LIMITES DE SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DE SUITES. I. Limite d'une suite géométrique. 1) Suite (qn).
Terminale S - Etude dune limite de suite
Pour cela il faut prouver que tout intervalle de la forme ] A ; +? [ contient tous les termes de la suite ( ) à partir d'un certain indice. Soit A un nombre
Partie 1 : Limite dune suite
En effet les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on souhaite pourvu qu'on choisisse un rang suffisamment grand. Approche intuitive d'une limite
Limites des Suites numériques I. Limite finie ou infinie dune suite
Opérations sur les limites. Comportement à l'infini de la suite ( qn ) q étant un nombre réel. Suite majorée
Suites numériques - limites
Lorsque la suite (xn)n?N n'admet pas de limite on dit qu'elle est divergente. Page 5. Suites numériques - limites opérations dans R ? {+?
Raisonnement par récurrence Limite dune suite
Oct 9 2013 Conclusion : par initialisation et hérédité
LIMITE DUNE SUITE
Théorème (Limites de suites extraites) Soient (un)n? une suite réelle et ? ? . (i) Si lim n?+? un = ? alors pour toute fonction ? : ?
Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence
Ce qui veut dire que si une suite ( ) converge alors sa limite est solution de l'équation (?) = ?. Mais attention: Trouver la ou les solutions de l'
Les suites - Partie II : Les limites
Limite d'un quotient. 8. Exercice. 9. Souvent pour calculer des limites on s'appuie sur des limites de suites usuelles que l'on connaît et on applique des
Limite dune suite. Suites convergentes
On nomme suite divergente toute suite non convergente. b) Interprétation graphique sur un exemple. 1.3. Proposition. Si une suite admet une limite alors celle-
Raisonnement par récurrence
Limite d"une suite
1 Raisonnement par récurrence
1.1 Axiome de récurrence
Définition 1Soit une propriétéPdéfinie surN. Si :la propriété estinitialiséeà partir d"un certain rangn0la propriété esthéréditaireà partir d"un certain rangn0(c"est à
dire que pour toutn?n0alorsP(n)? P(n+1) Alors : la propriété est vraie à partir du rangn01.2 Exemple
Démontrer que, pour tout entier naturel, la suite(un)est définie par : u0=1 etun+1=⎷
2+unest telle que 0 Initialisation: on au0=1 donc 0La fonctionfdéfinie parf(x) =⎷ x+2 est croissante car composée de deux fonctions croissantes 0 2 La propositionP(n)est héréditaire.
Conclusion :par initialisation et hérédité, la propositionP(n)est vraie pour toutn. 2 Limite d"une suite
Définition 2On dit que la suite(un)a pour limite?si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant?contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un=?et l"on dit que la suiteconvergevers? On dit que la suite(un)a pour limite+∞(resp.-∞) si, et seulement si, tout intervalle]A;+∞[(resp.]-∞;B[) contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un= +∞resp. limn→+∞un=-∞ On dit que la suitedivergevers+∞(resp.-∞)Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :
Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"
v n?un?wnet si limn→+∞vn=limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=? Théorème de comparaison
un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Suites géométrique :soitqun réel. On a les limites suivantes :Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞Siq=1 alors limn→+∞qn=1Si-1 PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2013 à 22:59TERMINALES 3 Opérations sur les limites3.1 Limite d"une somme
Si(un)a pour limite
Si(vn)a pour limite
alors(un+vn)a pour limite F. Ind.
3.2 Limite d"un produit
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
alors(un×vn)a pour limite F. ind.
3.3 Limite d"un quotient
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
???=0 0 0 alors?un vn? a pour limite F. ind.
0 F. ind.
4 Convergence d"une suite monotone
Définition 3On dit que la suite(un)estmajoréesi, et seulement si, il existe un réelMtel que : ?n?Nun?M On dit que la suite(un)estminoréesi, et seulement si, il existe un réelmtel que :?n?Nun?m Si(un)est majorée et minorée, on dit que la suite estbornée. DivergenceSi une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un) diverge vers+∞.Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite (un)diverge vers-∞.ConvergenceSi une suite(un)estcroissante et majoréealors la suite(un) converge.Si une suite(un)estdécroissante et minoréealors la suite(un) converge.Théorème du point fixeSoit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?.
Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite? est solution de l"équationf(x) =x. Exemple
Calculer la limite de la suite(un)définie paru0=1 etun+1=⎷ 2+un. On peut montrer par récurrence que la suite (un)est croissante et que pour tout n, 0?un?2 La suite(un)est alors croissante et majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite?. La fonctionftelle que :f(x) =⎷
2+xest définie et continue sur]-2;+∞[.
Comme la suite(un)est convergente vers?, d"après le théorème du point fixe,? verifie l"équation?=⎷ 2+?. En élevant au carré, on trouve :?2-?-2=0 qui admet deux solutions-1 et 2. Comme la suite(un)est positive, elle converge donc vers 2.
PAULMILAN
TERMINALES
quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
0 2 La propositionP(n)est héréditaire.
Conclusion :par initialisation et hérédité, la propositionP(n)est vraie pour toutn. 2 Limite d"une suite
Définition 2On dit que la suite(un)a pour limite?si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant?contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un=?et l"on dit que la suiteconvergevers? On dit que la suite(un)a pour limite+∞(resp.-∞) si, et seulement si, tout intervalle]A;+∞[(resp.]-∞;B[) contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un= +∞resp. limn→+∞un=-∞ On dit que la suitedivergevers+∞(resp.-∞)Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :
Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"
v n?un?wnet si limn→+∞vn=limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=? Théorème de comparaison
un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Suites géométrique :soitqun réel. On a les limites suivantes :Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞Siq=1 alors limn→+∞qn=1Si-1 PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2013 à 22:59TERMINALES 3 Opérations sur les limites3.1 Limite d"une somme
Si(un)a pour limite
Si(vn)a pour limite
alors(un+vn)a pour limite F. Ind.
3.2 Limite d"un produit
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
alors(un×vn)a pour limite F. ind.
3.3 Limite d"un quotient
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
???=0 0 0 alors?un vn? a pour limite F. ind.
0 F. ind.
4 Convergence d"une suite monotone
Définition 3On dit que la suite(un)estmajoréesi, et seulement si, il existe un réelMtel que : ?n?Nun?M On dit que la suite(un)estminoréesi, et seulement si, il existe un réelmtel que :?n?Nun?m Si(un)est majorée et minorée, on dit que la suite estbornée. DivergenceSi une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un) diverge vers+∞.Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite (un)diverge vers-∞.ConvergenceSi une suite(un)estcroissante et majoréealors la suite(un) converge.Si une suite(un)estdécroissante et minoréealors la suite(un) converge.Théorème du point fixeSoit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?.
Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite? est solution de l"équationf(x) =x. Exemple
Calculer la limite de la suite(un)définie paru0=1 etun+1=⎷ 2+un. On peut montrer par récurrence que la suite (un)est croissante et que pour tout n, 0?un?2 La suite(un)est alors croissante et majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite?. La fonctionftelle que :f(x) =⎷
2+xest définie et continue sur]-2;+∞[.
Comme la suite(un)est convergente vers?, d"après le théorème du point fixe,? verifie l"équation?=⎷ 2+?. En élevant au carré, on trouve :?2-?-2=0 qui admet deux solutions-1 et 2. Comme la suite(un)est positive, elle converge donc vers 2.
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2 La propositionP(n)est héréditaire.
Conclusion :par initialisation et hérédité, la propositionP(n)est vraie pour toutn. 2 Limite d"une suite
Définition 2On dit que la suite(un)a pour limite?si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant?contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un=?et l"on dit que la suiteconvergevers? On dit que la suite(un)a pour limite+∞(resp.-∞) si, et seulement si, tout intervalle]A;+∞[(resp.]-∞;B[) contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un= +∞resp. limn→+∞un=-∞ On dit que la suitedivergevers+∞(resp.-∞)Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :
Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"
v n?un?wnet si limn→+∞vn=limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=? Théorème de comparaison
un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Suites géométrique :soitqun réel. On a les limites suivantes :Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞Siq=1 alors limn→+∞qn=1Si-1 PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2013 à 22:59TERMINALES 3 Opérations sur les limites3.1 Limite d"une somme
Si(un)a pour limite
Si(vn)a pour limite
alors(un+vn)a pour limite F. Ind.
