Fonctions exponentielles. PDF 22 févr. 2008 La

Mathématiques

présenter les fonctions exponentielles comme prolongement sur [0 porte à la création contrôlée de noyaux radioactifs et la possibilité de réactions.

Enseignement scientifique

L'instant de désintégration d'un noyau radioactif individuel est aléatoire. La fonction exponentielle n'étant pas connue d'une partie des élèves ...

La radioactivité et les équations différentielles du type y a y Dans la

Modélisation continue de la radioactivité. Partie physique. Partie mathématique indispensables à l'étude de la fonction exponentielle :.

Un scénario pour motiver lintroduction de la fonction exponentielle

Les programmes en vigueur préconisent pour la fonction exponentielle

Cours 1ère spécialité

fut celui qui introduisit la fonction exponentielle. titre d'exemples cette fonction intervient en physique (radioactivité

Formes mathématiques - Exponentielle radioactivité et bière

En effet la désintégration de noyaux radioactifs et la mousse de bière illustrent toutes deux la loi exponentielle. PaR Robin Jamet

Datation archéologique (fonction exponentielle) - NumWorks

Le carbone 14 est un isotope radioactif utilisé en archéologie pour dater des échantillons carbonés. En effet celui-ci est présent dans toute matière

Fonctions exponentielles.

22 févr. 2008 La fonction exponentielle est dérivable sur R et exp = exp. ... différentielle y = ky apparait en radioactivité mais aussi par exemple.

Calcul infinitésimal et invitation à lanalyse

Fonctions Exponentielle et Logarithme. T.D-V. Mohamed ATOUANI où y0 désigne naturellement le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant initial.

Fonction exponentielle

(? est la constante radioactive). En faisant tendre ?t vers 0 on obtient : dN dt. = ??N(t) qui s'écrit aussi N?. = K N (avec K = ??). 3) Fonction

Fonctions exponentielles.

Chantal Menini

22 fevrier 2008

Dans cette expose nous supposerons bien s^ur connues les notions de limites, continuite, derivabilite et les proprietes

usuellement asociees (par exemple composition de limite, lien entre le signe de la derivee et les variations de la fonction,

derivee de fonctions composees, etc). Mais surtout nous supposerons connue la fonction logarithme neperien, ce choix

est motive au paragraphe 1.3.

1 Resolution d'une equation dierentielle.

On cherche a determiner s'il existe des fonctions derivable surRqui satisfont (Ek)f0=kf; f(0) = 1:

L'equationf0=kfapparait par exemple sif(t) designe le nombre moyen de noyaux radioactifs presents dans une

population macroscopique a l'instantt.

On peut remarquer que sik= 0 alors il existe une unique solution qui est la fonction constante egale a 1. Nous

supposerons donc dans la suite quekest non nul.

1.1 Premiere condition necessaire.

Proposition 1.1Si il existe une solution de(Ek)alors elle est unique.

Preuve.Soientf1etf2deux solutions et posons pour tout reelx,g(x) =f1(x)f2(x). Par hypotheses surf1etf2,

gest derivable surRetg0(x) =f01(x)f2(x)f1(x)f02(x) =kf1(x)f2(x)kf1(x)f2(x) = 0.gest constante sur

Retg(0) = 1.

Ceci nous permet d'en deduire que les fonctions solutionsf1etf2ne s'annulent pas surRet quef1(x) = 1=f2(x).

En particulier pourf1=f2on obtientf2(x) = 1=f2(x) soit nallementf1=f2pourf1etf2solutions quelconques de (Ek).

1.2 Deuxieme condition necessaire.

Proposition 1.2Sifsolution de(Ek)alors pour tout couple(x;y)de reelsf(x+y) =f(x)f(y). Preuve.Nous avons deja vu dans la preuve precedente quefne s'annulait pas surRet quef(x) = 1=f(x). Considerons la fonction auxiliairegdenie surRparg(x) =f(x+y)f(x) alorsgest derivable surRetg0(x) = kf(x+y)f(x)kf(x+y)f(x) = 0,gest constante etg(0) =f(y).

