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Donc sh est impaire. b) La fonction cosinus hyperbolique : ch(x) = ex + e. ?x.

Chapitre13 : Fonctions hyperboliques

I Les fonctions hyperboliques directes B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique) ... C) Étude de la fonction ch (cosinus hyperbolique).

Formulaire de trigonométrie

Les fonctions cosinus et sinus vérifient de nombreuses relations. La fonction cosinus hyperbolique est la fonction cosh : R ? R définie par cosh(x) =.

Chapitre III - Fonctions hyperboliques

A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique. A.1.1 Définition. On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh : R ? Rx ?? shx = ex ? e?x.

Ch 4 FONCTIONS HYPERBOLIQUES.pdf

FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4. A. Fonctions exponentielle puissance et logarithme. 1. La fonction exponentielle de base a La fonction cosinus hyperbolique.

Fonctions hyperboliques et applications r´eciproques

A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R ? Rx ?? chx = ex + e?x.

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Fonctions hyperboliques. On rappelle que les fonctions sinus hyperbolique sh cosinus hyperbolique ch et tangente hyper- bolique th sont définies sur R. Par

Synthèse de cours PanaMaths ? Fonctions hyperboliques

Les fonctions sinus hyperbolique et tangente hyperbolique définissent deux bijections de dans et la fonction cosinus hyperbolique définit une bijection de +

Fonctions trigonométriques et fonctions hyperboliques

On définit les fonctions cosinus sinus et tangente

La chaînette 1 Le cosinus hyperbolique

Ici “ch” désigne le cosinus hyperbolique défini à partir de la fonction Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont la partie paire et impaire ...

Universit´e Aix-MarseillePEIP 2013-14

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Formules trigonom

´etriques

On rappelle que les fonctions sinus et cosinus sont d

´efinies surR, prennent leurs valeurs dans

l"intervalle[-1;1]et sont2π-p´eriodiques, la fonction tangente est d´efinie surR\{π 2 +kπ;k∈Z}, prend ses valeurs dansRet estπ-p´eriodique. cos

2x+sin2x=1 tanx=sinx

cosx1+tan2x=1 cos 2x sin(-x) =-sinxcos(-x) =cosxtan(-x) =-tanx sin(π-x) =sinxcos(π-x) =-cosxtan(π-x) =-tanx sin(π 2 -x)=cosxcos(π 2 -x)=sinxtan(π 2 -x)=1 tanx sin2x=2sinxcosxcos2x= cos

2x-sin2x

2cos 2x-1

1-2sin2xtan2x=2tanx

1-tan2x

sinx=2t

1+t2cosx=1-t2

1+t2tanx=2t

1-t2 lorsque, dans la derni `ere ligne,t=tan(x 2 Les formules d"addition et transformation de sommes en produits sin(a+b) =sinacosb+sinbcosacos(a+b) =cosacosb-sinasinb tan(a+b) =tana+tanb

1-tanatanb

cosp+cosq=2cos(p+q 2 )cos(p-q 2 )cosp-cosq=-2sin(p+q 2 )sin(p-q 2 sinp+sinq=2sin(p+q 2 )cos(p-q 2 )sinp-sinq=2cos(p+q 2 )sin(p-q 2

Poura;b∈Retx;y∈R, on a aussi

2+b2cos(x-φ);

o `uφv´erifie cosφ=a a

2+b2etsinφ=b

a 2+b2:

Quelques limites

sinh h --→h→01;1-cosh h

2--→h→01

2 ;tanh h --→h→01: D

´eriv´ees - Primitives

Les fonctions sinus et cosinus sont d

´erivables surR, la fonction tangente est d´erivable sur son ensemble de d

´efinitionR\{π

2 +kπ;k∈Z}. sin ′(x) =cosxcos′(x) =-sinxtan′(x) =1+tan2x=1 cos

Notation trigonom

´etrique pour les nombres complexes

e ix=cosx+isinxcosx=ℜe(eix) =1 2 (eix+e-ix)sinx=ℑm(eix) =1

2i(eix-e-ix)

Fonctions hyperboliques

On rappelle que les fonctions sinus hyperboliquesh, cosinus hyperboliquechet tangente hyper- boliquethsont d´efinies surR. Par d´efinition, shx=1 2 (ex-e-x);chx=1 2 (ex+e-x);thx=shx chx=ex-e-x e x+e-x:

En particulier, on a

chx+shx=exx∈R: La fonctionshprend ses valeurs dansR, la fonctionchprend ses valeurs dans l"intervalle[1;+∞[ et la fonctionthprend ses valeurs dans l"intervalle]-1;1[. ch

2x-sh2x=1 thx=shx

chx1-th2x=1 ch 2x sh(-x) =-shxch(-x) =chxth(-x) =-thx sh2x=2shxchxch2x= ch

2x+sh2x

2ch 2x-1

1+2sh2xth2x=2thx

1+th2x:

Les formules d"addition et transformation de sommes en produits sh(a+b) =shachb+shbchach(a+b) =chachb+shashb th(a+b) =tha+thb

1-thathb

chp+chq=2ch(p+q 2 )ch(p-q 2 )chp-chq=2sh(p+q 2 )sh(p-q 2 shp+shq=2sh(p+q 2 )ch(p-q 2 )shp-shq=2ch(p+q 2 )sh(p-q 2 D

´eriv´ees - Primitives

Les fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont d

´erivables

surR. sh ′(x) =chxch′(x) =shxth′(x) =1-th2x=1 ch

Fonctions r

´eciproques

Si on restreint les ensembles de d

´efinition du sinus, du cosinus et de la tangente, il est possible d"obtenir des fonctions bijectives.

