[PDF] Formes mathématiques - Exponentielle radioactivité et bière

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Formes mathŽmatiques

Exponentielle,

radioactivité et bière

32\ DƒCOUVERTE N¡ 391 \ MARS?AVRIL 2014

L a courbe ci-contre est ce que l"on appelle une exponentielle décroissante. L"exponentielle, crois- sante ou dŽcroissante, fait partie des courbes immanquables en mathŽmatiques. Ë l"instar de pi, que l"on retrouve dans des chapitres divers et variŽs - probabilitŽs, nombres premiers ou encore, bien Žvidemment, gŽomŽtrie -, l"exponentielle se rencontre un peu partout, et au-delˆ des mathŽmatiques Žgalement, de la modŽlisation de la radioactivitŽ ˆ celle nation des mŽdicaments dans le sang. De nombreuses personnes, en dehors d"un cadre scienti?que, utilisent d"ailleurs l"expression Çcroissance exponentielleÈ - mme si ce n"est pas toujours ˆ propos - pour signi?er

DÉSINTÉGRATION D"UN CORPS RADIOACTIF

Prenons l"exemple de la radioactivitŽ a?n de com- prendre intuitivement ce qu"est une croissance (ou une dŽcroissance) exponentielle. Pour modŽliser le comportement d"un corps radioactif, adoptons le point de vue des physiciens : chacun des noyaux peut, ˆ chaque instant, se dŽsintŽgrer. Toutefois, contraire-

Quel rapport y a-t-il entre

cette courbe, la radioactivitŽ

©R.Paillard.

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Mathématiques

spontanŽment ˆ l"esprit. Et pourtant, les mathŽmatiques permettent, une fois de plus,

PAR ROBIN JAMET, MƒDIATEUR SCIENTIFIQUE DE L"UNITƒ DE MATHƒMATIQUES DU PALAIS DE LA DƒCOUVERTE

dŽsintŽgrer ne change pas au cours du temps. Autre- noyau qui ne s"est pas dŽsintŽgrŽ jusqu"alors n"a pas plus de chances de se dŽsintŽgrer par la suite. On fait comme si l"on repartait ˆ zŽro ˆ chaque instant pour les noyaux restants. On parle gŽnŽralement de phŽno- qui se produisent Žtape par Žtape, d"ŽvŽnements indŽ- pendants. Les exemples simples d"ŽvŽnements indŽ- pendants sont nombreux, ˆ commencer par tous les jeux de hasard classiques ! Ainsi, dans le jeu du Çpile ou faceÈ, le rŽsultat obtenu lors d"un tirage n"in?uence absolument pas le rŽsultat c™tŽ pile n"aura pas plus de chances de tomber sur le cas du Çpile ou faceÈ permet donc d"apprŽhender d"une fameuse courbe qui dŽcrit la disparition de radioactivitŽ monnaie. ƒcartez toutes celles qui sont tombŽes du c™tŽ restantes et rŽitŽrez l"expŽrience. Ë nouveau, un certain ra"tre un Ç escalier È d"une forme qui avoisine celle de la courbe ci-contre. On peut rŽaliser Žgalement cette expŽ- rience avec des dŽs, en choisissant le nombre de faces qui Ç Žliminent È un dŽ (?g.1).

Bien entendu, plus on se munit d"un grand nombre

on se rapproche de la courbe dessinŽe. Pourquoi une exponentielle? Une courbe exponentielle est dŽfinie par un nombre, a, et par la valeur prise par la fonc-

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Figure 1.ExpŽrience proposŽe au Technorama de Zurich, rŽalisŽe avec des dŽs dont deux faces sur les six Ç Žliminent È le dŽ.

On voit appara"tre ici un dŽbut d"escalier exponentiel. Cette manip est prŽsentŽe Žgalement par le Palais de la dŽcouverte

dans l"un de ses stands itinŽrants. Avec l"aimable autorisation du Swiss Science Center Technorama.

