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Première SChapitre I : Second degré Année scolaire

2012/2013

I)Fonction polynôme du second degré :

1) Définition :

Soient a,b et c trois réels (avec a ≠ 0)

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = ax2 + bx + c est appelée fonction polynôme de degré 2 (ou du second degré) (a,b et c sont ses coefficients)

Exemples :

- L'aire d'un disque de rayon r en fonction de r est donnée par : A(r) = πr2 - En mécanique classique, l'energie cinétique d'un objet de masse m en fonction de sa vitesse est donnée par : Ec(v) = 1 2mv2 - Pour un corps en chute libre : En supposant que le corps n'est soumis qu'à la pesanteur, si un corps ponctuel est lâché d'un point de cote z0 sans vitesse initiale et si l'axe des z est orienté vers le haut, alors on a : z = - 1

2gt2 + z0 où g est l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre.

Remarque : On dit aussi que f est un trinôme du second degré. (car il y a trois termes)

2) Représentation graphique et variations :

Propriété :

Toute fonction polynôme de degré 2 se représente graphiquement par une parabole (℘)Experimentation Geogebra

Deux cas sont à distinguer :

- Si a > 0 : - Si a < 0 (℘) est orientée " vers le haut » - Le sommet S de la parabole a pour coordonnées (- b2a ; f(-b2a) ) (℘) est orientée " vers le bas » - Le sommet S de la parabole a pour coordonnées (- b2a ; f(-b2a) ) x- ∞ -b/2a+ ∞

Variations

de ff(-b/2a) x- ∞ -b/2a+ ∞

Variations

de ff(-b/2a)

II) Equations du second degré :

1) Rappel de seconde : forme canonique :

Propriété : Toute fonction trinôme du second degré peut se mettre sous forme canonique.

C'est-à-dire :

Si f(x) = ax2 + bx + c avec a≠ 0 , alors f peut s'écrire sous la forme : f( x ) = a( x - α ) 2 + β avec α = - b2 a

Démonstration :

Soient a,b,c trois réels avec a≠ 0

f(x) = ax2 + bx + c = a( x2 + b ax + c a ) (On peut diviser par a, car a ≠ 0)

Dans l'écriture x2 +

b ax , on reconnaît le début de (x + b2 a)2

En effet, (x +

b2 a)2 = x2 + b ax+ b2 4a2

D'où : f(x) = a((x +

b2 a)2 - b2 4 a2 + c a) = a(x + b2 a)2 - b2

4a + c

= a(x + b2 a)2 - b2 4a + 4ac

4a = a(x +

b2 a)2 - b2-4ac4 a

En posant α = -

b2 a et β = - b2-4ac4 a f(x) = a( x - α ) 2 + β

Remarque :

f(- b2 a) = a x (- b2 a)2 + bx(- b2 a) + c = a x b2 4a2 - b2 2 a + c b2 4 a - 2 b2 4 a + 4ac 4a b2-4ac4 a = β

C'est-à-dire :

Le sommet de la parabole représentant f a pour coordonnées ( α ; β) 2) Résolution de l'équation a x 2 + b x + c = 0 avec a ≠ 0

a) Méthode graphique : (Rappel de seconde)

Exemple :

On considère l'équation - x2 + x + 2 = 0 (E)

On pose f(x) = - x2 + x + 2

Résoudre (E) revient à résoudre f(x) = 0

C'est-à-dire : déterminer les abscisses des points d'intersection de la parabole représentant f avec l'axe des abscisses. Par lecture graphique, on trouve deux solutions : -1 et 2 b) Méthode algébrique : On souhaite résoudre l'équation ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0 On va suivre l'algorithme de résolution suivant : - On commence par calculer le discriminant Δ du trinôme dont l'expression en fonction des coefficients est donnée par : Δ = b2 - 4ac

3 cas vont se présenter :

- Soit Δ < 0 , alors l'équation n'a pas de solution réelle (on notera S = ∅) - Soit Δ = 0 , alors l'équation a une seule solution x0 = -b

2a (appelée solution

double)(On notera S = { -b 2a}) - Soit Δ > 0 , alors l'équation a deux solutions : x1 = 2 a et x2 =

2a (On notera S = {

2a ; 2 a})

Démonstration :

On sait déjà que ax2 + bx + c = a(x +

b2 a)2 - b2-4ac4 a

On pose Δ = b2 - 4ac (le discriminant)

ax2 + bx + c = 0 ⇔ a(x + b2 a)2 -

4a = 0

⇔ a(x + b2 a)2 =

4a ⇔ (x +

b2 a)2 =

4a2 3 cas se présentent :

- Ou bien Δ < 0 : alors

4a2 < 0 d'où : (x +

b2 a)2 < 0 ce qui est impossible pour x ∈ ℝ donc S = ∅ - Ou bien Δ = 0 : d'où : (x + b2 a)2 = 0 c'est-à-dire x + b2 a = 0

Cette équation n'a qu'une seule solution :

Donc x = - b2

a S = {- b2 a} - Ou bien Δ > 0 :

Alors : (x +

b2 a)2 =

4a2 ⇔ (x +

b2 a)2 -

4a2 = 0

⇔ (x + b2 a)2 - (2a)2 = 0 (on reconnaît a2 - b2 = (a+b)(a-b) )

D'où : (x +

b2 a + 2 a)(x + b2 a - 2 a) = 0

C'est une équation-produit :

Si AxB = 0 , alors A = 0 ou B = 0

D'où : x +

b2 a +

2a = 0 ou x +

b2 a -

2a = 0

C'est-à-dire :

x=

2a ou x =

2aDonc S = {

2 a ; 2a}

Exemples :

1) Résoudre l'équation : 2x2 - 4x + 2 = 0

On calcule le discriminant : Δ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4x2x2 = 16 - 16 = 0

D'où l'équation a une seule solution

x0 = -b 2a = -(-4)

2×2 = 1

Donc : S = {1}

2)Résoudre l'équation x2 + x - 6 = 0

On calcule le discriminant : Δ = b2 - 4ac = 1 - 4x1x(-6) = 1 + 24 = 25 > 0

D'où l'équation a deux solutions :

x1 = 2a =

2×1 =

-1-5

2 = - 3

et x2 = 2a =

2×1 =

-1+5 2 = 2

Donc : S = {- 3 ; 2}

c) Factorisation : On considère une équation du second degré (E) : ax2 + bx + c = 0 (avec a≠ 0)quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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