LIMITE DUNE SUITE PDF Théorème (Limites de

LIMITES DE SUITES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DE SUITES. I. Limite d'une suite géométrique. 1) Suite (qn).

Terminale S - Etude dune limite de suite

Pour cela il faut prouver que tout intervalle de la forme ] A ; +? [ contient tous les termes de la suite ( ) à partir d'un certain indice. Soit A un nombre

Partie 1 : Limite dune suite

En effet les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on souhaite pourvu qu'on choisisse un rang suffisamment grand. Approche intuitive d'une limite

Limites des Suites numériques I. Limite finie ou infinie dune suite

Opérations sur les limites. Comportement à l'infini de la suite ( qn ) q étant un nombre réel. Suite majorée

Suites numériques - limites

Lorsque la suite (xn)n?N n'admet pas de limite on dit qu'elle est divergente. Page 5. Suites numériques - limites opérations dans R ? {+?

Raisonnement par récurrence Limite dune suite

Oct 9 2013 Conclusion : par initialisation et hérédité

LIMITE DUNE SUITE

Théorème (Limites de suites extraites) Soient (un)n? une suite réelle et ? ? . (i) Si lim n?+? un = ? alors pour toute fonction ? : ?

Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence

Ce qui veut dire que si une suite ( ) converge alors sa limite est solution de l'équation (?) = ?. Mais attention: Trouver la ou les solutions de l'

Les suites - Partie II : Les limites

Limite d'un quotient. 8. Exercice. 9. Souvent pour calculer des limites on s'appuie sur des limites de suites usuelles que l'on connaît et on applique des

Limite dune suite. Suites convergentes

On nomme suite divergente toute suite non convergente. b) Interprétation graphique sur un exemple. 1.3. Proposition. Si une suite admet une limite alors celle-

Christophe Bertault Mathématiques en MPSI

LIMITE D"UNE SUITE

1 UN PEU DE VOCABULAIRE

Définition(Suite réelle)On appellesuite(réelle) toute fonctionude?dans?. Pour toutn??, on préfère noterun

le réelu(n), et(un)n??ou(un)n?0la suiteu.

On travaillera seulement avec des suites définies sur tout?, mais on pourrait bien sûr travailler avec des suites définies

sur?n0,+∞?avecn0??. Il existe au moins deux manières courantes de représenter une suite(un)n??:

soit comme une fonction de?dans?, c"est-à-dire de manière plane avec?en abscisse et?en ordonnée,

soit comme un ensemble de valeurs le long d"un axe. nu n 012 u 1u 2 u 3u

4u5u6u7u8u9u10u11

u 12

Définition(Vocabulaire usuel des suites réelles)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??est :

majoréesi l"ensembleun|n??est une partie majorée de?, i.e. si :?M??,?n??,un?M.

Un telMest appeléUNmajorantde(un)n??. On dit alors que(un)n??estmajorée par Mou queM majore(un)n??.

positive(resp.strictement positive) si pout toutn??:un?0 (resp.un>0). croissante(resp.strictement croissante) si pour toutn??:un?un+1(resp.unOn dispose bien sûr de définitions analogues des suitesminorées, (strictement)négativeset (strictement)décroissantes.

On dit enfin que(un)n??est :

bornéesi elle est à la fois majorée et minorée, i.e. si :?K?0,?n??,|un|?K.

monotone(resp.strictement monotone) si elle est (resp. strictement) croissante ou (resp. strictement) décrois-

sante. Pour montrer qu"une suite(un)n??est monotone, deux méthodes courantes :

étudier le signe deun+1-un,

si(un)n??estSTRICTEMENT POSITIVE, étudier la position deun+1 unpar rapport à 1. Cette méthode est intéressante

surtout lorsqueunest défini par des produits et des quotients et qu"on peut espérer des simplifications.

?Attention !Une suite majorée ne possèdeJAMAIS UN SEUL MAJORANT, une suite majorée par 2 l"est aussi par 3. Par

ailleurs : Les majorants d"une suite sont par définition des constantes. Une majoration deun par un réelQUI DÉPEND DEnne montre pas que la suite(un)n??est majorée.

