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1e S - programme 2011 ±mathématiques ± ch.4 ± cahier élève Page 1 sur 14

H. Rorthais (Lycée Polyvalent du 6MŃUp F°XU à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr

Ch.4 : Statistiques

Exercice n°A page 286 : Calculer une médiane et une moyenne Déterminer la médiane et la moyenne de chacune des deux séries suivantes : Série A : 12 5 13 8 14 11 4 11 3 3 14 3 5 12 7 7 7 7 16 15 4.

Série B : Note 5 7 9 10 12 14 15 16 18

Effectif 2 3 4 6 7 3 1 4 1

Série A B

Moyenne à 0,01 près 8,62 11,29

Médiane 7 12

Exercice n°B page 286 : Quartiles

Vrai ou faux ?

On s'intéresse à la série B de notes de l'exercice A. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies.

Série B : Note 5 7 9 10 12 14 15 16 18

Effectif 2 3 4 6 7 3 1 4 1

1) Le premier quartile de la série est égal à 8.

2) Le troisième quartile de la série est égal à 14.

3) L'écart interquartile de la série est égal à 5.

2) Vrai.

3) Vrai.

Exercice n°C page 286 : Explorer les propriétés des indicateurs

Vrai ou faux ?

Un examen a permis à 100 candidats de se présenter et chacun a obtenu une note entière

comprise entre 0 et 20. Pour être reçu, un candidat doit avoir une note supérieure ou égale

à 10. La moyenne des 100 notes est 10, la médiane 12 et l'étendue 18. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

Indication : L'étendue

est l'écart entre la valeur minimale et la valeur maximale du caractère.

1) Si une des notes est 20, il n'y a pas de 0.

2) Si une des notes est 3, il y a un 20.

3) Il y a exactement 45 reçus à l'examen.

4) La moyenne des collés est inférieure ou égale à 8.

1) Vrai : sinon 20 0 18.

2) Faux.

3) Faux : la moitié (50) des candidats a une note supérieure ou égale à 12.

4) Faux.

1 MÉDIANE, QUARTILES, DÉCILES

RAPPELS ET DÉFINITIONS

La médiane est la valeur de rang n + 1

2 si n est impair, ou, la moyenne de celles de rangs n

2 et n

2 + 1, si n est

pair. inférieures ou égales à Q1 . inférieures ou égales à Q3 . L'intervalle [Q1 ; Q3] est appelé intervalle interquartile.

Son étendue Q3 Q1 est appelée écart interquartile : c'est une mesure de la dispersion liée à la médiane.

Remarques :

Le terme de " deuxième quartile » n'est pas utilisé : il correspond à la médiane de la série statistique.

Pour déterminer, les quartiles ou les déciles, il faut ordonner les séries de valeurs dans l'ordre croissant.

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Exemple :

On donne les notes obtenues à un examen par 27 candidats :

Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Note 3 4 4 5 6 6 6 7 8 8 8 9 10 11

Rang 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Note 11 12 12 12 12 12 14 15 15 15 17 17 18

27 0,25 = 6,75 : le premier quartile est donc la 7e valeur ; ainsi Q1 = 6.

27 0,75 = 20,25 : le troisième quartile est donc la 21e valeur ; ainsi Q3 = 14.

L'intervalle interquartile [6 ; 14] contient au moins la moitié des notes ; l'écart interquartile est 14 6 = 8.

DÉFINITIONS

Soit x1 , x2 , " xn une série statistique de n valeurs. ou égales à d1 . inférieures ou égales à d9 .

Exemple :

Sur l'exemple précédent, on a : 27 0,10 = 2,7 : le premier décile est la 3e valeur; ainsi d1 = 4.

27 0,9 = 24,3 : le neuvième décile est donc la 25e valeur ; ainsi d9 = 17.

