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Donc sh est impaire. b) La fonction cosinus hyperbolique : ch(x) = ex + e. ?x.

Chapitre13 : Fonctions hyperboliques

I Les fonctions hyperboliques directes B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique) ... C) Étude de la fonction ch (cosinus hyperbolique).

Formulaire de trigonométrie

Les fonctions cosinus et sinus vérifient de nombreuses relations. La fonction cosinus hyperbolique est la fonction cosh : R ? R définie par cosh(x) =.

Chapitre III - Fonctions hyperboliques

A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique. A.1.1 Définition. On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh : R ? Rx ?? shx = ex ? e?x.

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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4. A. Fonctions exponentielle puissance et logarithme. 1. La fonction exponentielle de base a La fonction cosinus hyperbolique.

Fonctions hyperboliques et applications r´eciproques

A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R ? Rx ?? chx = ex + e?x.

Petit formulaire bien utile Formules trigonométriques

Fonctions hyperboliques. On rappelle que les fonctions sinus hyperbolique sh cosinus hyperbolique ch et tangente hyper- bolique th sont définies sur R. Par

Synthèse de cours PanaMaths ? Fonctions hyperboliques

Les fonctions sinus hyperbolique et tangente hyperbolique définissent deux bijections de dans et la fonction cosinus hyperbolique définit une bijection de +

Fonctions trigonométriques et fonctions hyperboliques

On définit les fonctions cosinus sinus et tangente

La chaînette 1 Le cosinus hyperbolique

Ici “ch” désigne le cosinus hyperbolique défini à partir de la fonction Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont la partie paire et impaire ...

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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4

A. Fonctions exponentielle, puissance et logarithme

1. La fonction exponentielle de base a (

0a) xLn ax f xyfxae

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : xLn a xLn axx a e Ln a e Ln a a

Cas particulier : l'exponentielle de base e

Propriétés

1 ; eee

x xLn e x Ln x xex 2 xyxy xyeee 2 ,, x xy y exy ee 1, nxnxx x neeee ux ux euxe http://ginoux.univ-tln.fr 2

Limites :

1lim 1

x x e x lim x x e lim 0 x x e lim ; x x e x

2. La fonction logarithme de Neper

:f xyfx Lnx

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit :

1'Ln x

Propriétés

10Ln 1Ln e x xLn e x Ln x xex 2 ,, xy Lnx y Lnx Lny 2 ,, xxyLnLnxLnyy n n Lnx n Lnx

01 , 0xLnx

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Limites

lim x Ln x 0 lim x Ln x 1 lim 11 x Ln x x lim 0 ; x Ln x x 00

1lim lim 11

xx Ln xx xLnx 0 lim 0 ; 0 x xLnx

3. La fonction puissance

mLn xm f xyfxxe

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 1 mm xmx http://ginoux.univ-tln.fr 4

4. La fonction cosinus hyperbolique

2 xx f eexychx

La fonction

ychx est une fonction PAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'ch x sh x

5. La fonction sinus hyperbolique

2 xx f eexyshx

La fonction

yshx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'shx chx http://ginoux.univ-tln.fr 5

6. La fonction tangente hyperbolique

xx xx f sh xeexythxch x e e

La fonction

ythx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'th xch x

Relations importantes

1ch x sh x

x ch x sh x e x ch x sh x e 2 2

11th xch x

Lien hypertexte

: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique http://ginoux.univ-tln.fr 6

B. Fonctions hyperboliques inverses

1. La fonction argsinus hyperbolique

1 y Argsh x Ln x x x sh y

Cette fonction continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argsh xx

2. La fonction argcosinus hyperbolique

1 y Argch x Ln x x x ch y

Cette fonction continue et définie sur

1, et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argch xx

3. La fonction argtangente hyperbolique

11 21xyArgthx Ln xthyx

Cette fonction continue et définie sur

1, 1 et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argth x

x http://ginoux.univ-tln.fr 7

T.D. N°3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES

N°1

: Étudier le passage de la trigonométrie circulaire à la trigonométrie hyperbolique.

N°2

: Étudier les fonctions :

1, , , 1x

ch x sh x th x th x

N°3

: Démontrer que : 2 2tan2 1tan 2 x sin x x 2 22
1 2 x th sh x x th

N°4

: Démontrer que

Arctan sh x Arcsin th x

N°5

: Étudier la fonction 2 2 1 1x fx Argch x

N°6

: Démontrer que 11 21x

Argth x Ln

N°7

: Étudier la fonction

1fx Argth

xquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4

1. La fonction exponentielle de base a (

Cette fonction est continue et définie sur

Cas particulier : l'exponentielle de base e

Propriétés

1 ; eee

Limites :

1lim 1

2. La fonction logarithme de Neper

Cette fonction est continue et définie sur

1'Ln x

Propriétés

01 , 0xLnx

Limites

1lim lim 11

3. La fonction puissance

Cette fonction est continue et définie sur

4. La fonction cosinus hyperbolique

La fonction

Cette fonction est continue et définie sur

5. La fonction sinus hyperbolique

La fonction

Cette fonction est continue et définie sur

6. La fonction tangente hyperbolique

La fonction

Cette fonction est continue et définie sur

1'th xch x

Relations importantes

1ch x sh x

11th xch x

Lien hypertexte

B. Fonctions hyperboliques inverses

1. La fonction argsinus hyperbolique

1 y Argsh x Ln x x x sh y

Cette fonction continue et définie sur

1'1Argsh xx

2. La fonction argcosinus hyperbolique

1 y Argch x Ln x x x ch y

Cette fonction continue et définie sur

1'1Argch xx

3. La fonction argtangente hyperbolique

11 21xyArgthx Ln xthyx

Cette fonction continue et définie sur

1'1Argth x

T.D. N°3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES

N°1

N°2

1, , , 1x

N°3

N°4

Arctan sh x Arcsin th x

N°5

N°6

Argth x Ln

N°7

1fx Argth