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tion ˆ un instant donnŽ tqui vaut a t . Or, si l"on ˆ chaque Žtape : la loi des grands nombres nous autorise ˆ affirmer qu"ˆ chaque tirage, approximati- bilitŽ d"tre Ç ŽliminŽe È le sera effectivement. Dans le jeu du Çpile ou faceÈ, cela signifie qu"ˆ chaque mise de c™tŽ. Ainsi, ˆ chaque Žtape, une certaine pas (ce qui signifie qu"une proportion (1 - p) dispa- ra"t). Si l"on part d"une quantitŽ Nde noyaux radio- 2 2

N), doncp

3 sance, ce qui permet d"expliquer intuitivement loi exponentielle.

DANS LE MONDE CONTINU

petits grains, mais ressemble plut™t ˆ quelque chose de sera tel que la quantitŽ qui dispara"t (ou appara"t) ˆ chaque instant est proportionnelle ˆ la quantitŽ exis- tante. Cela signi?e que si l"on prend le cas d"une expo- nentielle croissante, non seulement la population cro"t, mais elle cro"t de plus en plus vite. Ë l"inverse, plus la

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Mathématiques

quantitŽ d"un ŽlŽment prŽsente au dŽpart est faible et plus sa vitesse de disparition ralentit, sans jamais atteindre zŽro toutefois (une fraction d"une quantitŽ non nulle n"est jamais nulle!). Ainsi, pour une expo- nentielle dŽcroissante, la diminution est de plus en plus FormulŽ en termes mathŽmatiques, on peut dire que si N(t) reprŽsente la quantitŽ (de noyaux ou autre) restante ˆ l"instant t, alors la dérivée de N(N"), c"est- ˆ-dire la pentede la fonction N- la vitesse ˆ laquelle la quantitŽ Žvolue - est proportionnelle ˆ Nelle- mme. Donc N"(t)=kN(t)(k: coefficient de propor- tionnalitŽ). Or, toutes les personnes ayant dŽjˆ c™toyŽ l"exponentielle savent que sa dŽrivŽe est... l"expo- nentielle elle-mme : la pente de la courbe ˆ tout instant est Žgale ˆ sa propre valeur. Le fait de multi- plier par un quelconque coefficient ne change pas fondamentalement les choses. Encore un moyen d"Žtablir un lien entre la loi simple donnŽe et la courbe exponentielle...

DEMI-VIE ET LIMITES DE LA MODÉLISATION

Arnd Leike, un physicien allemand, a remportŽ l"IgNobel* de physique en2002 pour avoir dŽmontrŽ ment une loi exponentielle : la quantitŽ de mousse disparaissant ˆ chaque instant ne dŽpend que de la quantitŽ de mousse qui subsiste ˆ ce mme moment (fig.2). AmusŽ par cette rŽcompense, dont il connaissait l"existence, Leike s"est rendu ˆ la remise des prix. Ë cette occasion, il a prŽcisŽ cependant que ce bref passage de sa publication ne servait qu"ˆ plus Ç accessible È au grand public que la radio- activitŽ, laisse entrevoir effectivement que cette loi peut se retrouver un peu partout, et pointe aussi certain laps de temps, la moitiŽ de la mousse dispa- ra"t, ce que les physiciens nomment la demi-vie.

Cela signifie donc qu"au bout du double de cette

durŽe, il reste un quart de la quantitŽ de mousse initialement contenue dans le verre - puis un le monde sait que la moitiŽ de la moitiŽ de la moitiŽ, etc., d"une quantitŽ ne vaudra jamais zŽro. Il y aurait donc toujours de la mousse dans le verre mais il ne l"est bien sžr que lorsque les quantitŽs en jeu sont assez importantes (et lorsque l"on ne boit Par ailleurs, il est Žtonnant de constater que le est continu alors qu"il n"y a qu"un nombre fini de noyaux ne soit plus ÇgrandÈ. Les probabilitŽs simples prennent ensuite le relai et garantissent que les noyaux radioactifs finiront par tous se dŽsin- tŽgrer (et leur nombre de valoir strictement zŽro), en R.J.

Figure 2.L"auteur de cet article n"a pas hŽsitŽ ˆ se sacri?er pour prendre des photographies de la mousse disparaissant

de mousse d"un clichŽ ˆ l"autre, pris ˆ intervalles de temps rŽguliers.

© R. Jamet, R. Paillard.

* L"IgNobel (prononcŽ ÇIgnobelÈ) est une rŽcompense iconoclaste et rŽ?Žchir ensuiteÈ. Ils dŽnoncent parfois des recherches douteuses, mais pas toujours.

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