Exercice n°1 page 291

Pour chacune des séries suivantes, déterminer la médiane, les quartiles Q1 et Q3 ainsi que les déciles d1 et d9 :

a) Série A : 1 ± 2,5 ± 3 ± 4,2 ± 5,3 ± 7 ± 9 - 10,2 ± 12 ± 15 ± 17 ± 20 ± 21,7 ± 25 ± 27 ± 50 ± 54 ± 60 ± 63.

b) Série B : 13 ± 17 ± 35 ± 12 ± 20 ± 45 ± 67 ± 54 ± 23 ± 34 ± 26 ± 12 ± 22 ± 69 ± 46.

a) d1 Q1 Med Q3 d9

Série A 2,5 5,3 15 27 60

b) Série B : 12 ± 12 ± 13 ± 17 ± 20 ± 22 ± 23 ± 26 ± 34 ± 35 ± 45 ± 46 ± 54 ± 67 ± 69.

d1 Q1 Med Q3 d9

Série B 12 17 26 46 67

Exercice n°1 page 308 Moyenne et médiane

Déterminer la moyenne et la médiane des séries 1 et 2 : Série 1 : 4 ; 3 ; 5 ; 4 ; 6 ; 7 ; 2 ; 6 ; 9 ; 10.

Série 2 : 12 ; 16 ; 10 ; 8 ; 20 ; 19 ; 15.

Moyenne Médiane

Série 1 5,6 5,5

Série 2 14,3 15

Exercice n°2 page 308 Effectifs cumulés, médiane, quartiles On a interrogé les 250 élèves de première d'un lycée sur leur nombre de frères et V°XUV. Voici les résultats :

1) Recopier et compléter le tableau avec les

fréquences et les fréquences cumulées.

Nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Effectif 80 90 46 20 8 3 1 1 1

Fréquence (en %)

Fréquences cumulées

2) Quel pourcentage d'élèves ont tURLV IUqUHV HP V°XUV RX PRLQV ?

3) Déterminer la médiane de la série, puis le premier et le troisième quartile. Traduire chaque résultat par une phrase

en français.

1) Nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Effectif 80 90 46 20 8 3 1 1 1

Fréquence (%) 32 36 18,4 8 3,2 1,2 0,4 0,4 0,4

Fréquences cumulées 32 68 86,4 94,4 97,6 98,8 99,2 99,6 100

2) 94,4 %.

3) La médiane est 1 : 50 % des élèves au moins ont au plus un frère ou une V°XU.

Q1 = 0 et Q3 = 2.

Exercice n°12 page 299 Q.C.M.

Pour chacune des questions suivantes, déterminer toutes les réponses correctes. Soit une série statistique de médiane Me, de quartiles Q1 et Q3 et de déciles d1 et d9 .

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1) La médiane est toujours : a) la moyenne de Q1

et Q3 b) comprise entre Q1 et d9 c) positive

2) Entre d1 et d9 , on trouve environ : a) 10 % des valeurs b) 80 % des valeurs c) 90 % des valeurs

3) Environ 15 % des valeurs de la série se

situent entre : a) d1 et Q1 b) entre Q1 et Me c) entre Q3 et d9

1) b et c.

2) b.

3) a et c.

Exercice n°40 page 305 Robustesse : moyenne ou médiane

On cherche à savoir, suivant les situations, lequel des indicateurs est le plus robuste, c'est-à-dire le moins sensible à de

petits changements des valeurs de la série.

On prendra comme exemple deux villes, Joli-Bois et Ville-Belle. Dans ces deux villes, on a relevé l'évolution de la valeur

de 40 appartements, entre 2008 et 2010. On exprime cette valeur en dizaine de milliers d'euros (voir les graphiques ci-

après).

1) a) Dans le cas de Ville-Belle, recopier et

compléter le tableau suivant : b) À priori, y a-t-il une grande évolution entre 2008 et 2010 ? c) Déterminer la moyenne et la médiane en 2008 et 2010.

Valeur

(en ) 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 2008
2010
Lequel des deux indicateurs paraît le plus robuste ?

1) a) Valeur 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

2008 2 3 3 4 5 7 5 5 3 3 0

2010 0 3 3 4 5 7 5 5 3 3 2

c) La moyenne est passée de 98 à 103 et la médiane de 100 à 100.

La moyenne a augmenté de 3 %.

2) Effectuer la même étude qu'à la question 1) pour la ville de Joli-Bois.

2) Valeur 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

2008 4 5 6 4 1 1 4 5 6 2 2

2010 4 5 6 4 0 0 6 5 6 2 2

La médiane a donc augmenté de 15 %, contre moins de 1 % pour la moyenne : la moyenne est plus robuste.

3) Comment décrire la différence entre les situations des deux villes ?

3) La distribution des valeurs dans la ville de Joli-Bois est bimodale, avec un trou aux alentours de la médiane, tandis

que celle de Ville-Belle est fortement regroupée autour de la moyenne, avec peu de valeurs extrêmes.