Ce qu"une suite a d"intéressant pour nous dans ce chapitre, ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement

asymptotique, i.e. à l"infini. Si par exemple tous ses termes sont majorés par 1 sauf les 30 premiers, on a bien envie de dire

que la suite est " presque » majorée par 1. On dit qu"elle est majorée par 1à partir d"un certain rang.

Définition(Suite de propositions vraie à partir d"un certain rang)Soit?= (?n)n??une suite de propositions.

On dit que?(ou?npar abus de langage) estvraie à partir d"un certain rangsi :?N??,?n?N,?n.

On peut définir une suite principalement de deux façons soitexplicitement, soit implicitement par récurrence. Ceci ne

veut pas dire qu"il y a deux sortes de suites, ce sont là seulement deux manières de les définir. Une suite géométrique, par

exemple, peut être définie aussi bien explicitement :un=qnu0que par récurrence :un+1=qun. 1

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Suites définies explicitement :Définir une suite(un)n??explicitement, c"est la définir à l"aide d"une certaine fonction

fpar une relationun=f(n). Il n"est alors pas difficile de calculeru1000, on calcule directementf(1000).

De nombreuses propriétés def monotonie, signe, caractère majoré/minoré/borné se transmettent alors telles

quelles à(un)n??, qui n"est après tout que la restriction defà?. fest bornée...... donc(un)n??est bornée. fest croissante... ... donc(un)n??est croissante.

Suites récurrentesun+1=f(un):On peut définir une suite(un)n??par récurrence par la donnée de son premier

termeu0et d"une relationun+1=f(un)oùfest une fonction fixée. Une telle définition présente un énorme inconvé-

nient, on est obligé pour calculeru1000de calculer les uns après les autresu1,...,u999,u1000. ?Attention !Pour une suite récurrente u n+1=f(un):fest croissante=?(un)n??est croissante. fest décroissante=? (un)n??est décroissante. y=x u0u1u2u3... fest croissanteMAIS(un)n??décroissante. y=x u0u1u2u3u4 fest décroissanteMAIS(un)n??n"est même pas monotone.

2 LIMITE D"UNE SUITE RÉELLE DANS?

2.1 DÉFINITION

Définition(Limite d"une suite)Soient(un)n??une suite réelle et???.

Définition générale :On dit que(un)n??admet?pour limitesi tout voisinage de?contient tous lesunà partir

d"un certain rang, i.e. si :?V?? ??(?),?N??,?n?N,un?V?. Cas particulier d"une limite finie :Si???, on dit que(un)n??admet?pour limitesi : ?? >0,?N??,?n??,n?N=? |un-?|< ?, ou bien de manière plus concise, si :?? >0,?N??,?n?N,|un-?|< ?. Cas particulier de la limite+∞:On dit que(un)n??admet+∞pour limitesi : ?A>0,?N??,?n??,n?N=?un>A, ou bien de manière plus concise, si :?A>0,?N??,?n?N,un>A. Cas particulier de la limite-∞:On dit que(un)n??admet-∞pour limitesi : ?A<0,?N??,?n??,n?N=?unChristophe Bertault Mathématiques en MPSI

On peut montrer que les inégalités strictes :|un-?|< ?,un>Aetun

inégalités larges :|un-?|??,un?Aetun?A, cela n"affecte pas la notion de limite. J"utiliserai généralement

des inégalités strictes, mais choisissez ce que vous préférez.

Obscures au premier abord, ces définitions satisfont en réalité parfaitement l"intuition que nous avons des limites.

Trois voisinagesV1,V2etV3ne suffisent pas à forcer(un)n??à tendre vers?. Il est essentiel que la définition de la

limite commence par "POUR TOUTvoisinageV?de?». ??V1 ?1

Tous lesun

à partir deN1

??V2 ?2

Tous lesun

à partir deN2

??V3 ?3

Tous lesun

à partir deN3

Les premiers termes de la suite(un)n??ne comptent pas quand on s"intéresse à sa limite, raison pourlaquelle la

définition de la limite piège(un)n??dans un voisinage de?À PARTIR D"UN CERTAIN RANG. Intuitivement, plus le voisinageV?est petit, plus le rangNest grand. Théorème(Unicité de la limite)Soit(un)n??une suite réelle. Si(un)n??possède une limite, celle-ci est unique et notée limn→+∞un.

