toute suite de nombres complexes convergente est de Cauchy, et la réciproque est vraie également : toute suite
de Cauchy est convergente. Ceci donne ainsi un critère de convergence, appelécritère de Cauchy. L"avantage
de ce critère de convergence est qu"il n"est pas nécessaire de connaître la limite potentielle de la suite dont on
cherche à montrer qu"elle converge.Pour que(fn)n?Nconverge uniformément surDvers une fonction deDdansCil faut et il suffit
que :?ε >0,?N?Ntel que?(p,q)?N2, p,q>N,on ait :?x?D,|fp(x)-fq(x)|6ε.Proposition 4- critère de Cauchy de convergence uniformeAugustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux le 23 mai 1857, est un mathé-
maticien français, membre de l"Académie des sciences et professeur à l"École polytechnique.6
Unviversité de Lille - Licence de mathématiques 2annéée 2017-2018Exercice de cours 4.Démontrer cette proposition.
2. Convergence uniforme et limite
Le résultat suivant est important, il donne une condition suffisante pour intervertir deux limites.Soient(fn)n?Nune suite de fonctions deDdansC, etaun élément deD. On suppose :
1.la suite(fn)n?Nconverge uniformément surD,
2.chaque fonctionfnadmet une limitebnena, c"est-à-dire,limx→afn(x) =bn.
Alors :
(i) la suite (bn)n?Nconverge vers un complexeb, (ii)la fonction fadmet enala limiteb.Théorème 5- interversion de deux limitesCe résultat qui semble évident (mais qui ne l"est pas!) peut se formuler ainsi :
limx→a?limn→+∞fn(x)?= limn→+∞?limx→afn(x)?=b.Exercice de cours 5.Démontrer ce théorème.
Remarque2.On remarque dans l"exercice5 que apeut n"appartenir qu"à l"adhérence deD(par exemple,
l"un des bords deDsiDest un intervalle ouvert deR). En particulier siD= [0,+∞[, le résultat peut s"appliquer
en+∞. Exemple2.On considère la suite(fn)n?Nde fonctions définie surRpar :?x?R,fn(x) =nn+ex. Pourchaquex?Rfixé, on alimn→+∞fn(x) = 1. Or, pournfixé,limx→+∞fn(x) = 0. Les deux limites sont différentes, et
la convergence de la suite(fn)n?Nn"est donc pas uniforme surR. Il y a seulement convergence simple vers la
fonction constante égale à 1 surR.3. Convergence uniforme et continuité
Le théorème suivant est une conséquence du théorème 5 .Soient(fn)n?Nune suite de fonctions deDdansC, etaun élément deD. On suppose :1.la suite(fn)n?Nconverge uniformément surDvers une fonction notéef,
2.chaque fonctionfnest continue ena.
Alorsfest continue ena.Théorème 6- la convergence uniforme préserve la continuité en un pointExercice de cours 6.Démontrer ce théorème de deux manières différentes :
1.comme conséquence du théorème5 ,
2."directement», sans utiliser le théorème5 (ni le critère de Cauc hyde c onvergenceuniforme).
Exemple3.La suite(fn)n?Nde l"exemple 1 de l"exercice1 ne con vergepas uniformémen tv ersfsur[0,1] puisque les fonctionsfnsont toutes continues en1, mais pasf. 7Unviversité de Lille - Licence de mathématiques 2annéée 2017-2018Soit(fn)n?Nune suite de fonctions deDdansC. On suppose :
1.la suite(fn)n?Nconverge uniformément surDvers une fonction notéef,
2.chaque fonctionfnest continue surD.
Alorsfest continue surD.Corollaire 7- la convergence uniforme préserve la continuitéIl arrive souvent qu"il n"y ait pas convergence uniforme surDmais qu"il y ait convergence uniforme sur
certaines parties deD.Comme la continuité est une notion locale, le corollaire suivant permet parfois de contourner le problème :Soient(fn)n?Nune suite de fonctions deDdansC,fune fonction deDdansC, etaun élément
deD. On suppose :1.pour tout pointxdeD, il existe un voisinage ouvert dexdansDsur lequel la suite(fn)n?N
converge uniformément versf,2.chaque fonctionfnest continue surD.
Alorsfest continue surD.Corollaire 8- la convergence locale uniforme préserve la continuitéLorsque les conditions du corollaire8 son tsatisfaites, on dit que la suite (fn)n?Nconverge localement uni-
formémentversf.En pratique, siDest une partie deR, il suffit de vérifier la convergence uniforme sur tout segment inclus
dansD. En effet, quitte à le réduire, on peut supposer qu"un voisinage ouvert deDcontenant un pointxest
contenu dans un segment deD. BAttention: la convergence locale uniforme surDn"entraine pas la convergence uniforme surD; penser de nouveau à la suite de fonctionsfn: [0,1[→R, x?→xnsur[0,1[.Remarque3.Une fonction continue sur un segment deR(donc uniformément continue par le théorème de
Heine) peut toujours être approchée, au sens de la convergence uniforme par une suite de fonctions en escaliers
(qui ne sont donc pas continues en général). C"est ce résultat qui est à la base de l"intégrale de Riemann. Ceci
montre que la limite uniforme d"une suite de fonctions non continue peut, elle, être continue!Eduard Heine(15 mars 1821, Berlin - 21 octobre 1881, Halle) est un mathématicien allemand célèbre pour
ses résultats sur les fonctions spéciales et l"analyse réelle. Il a notamment étudié les séries hypergéométriques
basiques.Georg Friedrich Bernhard Riemann, né le 17 septembre 1826 à Breselenz, État de Hanovre, mort le 20 juillet
1866 à Selasca, hameau de la commune de Verbania, Italie, est un mathématicien allemand. Influent sur le
plan théorique, il a apporté de nombreuses contributions importantes à l"analyse et à la géométrie différentielle,
certaines d"entre elles ayant permis par la suite le développement de la relativité générale.
8Unviversité de Lille - Licence de mathématiques 2annéée 2017-20184. Convergence uniforme et intégration sur un segment
Soient(a,b)?R2, tel quea < b, et(fn)n?Nune suite de fonctions continues (ou continues par morceaux) de[a,b]dansCqui converge uniformément sur[a,b]vers une fonctionf: [a,b]→C, continue par morceaux aussi. Alors la suite? ?b a f n(t)dt? n?Nconverge dansC, et : lim n→+∞? b a f n(t)dt=? bquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] les derivations mathématiques 1
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