1.3 Existence d'une solution.

La demonstration directe de l'existence d'une solution de cette equation n'est pas simple. On peut deja re-

marquer que les fonctions connues en debut de classe terminale (fonction polynomiale, fraction rationnelle, racine,

trigonometrique) ne sont pas solution de cette equation. On peut aussi remarque qu'il sut de le faire pourk= 1

puisque sifest solution de (E1), la fonctionfk() =f(k) est solution de (Ek).

Une preuve possible pour montrer l'existence d'une solution de (E1) est de montrer que la suite de fonctions (un)n

avecun(x) =1 +xn n(qui n'est autre que la suite qui apparait lors de l'application de la methode d'Euler pour

la resolution approchee de (E1)) converge surRvers une fonction qui est derivable et solution de (E1). Cette

demonstration est detaillee dans le document d'accompagnement des programmes de terminale ES et S accessible

par exemple sur www.cndp.fr/secondaire/mathematiques/ (on y lira aussi un texte sur la radioactivite). On peut

aussi se reporter a la premiere epreuve ecrite de 2004.

Si on veut en donner les grandes lignes.

1. Montrer que pour toutx >1 et pour tout entier natureln, (1 +x)n1 +nx.

2.xetant un reel xe, introduire pourn >jxj,vn(x) =1xn

net montrer que les suites (un(x))n>jxjet (vn(x))n>jxjsont adjacentes. { (un(x))n>jxjcroissante avecun+1(x) =1 +xn n+1

1xn(n+1)(1+x=n)

n+1et 1. { (vn(x))n>jxjdecroissante avecvn(x) = 1=un(x). {un(x)vn(x) tend vers 0 avec 1x2n un(x)v n(x)1 puis 0vn(x)un(x)x2n vn(x).

3. On appelle expxla limite de la suite (un(x))n.

4. Montrer que pourjhj<1, exp(x+h)exp(x)(1 +h) avec1 +x+hn

n=1 +xn n 1 + hn(1+x=n) npuis 1. et un passage a la limite.

5. Montrer que pourjhj<1, exp(x+h)exp(x)=(1h) avec l'inegalite precedente.

6. Conclure a la derivabilite de la fonction exp et qu'elle est sa propre derivee.

En consequence nous ne choisirons pas ce point de vue et supposerons connue la fonction logarithme neperien, notee

ln, ainsi que ses proprietes.

2 Fonction exponentielle.

2.1 Denition et premieres consequences.

Denition 2.1La fonction exponentielle est la bijection reciproque de la fonction logarithme neperien, elle est notee

exp.

Proposition 2.21.exp(0) = 1

2. La fonction exponentielle est derivable surRetexp0= exp.

Preuve.La premiere assertion decoule directement du fait que exp est la bijection reciproque de ln et de ln(1) = 0.

La deuxieme resulte du theoreme de la bijection que l'on applique a la fonction ln (rappel : si une fonctionfest

bijective d'un intervalleIsur un intervalleJ=f(I), derivable et de derivee ne s'annulant pas alors sa bijection

reciproquef1est derivable surJet (f1)0(y) =1f

0(f1(y)).).

Remarque 2.3Nous savons maintenant que(E1)admet une unique solution qui est la fonction exponentielle. De

m^eme avec la remarque faite dans le paragraphe 1.3(Ek)admet une unique solution qui estx7!exp(kx). Proposition 2.41.8(x;y)2(R)2exp(x+y) = exp(x)exp(y):

2.8r2Q,8x2R,exp(rx) = (exp(x))r.

3.exp(1) =eet8r2Qexp(r) =er.

Preuve.Ceci peut se voir comme une consequence directe de la denition de la fonction exp comme bijection

reciproque de la fonction ln et de ln(ab) = lna+ lnbpour tous reels strictements positifsaetb; ainsi que

ln((exp(x))r) =rln(exp(x)) =rx.

Si la fonction logarithme n'est pas connue, la premiere assertion peut se voir comme une consequence du fait que la

fonction exp est solution de (E1) et de la proposition 1.2. La deuxieme assertion, se montre d'abord pour les entiers

puis les entiers relatifs et enn pour les rationnels (comme ce qui a ete fait pour la fonction logarithme). On note

e= exp(1) et 3 decoule de 2.

