Fonctions de référence
Tableau de signe de f(x) en fonction de x : • a > 0. • a < 0 fonction carré est une courbe appelée parabole ; son équation est. 2. y x. = . Remarques :.
FONCTION CARRÉ E – POLYNOMES DU SECOND DEGRÉ
D'après la règle des signes d'un produit on en déduit que : a?b a b 0 Le tableau de variations de la fonction carrée est donc:.
I La fonction carrée
ce qui assure que la fonction carrée est décroissante sur ] - ?; 0]. Dressons ici le tableau de variations et de signe de la fonc- tion carrée :.
VARIATIONS DUNE FONCTION
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les La fonction carré est décroissante sur l'intervalle.
Fonctions 4-carre-polynome
Représenter graphiquement la fonction carré. Equations inéquations tableau de signe des produits. Travail sur le sens de variation. 1) La fonction carré :.
VARIATIONS DES FONCTIONS
I. Variations d'une fonction numérique sur un intervalle: Tableau de variation : La fonction carré est strictement décroissante sur ] – ; 0 ] et ...
Fonctions affines inverse et carrée
Puisque f est décroissante on obtient le tableau de signe suivant : x signe de f (x). ??. 25. 3. +?. + 0 ?. II Fonction inverse. Propriété :.
LES FONCTIONS DE REFERENCE
1) Le tableau de valeurs n'est pas un tableau de proportionnalité. La fonction carrée n'est donc pas une fonction linéaire. 2) Dans un repère (O I
FONCTION CARRÉ E – POLYNOMES DU SECOND DEGRÉ
D'après la règle des signes d'un produit on en déduit que : a?b a b 0 Le tableau de variations de la fonction carrée est donc:.
CONVEXITÉ
La fonction f est concave sur I si sur l'intervalle I
[PDF] I La fonction carrée
On appelle fonction carrée la fonction f définie sur R par f(x) = x2 Dressons ici le tableau de variations et de signe de la fonc- tion carrée :
[PDF] Fonctions de référence
Tableau de signe de f(x) en fonction de x : • a > 0 • a < 0 fonction carré est une courbe appelée parabole ; son équation est 2 y x = Remarques :
[PDF] Seconde - Fonction carré - Parfenoff org
La fonction carré est la fonction définie sur ? qui à tout réel associe son carré ² : : ? ² II) Sens de variation de la fonction carré
Fonction carré - Cours maths seconde - Educastream
La fonction carré a le tableau de variation suivant : · La fonction carré est décroissante sur l'intervalle · La fonction carré est croissante sur l'intervalle
[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques
2) Fonction carré Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f (x) = x2 Propriété : La fonction carré est strictement décroissante
[PDF] VARIATIONS DUNE FONCTION - maths et tiques
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone Méthode : Déterminer graphiquement les
[PDF] Fonction Carrée
1 déduire le tableau de signes de la fonction carrée du tableau de variations de cette même fonction 2 étudier le signe des fonctions suivantes en
[PDF] Fonction carré
Méthode : on peut raisonner en utilisant le sens de variation de la fonction carré ou en s'aidant d'un dessin a On a et ces deux nombres appartiennent à
Quel est le signe d'une fonction carré ?
A. La fonction carré est la fonction f définie sur ? qui, à tout réel x, associe son carré x2, soit f(x) = x2. La fonction carré est strictement décroissante sur ]?? ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +?[. Sur ]?? ; 0].C'est quoi le rôle de racine carré ?
La fonction racine carrée est la fonction qui à tout réel positif x associe le nombre réel positif noté x dont le carré est x. On peut noter cette fonction f ( x ) = x f(x)=\\sqrt x f(x)=x avec x ? 0 x\\geq0 x?0.Comment calculer le carré d'une fonction ?
La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. En effet, pour tout réel a a a on a f ( ? a ) = ( ? a ) 2 = a 2 = f ( a ) f(-a)=(-a)^2=a^2=f(a) f(?a)=(?a)2=a2=f(a).- Tracé de la courbe représentative
Représentation graphique : La courbe représentative de la fonction carré est une parabole.
