[PDF] DÉRIVATION (Partie 2) Premières formules d'opé





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3x +2 f (x)= 2×5x ? 3

Le nombre dérivé de f en x = 3 est f '(3) = ?4 × 3?1= ?13. 2) Équation de la tangente. Soit f une fonction polynôme du second degré. A est un point d' 



DÉRIVATION (Partie 2)

Premières formules d'opération sur les fonctions dérivées : Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ? par.



Programme de mathématiques de première générale

fonctions (taux de variation calcul de la fonction dérivée



I) Rappels sur le second degré

Chapitre 2 -. Fonctions : Dérivation continuité et convexité. I) Rappels sur le second degré. Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré.



Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles

entre la variable x ? R et les dérivées de la fonction inconnue u au point x. La fonction F est une fonction de et une équation du second ordre'écrit.



CORRECTIONS Déclic Maths Fonctions polynômes du second

CORRECTIONS Déclic Maths. Fonctions polynômes du second degré. Equations. Correction des exercices bilan page 37. • Bilan 1. 1) On a f(x)=(m 1)x2.



Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre

du premier ordre auxquelles doit satisfaire la fonction V. Ces équa- tions sont homogènes et du second degré par rapport aux dérivées. Ce qui précède explique 



Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique

où les fonctions a et b sont données et s'appellent les coefficients de l'équation différentielle et la fonction f est donnée et s'appelle le second membre.



Cours de maths S/STI/ES - Etude de fonctions et dérivées

inéquations du second degré calcul de discriminant. 3. 4. Tangente et nombre dérivé : nombre dérivé



Les équations différentielles en physique

Elle est dite du « second ordre » si elle contient la dérivée seconde de y (y") On cherche les solutions r associées à cette équation du second degré.

1

DÉRIVATION - Chapitre 2/2

Partie 1 : Fonction dérivée

Définition : La fonction qui à tout réel associe le nombre dérivé de en est appelée

fonction dérivée de et se note ′. Notation : La fonction dérivée se note : ' ou Formules de dérivation des fonctions usuelles :

Fonction Dérivée

=0 =cos ′ =-sin =sin ′ =cos

Méthode : Dériver les fonctions usuelles

Vidéo https://youtu.be/kiemuwNkQhY

Calculer la dérivée de chacune des fonctions : =100 ; =-5 ; ℎ

Correction

=100→ =0 =-5→′ =-5 =4 1 2 Premières formules d'opération sur les fonctions dérivées :

Fonction Dérivée

2 Méthode : Calculer des fonctions dérivées

Vidéo https://youtu.be/uTk3T_GfwYo

Dans chaque cas, calculer la fonction dérivée de la fonction :

1)

=3 2) +5 3) =5

4)

=3

Correction

1) ′

=3

2)

5 =2+0=2

3) ′()=5

′=5×3 =15

4) ′

3

=3×2+ =6- Partie 2 : Fonction dérivée d'une fonction polynôme

1) Fonction polynôme de degré 2

Soit une fonction polynôme du second degré définie par =5 -3+2. Pour déterminer la fonction dérivée ', on applique la technique suivante : Définition : Soit une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par On appelle fonction dérivée de , notée ', la fonction définie sur ℝ par =2+. Méthode : Déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré

Vidéo https://youtu.be/5WDIrv_bEYE

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a) =4 -6+1 b) -2+6 c) ℎ =-3 +2+8 d) ++1 e) =5 +5 f) +7 3

Correction

a) =4 -6+1 donc ′()=2×4-6=8-6 b) -2+6 donc ()=2×-2=2-2 c) ℎ =-3 +2+8 donc ℎ′ =2× -3 +2=-6+2 d) +1+1 donc ′ =2+1 e) =5 +5 donc ′ =2×5=10 f) +7 donc ′ =-2+7

2) Fonction polynôme de degré 3

Soit une fonction polynôme du troisième degré définie par : =2 -3 +5-1. Pour déterminer la fonction dérivée ', on applique la technique suivante :

Définition : Soit une fonction polynôme du troisième degré définie sur ℝ par

On appelle fonction dérivée de , notée ', la fonction définie sur ℝ par =3 +2+.