L"applicationsin:[-π

2 2 ]-→[-1;1]est bijective. Son application r´eciproque est appel´ee arcsinus arcsin :[-1;1]-→[ 2 2 elle est d

´erivable sur]-1;1[et sa d´eriv´ee vaut

arcsin ′(x) =1

1-x2pour toutx∈]-1;1[.

De plus, pour toutx∈[-1;1], on asin(arcsinx) =xet pour toutx∈R, arcsin(sinx) ={x-2kπsix∈[-π 2 +2kπ;π 2 +2kπ] -x+(2k+1)πsix∈[π 2 +2kπ;3π 2 +2kπ];k∈Z:

L"applicationcos :[0;π]-→[-1;1]est bijective. Son application r´eciproque est appel´ee arccosinus

arccos :[-1;1]-→[0;π]; 2 elle est d´erivable sur]-1;1[et sa d´eriv´ee vaut arccos ′(x) =-1

1-x2pour toutx∈]-1;1[.

De plus, pour toutx∈[-1;1], on acos(arccosx) =xet pour toutx∈R, arccos(cosx) ={-x+2kπsix∈[(2k-1)π;2kπ]

L"applicationtan :]-π

2 2 [-→Rest bijective. Son application r´eciproque est appel´ee arctangente arctan :R-→] 2 2 elle est d

´erivable surRet sa d´eriv´ee vaut

arctan ′(x) =1

1+x2pour toutx∈R.

On fait maintenant la m

ˆeme chose pour les fonctions hyperboliques.

L"applicationsh :R-→Rest bijective. Son application r´eciproque est appel´ee argument sinus

hyperbolique argsh :R-→R; elle est d

´erivable surRet sa d´eriv´ee vaut

argsh ′(x) =1 x

2+1pour toutx∈R.

L"argument sinus hyperbolique s"exprime aussi de la fac¸on suivante : x

2+1)pour toutx∈R.

L"applicationch :[0;+∞[-→[1;+∞[est bijective. Son application r´eciproque est appel´ee argument

cosinus hyperbolique argch :[1;+∞[-→[0;+∞[; elle est d ´erivable sur]1;+∞[et sa d´eriv´ee vaut argch ′(x) =1 x

2-1pour toutx>1.

L"argument cosinus hyperbolique s"exprime aussi de la fac¸on suivante : x

2-1)pour toutx≥1.

L"applicationth :R-→]-1;1[est bijective. Son application r´eciproque est appel´ee argument tan-

gente hyperbolique argth :]-1;1[-→R; elle est d

´erivable sur]-1;1[et sa d´eriv´ee vaut

argth ′(x) =1

1-x2pour toutx∈]-1;1[.

L"argument tangente hyperbolique s"exprime aussi de la fac¸on suivante : argthx=1 2 ln(1+x 1-x) 1+x

1-xpour toutx∈]-1;1[.

Quelques identit´es remarquables

- Somme des premiers termes d"une progression g

´eom´etrique :

1+q+···+qn=h∑

k=0qk={n+1siq=1;

1-qn+1

1-qsiq̸=1:

- Poura;b∈Cetn∈N(n≥1) :quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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´etriques

´efinies surR, prennent leurs valeurs dans

2x+sin2x=1 tanx=sinx

2x-sin2x

1-2sin2xtan2x=2tanx

1-tan2x

1+t2cosx=1-t2

1+t2tanx=2t

1-tanatanb

Poura;b∈Retx;y∈R, on a aussi

2+b2cos(x-φ);

2+b2etsinφ=b

Quelques limites

2--→h→01

´eriv´ees - Primitives

Les fonctions sinus et cosinus sont d

´efinitionR\{π

Notation trigonom

´etrique pour les nombres complexes

2i(eix-e-ix)

Fonctions hyperboliques

En particulier, on a

2x-sh2x=1 thx=shx

2x+sh2x

1+2sh2xth2x=2thx

1+th2x:

1-thathb

´eriv´ees - Primitives

´erivables

Fonctions r

´eciproques

Si on restreint les ensembles de d

L"applicationsin:[-π

´erivable sur]-1;1[et sa d´eriv´ee vaut

1-x2pour toutx∈]-1;1[.

1-x2pour toutx∈]-1;1[.

L"applicationtan :]-π

´erivable surRet sa d´eriv´ee vaut

1+x2pour toutx∈R.

On fait maintenant la m

ˆeme chose pour les fonctions hyperboliques.

´erivable surRet sa d´eriv´ee vaut

2+1pour toutx∈R.

2+1)pour toutx∈R.

2-1pour toutx>1.

2-1)pour toutx≥1.

´erivable sur]-1;1[et sa d´eriv´ee vaut

1-x2pour toutx∈]-1;1[.

1-xpour toutx∈]-1;1[.

Quelques identit´es remarquables

´eom´etrique :

1+q+···+qn=h∑

1-qn+1

1-qsiq̸=1: