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Fonction exponentielle

Table des matières

I Introduction : une certaine "équation différentielle» que l"on retrouve souvent :. . . . . . . . . 1

II Fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

III Étude de la fonction exponentielle:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

III.1 Sens de variation :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

III.2 Limites à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IV Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IV.1 Exponentiellede l"opposé d"un réel :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IV.2 Exponentiellede la somme de deux réels :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IV.3 Exponentiellede la différence de deux réels :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IV.4 Exponentielled"une somme de réels :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

IV.5 Le nombre e; la notationex:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

IV.6 Résumé des différentes propriétés avec cette notation:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV.7 Courbe représentative avec les tangentesen 0 et 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV.8 Limites importantes(croissances comparées). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

V Exponentielled"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I Introduction : une certaine "équation différentielle» que l"on retrouve souvent :

Remarque :une équation différentielle est une équation, dont l"inconnue est une fonctionfet qui relie la

fonctionfet sa dérivéef?et/ou ses dérivées d"ordre supérieur.

Exemples :

•f?=2f

•f??=ksin(f) (oôk?R)

•f??=kf

•f??-3f?+2f=0

1) Pression atmosphérique

En 1648, Pascal met en évidence, par une expérience au Puy de Dôme, la notion de pression atmosphé-

rique. Des travaux ultérieurs ont montré que la pression atmosphérique variait avec l"altitude; plus précisé-

ment,la pressiondécroît avec l"altitudeselonla loi:p?(h)=-g kp(h) oôp(h)est lapressionàl"altitudeh,gest l"accélération de la pesanteur etkest une constante. On obtient ainsi une équation différentielle du type :p?=Kp 1

2) Radioactivité

En radioactivité, on met expérimentalement en évidence quele nombre d"atomes qui se désintègrent en

un temps donné est en moyenne proportionnelau nombre de ces atomes.

SoitN(t) le nombre d"atomes à un instantt. On a :ΔN(t)=N(t+Δt)-N(t)= -λN(t)Δt, qu"on peut aussi

écrire :

ΔN(t)

Δt=-λN(t).(λest la constante radioactive)

En faisant tendreΔtvers 0, on obtient :dN

dt=-λN(t) qui s"écrit aussiN?=KN(avecK=-λ).

3) Fonction transformant une somme en produit

Au XVIe siècle, Neper (écossais) cherche des fonctions qui transformeraient les produits en sommes, ce

qui permettrait de simplifier les calculs astronomiques. Les réciproques de ces fonctions transforment ainsi les sommes en produits.

Existe-t-il de telles fonctions, raisonnables (c"est-à-dire dérivables surR), transformant des sommes en

produits?

On connaît déjà des exemplessurZ:

Soitaun réel non nul et soitfla fonction définie surZpar :f(n)=an. Alors : Pour tous p et q dansZ,

f(p+q)=ap+q=ap×aq=f(p)×f(q).

Une autre fonctionqui convient est la fonction nulle, mais elle n"st pas très intéressante ç

Peut-onprolonger une telle fonction àR?

On va donc chercher des fonctionsfraisonnables, c"est-à-dire définies et dérivables surR, non nulles,

telles que, pour tousxetyréels,f(x+y)=f(x)×f(y) (relation appelée relation fonctionnelle).

Théorème

Soitfune fonction non nulle, dérivable surR. Si, pour tous réelsxety,f(x+y)=f(x)×f(y),alors :

1.f(0)=1

2. Pour tout réelx,f?x)=kf(x) oôk=f?(0).

Démonstration:

(1)fest non nulle, donc il existe un nombrex0tel que :f(x0)?=0. D"après la relation fonctionnelle, on a

alors :f(x0)=f(x0+0)=f(x0)×f(0), d"oô : f(0)=1. (2) Soitxun réel fixé. On définit les fonctions?etψsurRpar : ?(y)=f(x+y) etψ(y)=f(x)×f(y).

D"après le théorème de dérivationdes fonctions composées,?est dérivable surRet l"on a :??(y)=f?(x+y).

De même,ψest dérivable surRet :ψ?(y)=f(x)f?(y). Or, pour tout réely,?(y)=ψ(y), donc??(y)=ψ?(y),

c"est-à-diref?(x+y)=f(x)f?(y).

