3x +2 f (x)= 2×5x ? 3
Le nombre dérivé de f en x = 3 est f '(3) = ?4 × 3?1= ?13. 2) Équation de la tangente. Soit f une fonction polynôme du second degré. A est un point d'
DÉRIVATION (Partie 2)
Premières formules d'opération sur les fonctions dérivées : Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ? par.
Programme de mathématiques de première générale
fonctions (taux de variation calcul de la fonction dérivée
I) Rappels sur le second degré
Chapitre 2 -. Fonctions : Dérivation continuité et convexité. I) Rappels sur le second degré. Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré.
Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles
entre la variable x ? R et les dérivées de la fonction inconnue u au point x. La fonction F est une fonction de et une équation du second ordre'écrit.
CORRECTIONS Déclic Maths Fonctions polynômes du second
CORRECTIONS Déclic Maths. Fonctions polynômes du second degré. Equations. Correction des exercices bilan page 37. • Bilan 1. 1) On a f(x)=(m 1)x2.
Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre
du premier ordre auxquelles doit satisfaire la fonction V. Ces équa- tions sont homogènes et du second degré par rapport aux dérivées. Ce qui précède explique
Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique
où les fonctions a et b sont données et s'appellent les coefficients de l'équation différentielle et la fonction f est donnée et s'appelle le second membre.
Cours de maths S/STI/ES - Etude de fonctions et dérivées
inéquations du second degré calcul de discriminant. 3. 4. Tangente et nombre dérivé : nombre dérivé
Les équations différentielles en physique
Elle est dite du « second ordre » si elle contient la dérivée seconde de y (y") On cherche les solutions r associées à cette équation du second degré.
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Fiche n°1 - Étude de fonctions et dérivées Étude de fonction, équation de droite, nombre dérivée et dérivées usuelles, etc.J. Paquereau 1/11
Cours : fiche n°1 - Étude de fonctions et dérivéesThème : étude de fonction, équation de droite, nombre dérivée et dérivées usuelles, etc.
Notions abordées Page
1. Rappels sur les fonctions : définition, ensemble de définition, image, antécédent. 1
2. Équation de droite et coefficient directeur : fonctions affines et linéaires, calcul du
inéquations du second degré, calcul de discriminant. 3 dérivabilité, dérivées usuelles, calcul de dérivées. 55. Etude de fonction : fonction dérivée première et variations, dérivée seconde et
concavité/convexité. 81. Rappels sur les fonctions
associera respectivement les nombres 12, 28 et 2,12.Soit :
des nombres ou valeurs pour lesquelles la fonction est définie, nombres pouvant être " produits » par la fonction. 12. fonction ݂.Terminale S/ES/STI
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dire compris entre 0 inclus et λ), associe le nombre multiplié par lui-même plus une constante.
En termes mathématiques, on écrira :
Soit :
réels positifs.Ainsi, pour ܽ
avons défini ݃ pour tout réel positif. Or, െͳ est négatif. A droite, on a tracé la courbe représentative de ݃ en supposant que ܽ2. Équation de droite et coefficient directeur
Toute droite (du plan euclidien) peut se mettre
ࢇ est appelé coefficient directeur. ࢈ est une constante qui détermine le décalage ࢌ est qualifiée de fonction affine. De plus, si ܾ vaut Ͳ, f est qualifiée de fonction linéaire.Terminale S/ES/STI
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Le coefficient directeur (ce fameux ܽ
ܽ est positif, la fonction est croissante (la droite " monte »). Si ܽ décroissante (la droite " descend »). Le coefficient ܽComment calculer le coefficient directeur (ܽ
ordonnées (ܾCoefficient directeur :
Décalage :
Comme : ܾൌݕെܽ
3. Équation du second degré
faire, on calcule le discriminant.On étudie le signe du discriminant en appliquant les propriétés suivantes (trois cas possibles).
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Visuellement, les trois cas évoqués ci-avant se traduisent par les courbes représentées ci-après. On
" vers le haut » : Si ȟͲ, on note ݔଵൌିାξοSi ܽ
Si ܽ
Si ȟൌͲ, on note : ݔଵൌିTerminale S/ES/STI
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représentation visuelle de la page précédente, laquelle vous permet de retrouver les retrouver,
4. Tangente et nombre dérivé
4.1. Nombre dérivé
en ce point, si la tangente existe !Formellement, on peut donner deux définitions équivalentes du nombre dérivé. Il importe de bien
connaître les deux définitions. Soit une fonction ݂ǣܫ՜ܬ, et soit ݔǡݔܫא Soit une fonction ݂ǣܫ՜ܬ, soit ݔܫא ment petit pour que ݔ݄ܫא est appelée taux de variation.Explication :
Si on calcule le coefficient directeur de la droite passant par ces deux points, on retrouve bien ce fameux taux de variation.Terminale S/ES/STI
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Démonstration :
4.2. Ensemble de dérivabilité
même forcément dérivable sur son ensemble de définition. Plus exactement, une fonction est dérivable
sur tout ou partie de son ensemble de définition. Il est donc vivement conseillé de connaître les
ensembles de dérivabilité des fonctions (du moins des fonctions les plus courantes, voir ci-après).
tout ݔא4.3. Fonctions dérivées usuelles
Fonction Ensemble de définition Fonction dérivée Ensemble de dérivabilité݇ (avec k réel) Թ 0 Թ
݇ݔ (avec k réel) Թ ݇ Թ
ݔ (avec n entier) Թ ݊ݔିଵ ԹTerminale S/ES/STI
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A bien retenir !
Dans un ensemble " classique », on ne peut pas diviser par 0 !4.4. Quelques exemples
La fonction݂ est bien définie et dérivable sur Թ en tant que somme de fonctions définies et dérivables
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Bien connaître ses formules de dérivations ! erreurs de signe, erreurs de développement ou encore de factorisation !5. Étude de fonctions
5.1. Dérivée première et sens de variation
fonction dérivée et du calcul des limites de la fonction à ses extrémités. Voici les quelques propriétés
essentielles à retenir :N.B. : cette notation est mathématiquement incorrecte. Elle doit uniquement servir de moyen mnémotechnique.
intervalle I, alors ݂ atteint un extremum ܽDeux cas se présentent alors :
Si ݂ est successivement croissante puis décroissante sur ů'intervalle ܫ intervalle). Si ݂ est successivement décroissante puis croissante sur ů'intervalle ܫ intervalle).Remarque : si ܫ
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Le discriminant du polynôme ܲ
On a donc :
Signe de
Variations
de ݂Détail des calculs :
Les deux derniers calculs seront abordés lorsque nous étudierons le calcul de limites.5.2. Interprétation physique de la dérivée première
0 0Terminale S/ES/STI
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5.3. Dérivée seconde et convexité
Intuitivement, on peut définir les notions concavité et de convexité comme suit : Une fonction ݂ est dite concave sur un intervalle ܫ Une fonction ݂ est dite convexe sur un intervalle ܫIllustration :
fonction est convexe ou concave sur un intervalle donné. Si ݂ est une fonction concave (resp. convexe) sur un intervalle ܫ Si ݂ est définie et deux fois dérivable sur un intervalle ܫTerminale S/ES/STI
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