Méthode : Déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme du troisième degré

Vidéo https://youtu.be/1fOGueiO_zk

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a) -3 +2-5 b) =5 +2 +2-7 c) ℎ =-2 -3 -7+8 d) +1 e) =4 +1 f) +7

Correction

a) -3 +2-5 donc ′ =3× -2×3+2=3 -6+2 b) =5 +2 +2-7 donc ′ =3×5 +2×2+2=15 +4+2 4 c) ℎ =-2 -3 -7+8 donc ℎ ()=3× -2 -2×3-7=-6 -6-7 d) +1 donc ′ =-3 +2×=-3 +2 e) =4 +1 donc ()=3×4 =12 f) +7 donc ′ =-3 +7 Partie 3 : Opérations sur les fonctions dérivées

1) Produit et quotient de fonctions dérivées :

Méthode : Calculer les dérivées de sommes, produits et quotients de fonctions

Vidéo https://youtu.be/1fOGueiO_zk

Vidéo https://youtu.be/OMsZNNIIdrw

Vidéo https://youtu.be/jOuC7aq3YkM

Vidéo https://youtu.be/-MfEczGz_6Y

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a)

3

+4

5-1

b) c) ℎ

Correction

a) avec =3 +4 → ()=6+4 =5-1 →′ =5

Donc : ′

6+4

5-1

3

+4 ×5 =30 -6+20-4+15 +20 =45 +34-4

Fonction Dérivée

1 5 b) 1 avec =2 +5 → ()=4+5

Donc : ′

1

1#)

c) ℎ avec =6-5 → ()=6 -2-1 → =2-2

Donc : ℎ′

1 #)#)-1#) *$)#*$4#-$4 *$4#-$,

2) Dérivées de fonctions composées

Fonction Dérivée

cos -sin sin cos Méthode : Calculer les dérivées de fonctions composées

Vidéo https://youtu.be/Py4f2YAwebA

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

1)

=3cos

2+

2)

=-4sin-3- O

Correction

1)

=3cos

2+

2)

=-4sin-3- O donc : donc : =-3×2sin

2+

=-4× -3 cos-3- O =-6sin

2+

=12cos-3- O 6 Partie 4 : Application à l'étude des variations d'une fonction

Théorème :

- Si′()≥0, alors est croissante. Méthode : Étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré

Vidéo https://youtu.be/EXTobPZzORo

Vidéo https://youtu.be/zxyKLqnlMIk

Soit la fonction définie sur ℝ par =2 -8+1. a) Calculer la fonction dérivée de . b) Déterminer le signe de ' en fonction de x. c) Dresser le tableau de variations de .

Correction

a) =2×2-8=4-8. b) Étude du signe de la dérivée :

On commence par résoudre l'équation

()=0.

Soit : 4-8=0

4=8

5 =2. La fonction ' est une fonction affine représentée par une droite dont le coefficient directeur 4 est positif. Donc ' est croissante. Elle est donc d'abord négative (avant =2) puis positive (après =2). c) On dresse le tableau de variations en appliquant le théorème : 2 =2×2 -8×2+1=-7. -∞ 2 +∞ -7 7

Partie 5 : Extremum d'une fonction

La fonction admet un maximum au point

où la dérivée s'annule et change de signe.

La fonction admet un minimum au point où

la dérivée s'annule et change de signe. Théorème : Soit une fonction dérivable sur un intervalle ouvert .

Si la dérivée ′ s'annule et change de signe en un réel alors admet un extremum en

Méthode : Déterminer un extremum d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/zxyKLqnlMIk

Soit la fonction définie sur ℝ par =5 -10+1. a) Calculer la fonction dérivée ' de . b) Déterminer le signe de ' en fonction de . c) Dresser le tableau de variations de .

d) En déduire que la fonction admet un extremum sur ℝ. On précisera la valeur où il est

atteint.

Correction

a) ′ =10-10 b) Étude du signe de la dérivée :

On commence par résoudre l'équation

()=0.

Soit : 10-10=0

10=10

$4 $4 =1. 8

La fonction ' est une fonction affine représentée par une droite dont le coefficient directeur

10 est positif.

' est croissante. Elle est donc d'abord négative (avant =1) puis positive (après =1).

c) On dresse alors le tableau de variations : 1 =5×1 -10×1+1=-4 d) On lit dans le tableau de variations que la fonction admet un minimum égal à -4 en = 1. -∞ 1 +∞ -4quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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