Remarque 2.5exp(r)concide avecerpour tout rationnelret la fonctionexpobeit aux r^egles de calculs des

puissance, en consequenceon etant la notationex= exp(x)a tout reelx. 2

2.2 Etude de la fonction exponentielle.

Proposition 2.61. La fonctionexpest denie surR, strictement croissante et a valeurs dansR+.

2.limx!+1ex= +1,limx!1ex= 0.

3.limx!+1e

xx = +1,limx!1xex= 0.

Preuve.La premiere assertion est une consequece directe du fait que la fonction ln est strictement croissante deR+surRet de la denition de exp comme bijection reciproque. Les deux autres des limites analogues pour la fonction

ln. Si l'on detaille par exemple limx!+1e xx = +1:exx =e(xlnx)=ex(1lnxx )et limx!+1lnxx = 0, on termine avec la composition des limites.

On peut aussi en donner une preuve directe, rappelons que nous savons a ce stade que la fonction exp ne s'annule

pas, elle est derivable surR, egale a sa derivee et enn que exp(a+b) = exp(a)exp(b). Nous pouvons alors en deduire que la fonction exp est strictement positive (exp(x) = (exp(x2 ))2) dont on deduit l'assertion 1.

0<1 donc 1< eet pour toutx > N,ex> eN, ce qui donne limx!+1ex= +1.ex= 1=expour la limite lorsquex

tend vers1. En etudiant les variations de la fonctionx7!exxon peut montrer que pour tout reelx,exx(ceci peut aussi se montrer en utilisant la convexite -voir plus bas-) puis que pour toutx >0,ex=ex=22(x2 )2et on a lim x!+1e xx = +1. Ennxex=xe xnous donne la derniere limite.

Remarque 2.7Si on fait le choix d'une preuve directe de l'existence de la fonction exponentielle nous pouvons

maintenant montrer que c'est une bijection deRsurR+. Proposition 2.8La fonctionexpest une fonction convexe.

Preuve.Elle est deux fois derivable sur l'ouvertRet de derivee seconde la fonction exp qui est positive.

Corrolaire 2.9La courbe representative de la fonctionexpest au dessus de ses tangentes.

En particulier8x2R+,expxx+ 1.

Donner l'allure de la courbe representative de la fonctionexpen exploitant asymptote, branche parabolique, courbe

au dessus tangente. On peut aussi noter une autre propriete geometrique de la courbe representative de la fonction

exp: elle est a sous-tangente constante. C'est-a-dire que dans un repere orthonorme de base(O;~{;~|), si l'on noteM

un point de la courbe,mson projete orthogonal sur l'axe des abcisses etTle point d'intersection de la tangente a la

courbe au pointMavec l'axe des abcisses, alors!Tm=~{.

3 Les fonctions exponentielles.

Denition 3.1Soitaun reel strictement positif et dierent de 1. On appelleexponentielle de baseal'application

denie surRparx7!exp(xlna). Elle est noteeexpa. Remarque 3.21. La fonction exponentielle est la fonction exponentielle de basee.

2. Si les fonctions logarithmes de baseasont connues alors on peut denirexpacomme la bijection reciproque de

la fonctionloga.

Proposition 3.3

8r2Q;8a >0;expa(r) =ar:

Preuve.expa(r) = exp(rlna) = (exp(lna))r=ar.

Denition 3.4

8a2R+;8x2R; ax= exp(xlna):

On notera que cette denition n'est qu'une extension aux reels de ce qui etait deja connu pour les rationnels.

Remarque 3.5Pour la denition de la fonction exponentielle de basea, nous sommes restes ici dans la logique de

connaissance de la fonction logarithme neperien (et uniquement celle-la). Si le choix avait ete fait d'une construction

directe de la fonction exponentielle, on peut denir la fonction exponentielle de baseacomme l'unique solution

k() = exp(k)de l'equation dierentielle de depart(Ek)eta=fk(1) = exp(k). A ce stade de la lecon il parait

raisonnable d'avoir donne un nom a la bijection reciproque de la fonction exponentielle et avec la bijectivite de la

fonctionexp, nous avonsa2R+nf1get pour toutastrictement positif non egal a 1 il existe un unique reel non nul

k(= lna)tel quea= exp(k), on a donc encoreexpa(x) = exp(xlna). De plusexpa(r) = exp(kr) = (exp(k))r=ar

pour tout rationnelr. Proposition 3.6Soientaetbdes reels strictement positifs,

1.8x2R,ln(ax) =xlna.