Fonctions affines, inverse et carrée
I Fonctions affines
Propriété :Variationsdes fonctions affines
Unefonction affineest définie parf:R-→R
x?-→mx+p. oùmetpsont des réels. ?mest appelécoefficient directeur. ?pest appeléordonnée à l"origine. ?Sim>0, elle eststrictementcroissantesurR. ?Sim<0, elle eststrictementdécroissantesurR. ?Sim=0, elle estconstantesur surR x mx+p m>0 -∞+∞x mx+p m<0-∞+∞ ?Sa courbe représentativeest unedroite. -4-3-2-1123 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 y=-2x+2y=1,5x+3Remarques :
?Sim=0, la fonction est constante. ?Sip=0, la fonction est ditelinéaire.Définition :Taux devariation
On appelletaux de variationd"une fonctionfentre deux nombresx1etx2le quotientf(x2)-f(x1)x2-x1.Pour une fonction affine, il est contant quels que soientx1etx2. Il s"agit du coefficient directeurm.
Remarque :
affine donnée graphiquement ou passant par des points particuliers.Exemple 1 :Étude d"une fonction affine
Soitfla fonction affine dont la courbe représentativepasse par les pointsA(5;10) etB(9;-2). Donner l"expression algébriquede cette fonction puis étudier ses variations et son signe.Correction :
La fonctionfest affine donc son expression algébriqueest de la forme :f(x)=mx+p.Il faut trouvermetp.
Pour trouver rapidement le coefficient directeurmon utilisela formule du taux de variation : m=f(x2)-f(x1) x2-x1oùx1=5 etf(x1)=10 et de mêmex2=9 etf(x2)=-2.Ainsi,m=-2-10
9-5=-124=-3.(Voir ce calcul sur le graphique suivant.)
1Fonctions affines, inverse et carrée
Il reste à trouverp:
L"expression algébrique defestf(x)=-3x+p.
On sait que la courbe représentative defpasse par le pointA(5;10). Cela signifie quef(5)=10.On obtient donc une équation : 10=-3×5+p.
10=-15+p
10+15=p
25=pAinsi, l"expression algébriquedefest :f(x)=-3x+25. Pour les variations, lecoefficient directeur est négatif doncfest décroissantesurR: x -3x+25 Pour le signe, il faut calculer l"antécédent de 0 : f(x)=0 -3x+25=0 -3x=-25 x=-25 -3=253. -1.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. -5. 5. 10. 15. 20. 25.
30.
0 4 -12A B Puisquefest décroissante, on obtient le tableau de signe suivant : x signe def(x)-∞253+∞ +0-
II Fonction inverse
Propriété :Variationsde la fonction inverse
Lafonction inverseest définie parf:R?-→R
x?-→1 x. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement décroissantesur ]0;+∞[. x 1 x -∞0+∞ ?Elle est symétrique par rapport à l"origine du repère. ?Sa courbe représentatives"appelle unehyperbole. -5-4-3-2-11234 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 02Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction inverse possède une valeur dite"interdite». La division par 0 étant impossible, 0 ne fait
pas partie de l"ensemble de définitionde la fonction inverse.2) Autre formulationde la variation de la fonction inverse :
Deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans l"ordre contraire.Six1 x1>1x2 Deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l"ordre contraire. Si 0 x1>1x2 Définition :Fonction homographique
On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d. Propriété :
qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7? Correction :
Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite. Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7
3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+4 3x-7estR\?73?
III La fonction carrée
Propriété :Variationsde la fonction carrée Lafonction carréeest définie parf:R-→R
x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 3Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.
2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :
Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire. Six1x22
Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0x22
Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0 Exemple 3 :Étude graphique
On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR. Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.
Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 0 1. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?
2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.
Remarques :
1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique
sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoù Cette forme est appelée laforme canonique.
2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.
Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations. 4Fonctions affines, inverse et carrée
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
Si 0 x1>1x2 Définition :Fonction homographique
On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d. Propriété :
qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7? Correction :
Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite. Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7
3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+4 3x-7estR\?73?
III La fonction carrée
Propriété :Variationsde la fonction carrée Lafonction carréeest définie parf:R-→R
x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 3Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.
2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :
Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire. Six1x22
Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0x22
Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0 Exemple 3 :Étude graphique
On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR. Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.
Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 0 1. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?
2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.
Remarques :
1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique
sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoù Cette forme est appelée laforme canonique.
2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.
Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations. 4Fonctions affines, inverse et carrée
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
Définition :Fonction homographique
On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d.Propriété :
qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7?Correction :
Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite.Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7
3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7estR\?73?
III La fonction carrée
Propriété :Variationsde la fonction carréeLafonction carréeest définie parf:R-→R
x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 03Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.
2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :
Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire.Six1x22
Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0x22
Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0 Exemple 3 :Étude graphique
On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR.Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.
Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 01. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?
2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.
Remarques :
1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique
sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoùCette forme est appelée laforme canonique.
2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.
Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations.4Fonctions affines, inverse et carrée
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