En particulier, poury=0 :f"(x)=f(x)f"(0)

fvérifie donc l"équation différentielle : f?=K f

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Remarque:On constate qu"à chaque fois, on a une relation du typef?=kf. On est donc amené à se poser la question de l"existence d"une telle fonction. Dans la suite, on étudie la fonctionfvérifiantf?=f(donck=1) etf(0)=1. (le cas généralf?=kfet/ouf(0)?=1 s"y ramène).

Remarque :il est facile de vérifier qu"aucune des fonctions usuelles neconvient; la fonction cherchée, si

elle existe, est donc une nouvelle fonction.

II Fonction exponentielle

Théorème

•Il existe une fonctionfdérivable et strictement positive surRtelle que :f?=fetf(0)=1.

•Celle-ci estunique.

Cette fonction est appelée fonction exponentielle.On la note exp.

Démonstration

•Onadmetl"existence.

•Cette fonction ne s"annule pas.

Démonstration:

Considérons la fonctiongdéfinie parg(x)=f(x)×f(-x). gest dérivable surR×comme produit et composée de fonctions dérivables.

La dérivée dex?→f(-x) estx?→-f?(-x) car la dérivée dex?→f(ax+b) estx?→af(ax+b).

On en déduit que :f?(x)=f?(x)f(-x)+f(x)×?-f?(-x)?=f?(x)f(-x)-f(x)f?(-x). Or, par définitiondef,f?=fdoncg?(x)=f(x)f(-x)-(x)f(-x)=0. gest donc une fonction constantesurR. g(0)=[f(0)]2=12=1 doncg(0)=1.

Par conséquent :g(x)=1 pour toutx?R.

fne peut donc pas s"annuler; en effet, s"il existait une valeurx0avecf(x0)=0, on aurait : g (x0)=f(x0)f(-x0)=0; org(x0)=1, ce qui est contradictoire.

Positivité:

Supposonsqu"il existe un nombrex0avecf(x0)<0.

fest dérivable, donc continue.f(x0)<0 etf(0)=1.

D"après le théorèmedes valeurs intermédiaires,il existeraitun nombreαtel quef(α)=0, ce qui est impos-

sible d"après ce qui précède.

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8 •Démonstration de l"unicité(à connaître) Supposonsqu"il existe une autre fonctiongdérivable surRet vérifiant égalementg?=getg(0)=1.

Soit la fonctionh=f

g.hest dérivable :h?=f?g-f g?g2=0 (carf?=fetg?=g).hest donc constante surR. h(0)=1.?x?R,h(x)=1 doncf(x)=g(x) doncf=g. Cette unique fonctionfvérifiantf?=fetf(0)=1 est notée exp.

Résumé des propriétés :

Pour tout réelx:

•expx>0

•exp0=1

•exp?(x)=exp(x)

III Étude de la fonction exponentielle :

III.1 Sens de variation:

Propriété

La fonction exponentielleest croissante surR.

Démonstration:La fonction exponentielleest dérivable surRet exp?=exp, donc pour tout réelx, exp?(x)>0

puisque exp(x)>0.

La fonction exp est donc croissante.

III.2 Limitesà l"infini

Théorème

limx→+∞exp(x)=+∞et limx→-∞exp(x)=0

Démonstration:

Soitfla fonction définie sur [0 ;+∞[ parf(x)=exp(x)-x. fest dérivable et, pour toutx?R,f?(x)=exp?(x)-1=exp(x)-1. exp est croissante et exp(0)=1, donc, pour toutx?0,f?(x)?0. On en déduit quefest croissante et commef(0)=exp(0)-0=exp(0)=1>0 doncf(x)>0.

Par conséquent :f(x)>0 donc

exp(x)>x.

Or lim

x→=∞x=+∞, donc, d"après le théorème des gendarmes, limx→+∞exp(x)=+∞. On a vu au début que, pour toutx, exp(x)×exp(-x)=1 donc exp(-x)=1 exp(x). En posantX=-x, doncx=-X, on a : limx→-∞exp(x)=limX→+∞exp(-X)=limX→+∞1 exp(X)=0.

Conséquences:

1. Pour tous réelsaetb, expa=expb?a=b.

2. Pour tous réelsaetb, expa

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8

Démonstration:

1. (a)a=b?exp(a)=exp(b) comme pour n"importequelle fonction.