2.8(x;y)2(R)2,ax+y=axay,axy= (ax)y,8x2R(ab)x=axbx.

3. La fonctionx7!axest derivable surRet de derivee la fonctionx7!lnaax.

Preuve.Toutes les demonstrations se font aisement en revenant a la denitionax= exp(xlna) et en utilisant les

proprietes de la fonction exponentielle.

On peut aussi noter que les assertions 1 et 2 sont vraies pourxetyrationnels et on conclue par continuite.

Proposition 3.7Pour tout reel

(i) limx!+1e xx = +1;(ii) limx!1jxjex= 0:

Preuve.

(i) Si0 c'est immediat. Si >0 alorsexx ex x (1 ). On sait que limy!+1eyy = +1et on montre que lim

y!+1y= +1ce qui nous permet de conclure par composition des limites. On peut aussi encore utiliser que

e xx =exlnx=ex(1lnxx )et limx!+1lnxx = 0. (ii) Pourx <0,jxjex=(x)e xet on conclue avec (i).

4 Autres caracterisations.

4.1 Equation dierentielle.

Theoreme 4.1Soitkun reel alors l'ensemble des fonctions derivables surRsolutions de y 0=ky estfx7!CekxjC2Rg.

Preuve.Ces fonctions conviennent et reciproquement sifest une solution alors on montre que la fonction auxiliaire

gdenie surRparg(x) =f(x)ekxest constante.

Remarque 4.2On notera que l'on retrouve ici le probleme de depart a la dierence que la valeur de la fonction en

0 n'est pas imposee.

4.2 Equation fonctionnelle.

Theoreme 4.3L'ensemble des fonctions derivables satisfaisant l'equation fonctionnelle

8(x;y)2(R)2f(x+y) =f(x)f(y)

sont la fonction nulle, la fonction constante egale a 1 et les fonctions exponentielles de basea. 4

Preuve.Ces fonctions conviennent.

Reciproquement sifest une solution alorsf(0) =f(0)2doncf(0) = 0 ouf(0) = 1.

En xant arbitrairement le reelxet en derivant on obtientf0(x+y) =f0(y)f(x) soit en particulier poury= 0

0(x) =f0(0)f(x). Avec le theoreme 4.1 il existe une constanteCtel quef(x) =Cef0(0)x. NecessairementC=f(0),

nous avons alors deux cas : {f(0) = 0 alorsfest la fonction nulle.

{f(0) = 1 alorsfest la fonction constante egale a 1 sif0(0) = 0 ou bien la fonction exponentielle de base

a=ef0(0)sif0(0)6= 0.

5 Applications.

1. Comme dit en introduction l'equation dierentielley0=kyapparait en radioactivite mais aussi par exemple

dans une modelisation simple de croissance de population (modele de Malthus) ouk=knkd(knetkdetant respectivement le taux de naissance et de deces).

L'equation fonctionnellef(x+y) =f(x)f(y) apparait dans l'etude des lois de probabilite sans memoire (duree

de vie sans vieillissement, temps d'attente). SiTdesigne la variable aleatoire, la loi deTest dite sans memoire

siP(T>t)(T > t+h) =P(T > h). En notantf(t) =P(T > t) on obtientf(t+h) =f(t)f(h).

2. lim

n!+11 +xn n=ex. On utilise que limy!0ln(1+y)y = 1 puis la continuite de la fonction exp enx. On notera que

cette application n'a pas lieu d'apparaitre si on a choisi de construire directement la fonction exp puisqu'elle

est precisemment denie comme limite de cette suite.

3. lim

n!+1n P k=0x kk!=ex. Ceci peut se montrer a l'aide de la formule de Taylor-Lagrange.

4. Si on se limite ax2]0;1] on peut montrer de facon plus elementaire que pour tout entiernstrictement positif

n X k=0x kk!< exElles sont derivables eth0n(x) =hn1(x),g0n(x) =gn1(x). Puis on montre l'inegalite ci-dessus par recurrence

surn. Si on detaille cette recurrence pour obtenir le signe degn, cela donne :

Soit (Hn) l'assertion8x2]0;1]gn(x)>0.