Pour tout??

?, la relation limn→+∞un=?est souvent notée :un-----→n→+∞?.

DémonstrationSoient?,????. On veut montrer, sous l"hypothèse que(un)n??admet?et??pour limites, que

?=??. Supposons par l"absurde??=??. Il existe alors un voisinageV?de?et un voisinageV??de??pour lesquels

?∩V??=∅. Or, par hypothèse,un?V?à partir d"un certain rangNetun?V??à partir d"un certain rangN?.

Ainsi, pourn0=maxN,N?:un0?V?∩V??=∅ contradiction! V?

Tous lesun

à partir den0

V??

Tous lesun

à partir den0

FOLIE!

Cette preuve illustre une idée importante que nous retrouverons souvent. Si une suite de propositions?1est vraie à partir

d"un rangN1, une suite de propositions?2vraie à partir d"un rangN2... et enfin une suite de propositions?kvraie à partir

d"un rangNk,les suites depropositions?1,...,?ksontalorsTOUTESvraies en mêmetemps àpartir durang maxN1,...,Nk.

Définition(Convergence/divergence)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??estconvergenteou qu"elle

convergesi elle possède une limiteFINIE. On dit sinon qu"elle estdivergenteou qu"ellediverge.

Limite

finieLimite

±∞Pas de

limite

Convergence

Divergence?Attention !Converger, cen"estpasavoir unelimitemais avoir unelimite FINIE. Diverger, ce n"est pas avoir±∞pour limite, mais éventuellementNE

PAS AVOIR DE LIMITE.

Théorème(Convergence et caractère borné)Toute suite convergente est bornée.

DémonstrationSoit(un)n??une suite convergente, disons de limite?. Pour?=1, la définition de la limite

affirme que l"inégalité|un-?|<1 est vraie à partir d"un certain rangN. Ainsi pour toutn?N, d"après l"inégalité

triangulaire :|un|=??(un-?)+????|un-?|+|?|?|?|+1.

PosonsK=max

|u0|,|u1|,...,|uN-1|,|?|+1 . Le réelKest alors plus grand que|u0|,...,|uN-1|, mais aussi que |un|pour toutn?N. Finalement|un|?KpourTOUTn??, donc(un)n??est bornée. ?Attention !

La réciproque est fausse, la suite(-1)n

n??est bornée sans être convergente.

Une suite non bornée n"admet pas forcément+∞ou-∞pour limite. Par exemple, la suite(-1)nn

n??n"est pas bornée et n"a pas de limite que dire en effet de ses termes d"indice pair/impair? 3

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La manipulation des définitions de la limite n"est pas trop difficile si on se conforme aux recommandations qui suivent.

Supposons dans un premier temps que???. Pour montrer que :?? >0,?N??,?n?N,|un-?|< ?, on

commence sans réfléchir par " Soit? >0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?, on essaie de

MAJORER|un-?|EN RESPECTANT DEUX

RÈGLES:

La majoration obtenue doitTENDRE VERS0QUANDnTEND VERS+∞. Sans cela, nous ne pourrons pas trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?quand?est trop petit. La majoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la majoration|un-?|?1 npeut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=!1?! +1. Dans le cas où?= +∞, on s"adapte. Pour montrer que :?A>0,?N??,?n?N,un>A, on commence

sans réfléchir par " SoitA>0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquelun>A, on essaie deMINORERunEN

RESPECTANT DEUX

RÈGLES:

La minoration obtenue doitTENDRE VERS+∞QUANDnTEND VERS+∞. La minoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la minorationun?n2peut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=? A+1.

Exemplelimn→+∞nsinnn2+2=0.

DémonstrationNous devons montrer que :?? >0,?N??,?n?N,???nsinnn2+2???

Soit? >0. Pour toutn??, majorons :???nsinn

n2+2??? =n|sinn|n2+2?nn2+2?nn2=1n.

