FONCTIONS CIRCULAIRES PDF 1 cos(x). 0. ?1.

Chapitre12 : Fonctions circulaires réciproques

?. MPSI Mathématiques. Analyse réelle et complexe. 3. Page 4. III. LA FONCTION Arctan. CHAPITRE 12. FONCTIONS CIRCULAIRES RÉCIPROQUES. ‚ La fonction cos est

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 . Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus

Fonctions circulaires et hyperboliques inverses

1 Fonctions circulaires inverses. Exercice 1. Vérifier Calculer l'angle d'observation ? en fonction de la distance x et étudier cette fonction. Pour.

Fonctions circulaires et applications r´eciproques

A Fonctions circulaires. A.1 Rappels de trigonométrie. ? Les fonctions sinus cosinus et tangente. Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur R

Fonctions trigonométriques et fonctions hyperboliques

On définit les fonctions cosinus sinus et tangente

Fonctions trigonométriques et hyperboliques réciproques

cos + sin ; ? . Fonctions trigonométriques réciproques. 1. Arc cosinus : La fonction : ? [?11] est surjective mais pas injective

Chapitre13 : Fonctions hyperboliques

Chapitre13 : Fonctions B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique) ... Les fonctions cos et sin s'appellent des fonctions circulaires parce que le ...

FONCTIONS CIRCULAIRES

1 cos(x). 0. ?1. La fonction tangente est impaire et ??périodique. x. 0 ?. 2. +? tan x. 0. 1.

Les fonctions circulaires réciproques

9 déc. 2020 Nous allons dans cet article construire et étudier les fonctions circulaires « réciproques » arc sinus arc cosinus

Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime

%20d%C3%A9riv%C3%A9es

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FONCTIONS CIRCULAIRES

Table des matières

I Fonctions circulaires2

I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2

I.2 Valeurs remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2

I.3 Variations et courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3

II Fonctions circulaires réciproques3

II.1 definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3

II.2 Fonction arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4

II.3 arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4

II.4 arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5

IIIFonctionse

iteteat6 IVDérivée et primitive d"une fonction à valeurs complexes6 http://mathematiques.daval.free.fr-1-

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I Fonctions circulaires

I.1 Définitions

Définition 1

Soitxun réel, il lui correspond un unique pointMsur le cercle trigonométrique tel quexsoit une mesure

en radians de l"angle(?-→i ,--→OM). dex, notécosx, est l"abscisse deMdans le repère(O;-→i;-→j). dex, notésinx, est l"ordonnée deMdans le repère(O;-→i;-→j). dex, notéetanx, est le rapportsinxcosxpourx?=π2+kπ. cosxet sinxsont donc respectivement l"abs- cisse et l"ordonnée du pointMdans le repère (O;-→i;-→j)

On note :M

cosx sinx M x cosxsinx

A0-→

j -→i

Propriété 1

©cos

2x+ sin2x= 1

©-1?cosx?1 et-1?sinx?1

I.2 Valeurs remarquables

0 6 4 3 2 5π 6 3π 4 2π 3 7π 6 5π

44π

33π

11π

6 7π

45π

3 1

2⎷2

2⎷

3 20-1 2- ⎷2 2- ⎷3 21

2⎷

3 2 -1 2 ⎷2 2- ⎷3 2 http://mathematiques.daval.free.fr-2-

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x0π 6 4 3 2 sinx01 2 ⎷2 2 ⎷3 21
cosx1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tanx0 ⎷3

31⎷3∅

I.3 Variations et courbe représentative

La fonction sinus est impaire

et 2π-périodique. x0π2π 1 sin(x)? ? 0 0

La fonction cosinus est paire

et 2π-périodique. x0π2π 1 cos(x)0 -1

La fonction tangente est impaire

etπ-périodique. x0π2 tanx 0 123
-1 -2 -3 -4

2π-π2

-2π-2π

I.4 Dérivation

Propriété 2

Les fonctions sinus et cosinus sont définies et dérivables surR, la fonction tangente est définie et dérivable

sur tout intervalle ne contenant pasπ

2+kπ, et on a :

©cos

?(x) =-sin(x).

©sin

?(x) = cos(x).

©tan

?(x) =1cos2(x)= 1 + tan 2(x). http://mathematiques.daval.free.fr-3-

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II Fonctions circulaires réciproques

II.1 definitions

Considérons une fonctionfdéfinie sur un intervalleIet à valeurs dansRqui à un réelxdeIassocie un

réely. Nous voudrions savoir si nous pouvons définir une fonction "retour » qui permette, à partir dey, de

revenir àx.

Définition 2

SoientIetJdeux intervalles deRetf:I→June fonction continue strictement monotone.

Il existe une unique fonctionf

-1:J→Itelle que pour toutx?Iet pour toutx?J: f -1◦f(x) =f-1(f(x)) =xetf◦f-1(x) =f(f-1(x)) =x. Cette fonction est appelée fonction réciproque def.

Remarque 1

Graphiquement, la courbe de la fonction réciproquef -1d"une fonctionfs"obtient en appliquant une symé- trie d"axe la droite d"équationy=x.

C"est le cas, par exemple, pour les fonctions logarithme et exponentielle surR, où encore pour les fonctions

carré et racine carrée sur [0;+∞[.

II.2 Fonction arc sinus

Définition 3

La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l"intervalle[-

2;π

2]. Elle admet donc sur cet

intervalle une fonction réciproque définie sur[-1;1].