1(x) = 1 + 2xex,g1est strictement croissante sur [0;ln2] et strictement decroissante sur [ln2;1].g1(0) = 0

etg1(1) = 3e >0 donc (H1) est veriee.

Montrons que pourn1, (Hn) implique (Hn+1).

n+1est derivable sur [0;1], de deriveegn. Avec l'hypothese (Hn),g0n+1est strictement positive sur l'intervalle

ouvert ]0;1[ et par continuite degn+1sur l'intervalle ferme [0;1],gn+1est stritement croissante sur [0;1].

g n+1(0) = 0 on a donc (Hn+1). On a (H1) vraie, pour toutn1, (Hn) implique (Hn+1) donc (Hn) est vraie pour tout entiern1.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] Fonctions exponentielles. 22 févr. 2008 La

Fonctions exponentielles.

Chantal Menini

22 fevrier 2008

1 Resolution d'une equation dierentielle.

1.1 Premiere condition necessaire.

Retg(0) = 1.

1.2 Deuxieme condition necessaire.

1.3 Existence d'une solution.

Si on veut en donner les grandes lignes.

1. Montrer que pour toutx >1 et pour tout entier natureln, (1 +x)n1 +nx.

2.xetant un reel xe, introduire pourn >jxj,vn(x) =1xn

1xn(n+1)(1+x=n)

3. On appelle expxla limite de la suite (un(x))n.

4. Montrer que pourjhj<1, exp(x+h)exp(x)(1 +h) avec1 +x+hn

5. Montrer que pourjhj<1, exp(x+h)exp(x)=(1h) avec l'inegalite precedente.

6. Conclure a la derivabilite de la fonction exp et qu'elle est sa propre derivee.

2 Fonction exponentielle.

2.1 Denition et premieres consequences.

Proposition 2.21.exp(0) = 1

2. La fonction exponentielle est derivable surRetexp0= exp.

0(f1(y)).).

2.8r2Q,8x2R,exp(rx) = (exp(x))r.

3.exp(1) =eet8r2Qexp(r) =er.

2.2 Etude de la fonction exponentielle.

2.limx!+1ex= +1,limx!1ex= 0.

3.limx!+1e

0<1 donc 1< eet pour toutx > N,ex> eN, ce qui donne limx!+1ex= +1.ex= 1=expour la limite lorsquex

En particulier8x2R+,expxx+ 1.

3 Les fonctions exponentielles.

2. Si les fonctions logarithmes de baseasont connues alors on peut denirexpacomme la bijection reciproque de

Proposition 3.3

8r2Q;8a >0;expa(r) =ar:

Preuve.expa(r) = exp(rlna) = (exp(lna))r=ar.

Denition 3.4

8a2R+;8x2R; ax= exp(xlna):

1.8x2R,ln(ax) =xlna.

2.8(x;y)2(R)2,ax+y=axay,axy= (ax)y,8x2R(ab)x=axbx.

3. La fonctionx7!axest derivable surRet de derivee la fonctionx7!lnaax.

Proposition 3.7Pour tout reel

Preuve.

4 Autres caracterisations.

4.1 Equation dierentielle.

0 n'est pas imposee.

4.2 Equation fonctionnelle.

8(x;y)2(R)2f(x+y) =f(x)f(y)

Preuve.Ces fonctions conviennent.

0(x) =f0(0)f(x). Avec le theoreme 4.1 il existe une constanteCtel quef(x) =Cef0(0)x. NecessairementC=f(0),

5 Applications.

1. Comme dit en introduction l'equation dierentielley0=kyapparait en radioactivite mais aussi par exemple

2. lim

3. lim

4. Si on se limite ax2]0;1] on peut montrer de facon plus elementaire que pour tout entiernstrictement positif

Soit (Hn) l'assertion8x2]0;1]gn(x)>0.

1(x) = 1 + 2xex,g1est strictement croissante sur [0;ln2] et strictement decroissante sur [ln2;1].g1(0) = 0

Montrons que pourn1, (Hn) implique (Hn+1).