(b) exp(a)=exp(b)?a=bcar la fonction exp est croissante

2. Même démonstrationque dans le cas d"égalité

IV Propriétés algébriques

IV.1 Exponentielle de l"opposé d"un réel :

Propriété

?x?R, exp(-x)=1expx

Démonstration :

On a déjà vu que exp(x)×exp(-x)=1 donc exp(-x)=1expx.

IV.2 Exponentielle de la somme de deuxréels :

Propriété

?x?R,?y?R, exp(x+y)=exp(x)exp(y).

Démonstration

Soityun réel quelconque fixé. On considère alors la fonctionf:x?→1exp(y)×exp(x+y) (la variable estx).

fest dérivable, comme composée de fonctions dérivables;1 exp(y)est une constante. La dérivéedex?→exp(x+y)estx?→1×exp?(x+y)=exp(x+y).?x?R,f?(x)=1 exp(y)×exp(x+y) doncf?=f. f(0)=1 exp(y)×exp(0=y)=1exp(y)×exp(y)=1.

On en déduit que la fonctionfest la fonction exponentielle(unicité de la fonction vérifiant ces propriétés).

Remarque: on a vu dans le I que la seule fonction vérifiant cette relation fonctionnelle etf(0)=1 devait

vérifierf?=f, donc était la fonction exponentielle (par unicité de la fonction vérifiant les deux conditions

f ?=fetf(0)=1). IV.3 Exponentielle de la différence de deux réels :

Propriété

Pour tous réelsxety: exp(x-y)=expxexpy

Démonstration:

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8

Exemple :

Pour tout réelx,exp(2x+3)exp(2x-1)=exp[(2x-3)-(2x-1)]=exp4

IV.4 Exponentielle d"une somme de réels :

Propriété

Pour tous réelsx1,x2, ...,xn, exp(x1+x2+...+xn)=exp(x1)×exp(x2)×···×exp(xn).

Écriture symbolique: exp?

n? i=1x i? =n? i=1exp(xi)

Démonstration:

On démontre la propriété par récurrence surn. Initialisation: Pourn=1, il n"y a qu"un termex1; on a évidemment exp(x1)=exp(x1)! Hérédité: on suppose la propriétévraie pour un entiernquelconque. exp

Alors : exp

(d"après la propriété fonctionnelle de l"exponentielle)

=?exp(x1)×exp(x2)×···exp(xn)?×exp(xn+1)=exp(x1)×exp(x2)×···exp(xn)×exp(xn+1). (c.q.f.d.)

Propriété

Pour tout réelx, exp(nx)=(exp(x))n.

Démonstration:

Lorsquen>0, on applique la propriété précédente en prenant tous lesxiégaux àx.

Pourn=0, l"égalité est vérifiée.

Sin<0, exp(nx)=exp((-n)(-x))=(exp(-x))-n=?1

expx? -n =(exp(x))n

IV.5 Le nombre e; la notation ex:

Définition

e=exp(1). Valeur approchée :e≈2,71828182845904523536028747135266249775724709369995. Pour la plupart des exercices, il suffit d"utiliser e≈2,7 sou e≈2;72.

Notation

Pour tout entiern, on a : exp(n)=exp(n×1)=(exp1)n=enen utilisant la notation précédente. Plus généralement, on convient de noter expxparex.

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8 IV.6 Résumé des différentes propriétés aveccette notation :

Propriétés

Pour tous réelsx,yet tout entier relatifn:

•e0=1

•ex>0

•ex+y=ex×ey

•e-x=1

ex

•ex-y=ex

ey

•(ex)n=enx

IV.7 Courbe représentative avecles tangentesen 0 et 1 La tangente en 0 a pour coefficient directeur exp?(0)=exp(0)=e0=1. O

12345678910111213141516171819

0 1 2 3 4-1-2-3-4

-5-4-3-2-1012345 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ?e

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IV.8 Limitesimportantes (croissances comparées)

Théorème

•limx→+∞e

xx=+∞ xxn=+∞pour toutn?N?

•limx→-∞xnex=0 pour toutx?N?

Démonstrations:

•Pour toutx, ex>xdonc, pour toutx>0, ex2>x2d"oô, puisquex>0 (ex

2)2>?x2?

2qui tend vers+∞en+∞.

X=0 car limX→+∞e

XX=+∞.

•Pourtoutn?=0,onposeX=x

nX(nX)n=limX→+∞? eX?nnnXn=limX→+∞? 1nn?quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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