Cette fonction est appelée arc sinus

et notéearcsinou parfoissin-1.

2-π

2 2π 2 y= sinx y= arcsinx y= arcsinxsignifie queyest le réel (l"arc) compris entre-

2et-π

2dont le sinus vautx.

?x?[-1;1],arcsin ?x=1⎷1-x2

Exemple 1

Ôarcsin?1

2? =π6carsin?π6? =12.

Démonstration de la dérivée :

Pour toutxde [-1;1], on a sin(arcsin(x)) =x.

En dérivant les deux membres, on obtient :

arcsin(x) ?×cos(arcsin(x)) = 1 d"où arcsin(x)?=1cos(arcsin(x)).

Comme cos(arcsin(x)) =?

1-sin2(arcsin(?x)) =⎷1-x2, on obtient le résultat cherché.

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II.3 arc cosinus

Définition 4

La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l"intervalle[0;π]. Elle admet donc sur cet

intervalle une fonction réciproque définie sur[-1;1].

Cette fonction est appelée arc cosinus

et notéearccosou parfoiscos-1. -1 -1π 11 y= cosx y= arccosx y= arccosxsignifie queyest le réel (l"arc) compris entre 0 etπdont le cosinus vautx. ?x?[-1;1],arccos ?x=-1⎷1-x2

II.4 arc tangente

Définition 5

La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l"intervalle]-

2;π

2[. Elle admet donc sur

cet intervalle une fonction réciproque définie surR.

Cette fonction est appelée arc tangente

et notéarctanou parfoistan-1.

1 2 3-1-2-3-4

12 -1 -2 -3 y= tanx y= arctanx y= arctanxsignifie queyest le réel (l"arc) compris entre-π

2etπ2dont la tangente vautx.

?x?R,arctan ?x=11 +x2 http://mathematiques.daval.free.fr-5-

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III Fonctionseiteteat

Définition 6

Pour tout nombre réelθet tout nombre complexea=α+iβ, on pose : iθ= cosθ+isinθ. at=eαt[ cos(βt) + ßsin(βt) ]

Démonstration de la seconde égalité :

eat=e(α+iβ)t=eαteiβt=eαt[ cos(βt) +isin(βt) ].

Remarque 2

On peut retrouver ainsi les formules de Moivre et d"Euler, pour toutθ?Retn?N: (cosθ+isinθ) n= cos(nθ) +isin(nθ) cosθ=e iθ+e-iθ 2 sinθ=e iθ-e-iθ 2i IV Dérivée et primitive d"une fonction à valeurs complexes

Définition 7

Une fonction d"une variable réelle à valeur complexe est une fonction qui à un nombre réel associe un nombre complexe.

Exemple 2

la fonction définie surRparf(x) = 2x-3x2iest à valeur complexe.

Remarque 3

On peut considérer que la fonctionfest constituée de deux sous fonctions :f

1(x) = 2xetf2(x) =-3x2.

On a ainsif(x) =f

1(x) +if2(x).

Propriété 3

Soitf(x) =f

1(x) +if2(x) une fonction continue d"une variable réelle à valeur complexe.

©Sif

1etf2sont dérivables, alorsfest dérivable etf?(t) =f?1(x) +if?2(x).

©SiF

1etF2sont les primitives def1etf2alorsFest intégrable etF(x) =F1(x) +iF2(x).

Exemple 3

Soit la fonction définie surRparf(x) = 2x-3x2i.

Ôf?(x) = 2-6xi.

ÔF(x) =x2-x3i.

http://mathematiques.daval.free.fr-6-quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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FONCTIONS CIRCULAIRES

Table des matières

I Fonctions circulaires2

II Fonctions circulaires réciproques3

IIIFonctionse

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I Fonctions circulaires

I.1 Définitions

Définition 1

On note :M

A0-→

Propriété 1

©cos

2x+ sin2x= 1

©-1?cosx?1 et-1?sinx?1

I.2 Valeurs remarquables

44π

33π

11π

45π

2⎷2

2⎷

2⎷

2⎷

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31⎷3∅

I.3 Variations et courbe représentative

La fonction sinus est impaire

La fonction cosinus est paire

La fonction tangente est impaire

2π-π2

I.4 Dérivation

Propriété 2

2+kπ, et on a :

©cos

©sin

©tan

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II Fonctions circulaires réciproques

II.1 definitions

Définition 2

Il existe une unique fonctionf

Remarque 1

II.2 Fonction arc sinus

Définition 3

2;π

2]. Elle admet donc sur cet

Cette fonction est appelée arc sinus

2-π

2et-π

2dont le sinus vautx.

Exemple 1

Ôarcsin?1

Démonstration de la dérivée :

Pour toutxde [-1;1], on a sin(arcsin(x)) =x.

En dérivant les deux membres, on obtient :

Comme cos(arcsin(x)) =?

1-sin2(arcsin(?x)) =⎷1-x2, on obtient le résultat cherché.

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II.3 arc cosinus

Définition 4

Cette fonction est appelée arc cosinus

II.4 arc tangente

Définition 5

2;π

2[. Elle admet donc sur

Cette fonction est appelée arc tangente

1 2 3-1-2-3-4

2etπ2dont la tangente vautx.

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III Fonctionseiteteat

Définition 6

Démonstration de la seconde égalité :

Remarque 2

Définition 7

Exemple 2

Remarque 3

1(x) = 2xetf2(x) =-3x2.