On majore enSIMPLIFIANTet en

vérifiant que ce par quoi on ma-

joreTEND TOUJOURS VERS0.On arrête de majorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché.

PosonsN=!1?!

+1. À partir deN, l"inégalité1n< ?est vraie, donc l"inégalité???nsinnn2+2??? < ?aussi.

Exemplelimn→+∞

n2+(-1)nn DémonstrationNous devons montrer que :?A>0,?N??,?n?N,n2+(-1)nn>A. SoitA>0. Pour toutn??, minorons :n2+(-1)nn?n2-n=n(n-1)?(n-1)2.

On minore enSIMPLIFIANTet en

vérifiant que ce par quoi on mi-

noreTEND TOUJOURS VERS+∞.On arrête de minorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché.

Pour toutn???:(n-1)2>A??n>?A+1. PosonsN=?A+2. À partir deN, l"inégalité (n-1)2>Aest vraie, donc l"inégalitén2+(-1)nn>Aaussi.

2.2 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

Soient(un)n??et(vn)n??deux suites réelles,?,????etλ??. On suppose dans tout ce paragraphe que les limites

limn→+∞unet limn→+∞vnEXISTENT. Dans les tableaux ci-dessous, le symbole ???ne signifie pas une absence de limite mais une

indétermination, i.e. une impossibilité de conclure en toute généralité, qui nécessite donc un traitement au cas par cas.

SOMME limn→+∞(un+vn)lim n→+∞vnlim n→+∞un 4

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PRODUIT

limn→+∞(unvn)lim n→+∞vnlim n→+∞un +∞+∞? >0 ou+∞ +∞-∞? <0 ou-∞ -∞? >0 ou+∞ +∞? <0 ou-∞???

0+∞

ou-∞

MULTIPLICATION

PAR UN RÉEL

limn→+∞(λun)lim n→+∞unλ >0λ=0λ <0

0peu importe

INVERSE

limn→+∞1unlim n→+∞un

1???=0

0+∞

ou-∞ +∞0u n>0

à partir d"un

certain rang 0u n<0

à partir d"un

certain rang???

0sinon

Mais finalement, c"est quoi uneforme indéterminée? C"est une formeÀ déterminer. Le symbole???signifie qu"en effec-

tuant une opération(+∞)-(+∞)ou 0×(+∞), on peut tomber a priori surN"IMPORTE QUEL RÉSULTAT.

Cas de la forme indéterminée(+∞)-(+∞):

On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞(n+?) = +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(n+?)-n=?.

On peut obtenir±∞: limn→+∞2n= +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(2n-n) = +∞.

On peut ne pas obtenir de limite : lim

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LIMITE D"UNE SUITE

1 UN PEU DE VOCABULAIRE

4u5u6u7u8u9u10u11

On dit enfin que(un)n??est :

 étudier le signe deun+1-un,

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2 LIMITE D"UNE SUITE RÉELLE DANS?

2.1 DÉFINITION

Tous lesun

à partir deN1

Tous lesun

à partir deN2

Tous lesun

à partir deN3

Pour tout??

Tous lesun

à partir den0

Tous lesun

à partir den0

FOLIE!

Limite

±∞Pas de

Convergence

PAS AVOIR DE LIMITE.

PosonsK=max

La réciproque est fausse, la suite(-1)n

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MAJORER|un-?|EN RESPECTANT DEUX

RÈGLES:

RESPECTANT DEUX

RÈGLES:

Exemplelimn→+∞nsinnn2+2=0.

Soit? >0. Pour toutn??, majorons :???nsinn

On majore enSIMPLIFIANTet en

PosonsN=!1?!

Exemplelimn→+∞

On minore enSIMPLIFIANTet en

2.2 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

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PRODUIT

0+∞

MULTIPLICATION

PAR UN RÉEL

0peu importe

INVERSE

1???=0

0+∞

à partir d"un

à partir d"un

0sinon

 On peut ne pas obtenir de limite : lim

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étudier le signe deun+1-un,

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La réciproque est fausse, la suite(-1)n

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On peut ne pas obtenir de limite : lim