3.2 Limite d"un produit
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
alors(un×vn)a pour limite F. ind.
3.3 Limite d"un quotient
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
???=0 0 0 alors?un vn? a pour limite F. ind.
0 F. ind.
4 Convergence d"une suite monotone
Définition 3On dit que la suite(un)estmajoréesi, et seulement si, il existe un réelMtel que : ?n?Nun?M On dit que la suite(un)estminoréesi, et seulement si, il existe un réelmtel que :?n?Nun?m Si(un)est majorée et minorée, on dit que la suite estbornée. DivergenceSi une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un) diverge vers+∞.Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite (un)diverge vers-∞.ConvergenceSi une suite(un)estcroissante et majoréealors la suite(un) converge.Si une suite(un)estdécroissante et minoréealors la suite(un) converge.Théorème du point fixeSoit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?.
Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite? est solution de l"équationf(x) =x. Exemple
Calculer la limite de la suite(un)définie paru0=1 etun+1=⎷ 2+un. On peut montrer par récurrence que la suite (un)est croissante et que pour tout n, 0?un?2 La suite(un)est alors croissante et majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite?. La fonctionftelle que :f(x) =⎷
2+xest définie et continue sur]-2;+∞[.
Comme la suite(un)est convergente vers?, d"après le théorème du point fixe,? verifie l"équation?=⎷ 2+?. En élevant au carré, on trouve :?2-?-2=0 qui admet deux solutions-1 et 2. Comme la suite(un)est positive, elle converge donc vers 2.
PAULMILAN
TERMINALES
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La propositionP(n)est héréditaire.
Conclusion :par initialisation et hérédité, la propositionP(n)est vraie pour toutn.2 Limite d"une suite
Définition 2On dit que la suite(un)a pour limite?si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant?contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un=?et l"on dit que la suiteconvergevers? On dit que la suite(un)a pour limite+∞(resp.-∞) si, et seulement si, tout intervalle]A;+∞[(resp.]-∞;B[) contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un= +∞resp. limn→+∞un=-∞On dit que la suitedivergevers+∞(resp.-∞)Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :
Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"
v n?un?wnet si limn→+∞vn=limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=?Théorème de comparaison
un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞Suites géométrique :soitqun réel. On a les limites suivantes :Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞Siq=1 alors limn→+∞qn=1Si-1 converge.Théorème du point fixeSoit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?.PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2013 à 22:59TERMINALES 3 Opérations sur les limites3.1 Limite d"une somme
Si(un)a pour limite
Si(vn)a pour limite
alors(un+vn)a pour limite F. Ind.
3.2 Limite d"un produit
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
alors(un×vn)a pour limite F. ind.
3.3 Limite d"un quotient
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
???=0 0 0 alors?un vn? a pour limite F. ind.
0 F. ind.
4 Convergence d"une suite monotone
Définition 3On dit que la suite(un)estmajoréesi, et seulement si, il existe un réelMtel que : ?n?Nun?M On dit que la suite(un)estminoréesi, et seulement si, il existe un réelmtel que :?n?Nun?m Si(un)est majorée et minorée, on dit que la suite estbornée. DivergenceSi une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un) diverge vers+∞.Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite (un)diverge vers-∞.ConvergenceSi une suite(un)estcroissante et majoréealors la suite(un) converge.Si une suite(un)estdécroissante et minoréealors la suite(un) Exemple
Calculer la limite de la suite(un)définie paru0=1 etun+1=⎷ 2+un. On peut montrer par récurrence que la suite (un)est croissante et que pour tout n, 0?un?2 La suite(un)est alors croissante et majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite?. La fonctionftelle que :f(x) =⎷
2+xest définie et continue sur]-2;+∞[.
Comme la suite(un)est convergente vers?, d"après le théorème du point fixe,? verifie l"équation?=⎷ 2+?. En élevant au carré, on trouve :?2-?-2=0 qui admet deux solutions-1 et 2. Comme la suite(un)est positive, elle converge donc vers 2.
PAULMILAN
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