Exercice n°42 page 306 Effet de structure

Voici la répartition des salaires annuels, en euros, dans deux entreprises, par catégorie de salarié. SILOR compte 126 employés et 34 cadres alors que SOLIR compte 88 employés et 72 cadres. Le PDG de SOLIR affirme que ses salariés sont en moyenne mieux payés que ceux de SILOR.

Entreprise

SILOR

Employés Cadres

171 000 37 700

Entreprise

SOLIR

Employés Cadres

147 000 32 000

" Impossible, répond le PDG de SILOR, les employés, comme les cadres sont mieux payés chez moi que chez vous ! »

Comment expliquer ce paradoxe ?

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Employés Cadres Salariés

total effectif moyenne total effectif moyenne total effectif moyenne

Entreprise

SILOR 171 000 126 1 37 34 1 548 160 3

Entreprise

SOLIR 147 88 1 32 72 4 467 160 2

(2 478 contre 22 485).

2 DIAGRAMME EN BOÎTE

Une échelle étant choisie, le diagramme en boîte est formé d'un rectangle dont les extrémités représentent les

premier et troisième quartiles. Cette " boîte » est partagée par un trait vertical représentant la médiane. Elle est prolongée, à gauche et à droite, par deux traits horizontaux, appelés les " moustaches » dont les extrémités sont les premier et neuvième déciles. Souvent, lorsqu'elles sont connues, on indique les valeurs extrêmes de la série.

Remarques :

Un tel diagramme s'appelle diagramme en boîte ou diagramme à moustaches ou encore diagramme de Tukey.

Pour la calculatrice, les extrémités des moustaches sont le min et le max. Exercice corrigé : Représenter une série statistique par un diagramme en boîte Le tableau ci-dessous donne la distribution des salaires nets annuels en 2007 en France dans les collectivités territoriales (Source INSEE). d1 d2 d3 d4 médiane d6 d7 d8 d9

14 293 15 491 16 241 17 365 18 464 19 789 21 478 23 991 28 983

On sait de plus que le premier quartile est 15 991 et le troisième quartile est 22 315.

1) Représenter ces données par un diagramme en boîte.

2) À l'aide de ce diagramme, commenter la répartition des salaires.

Solution : Méthode :

1)

Choisir une échelle qui permet

de représenter toutes les données.

Dessiner la boîte dont les bords

représentent les premier et troisième quartiles. Partager cette boîte par un trait représentant la médiane.

Prolonger la boîte par les " moustaches » dont les extrémités sont les premier et neuvième déciles.

2) Les bas salaires sont plus concentrés que les hauts salaires.

En effet, 25 % des salaires inférieurs à la médiane sont compris entre

15 991 et 18 464, soit dans un intervalle d'amplitude égale à environ

2 500, tandis que 25 % des salaires supérieurs à la médiane sont

La dissymétrie de la boîte

correspond à une répartition non uniforme des salaires. compris entre 18 464 et 22 315, soit dans un intervalle d'amplitude égale à environ 4 000.

De plus, 15 % des salaires sont compris entre 14 293 et 15 991 , soit dans un intervalle d'amplitude égale

à environ 1 700, tandis que 15 % des salaires sont compris entre 22 315 et 28 983 , soit dans un intervalle d'amplitude égale à environ 6 650.

Exercice n°2 page 291

Une maternité a étudié les tailles des bébés nés à terme au cours d'une année.

Elle constate que 10 % des bébés ont une taille inférieure ou égale à 44 cm, que 10 % ont une taille supérieure ou égale

à 54 cm.

Un quart des bébés mesure plus de 52 cm et les trois quarts plus de 47 cm. De plus, la moitié des bébés mesurent

49 cm.

Représenter ces données par un diagramme en boîte.

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On a d1 = 44 et d9 = 54 ; Med = 49 ; Q1= 47 et Q3 = 52.

46474849505152534445Taille (cm)

Exercice n°3 page 291

Représenter chacune des séries de l'exercice 1 par un diagramme en boîte.

a) Série A : 1 - 2,5 ± 3 ± 4,2 ± 5,3 ± 7 ± 9 - 10,2 ± 12 ± 15 ± 17 ± 20 ± 21,7 ± 25 ± 27 ± 50 ± 54 ± 60 ± 63.

b) Série B : 13 ± 17 ± 35 ± 12 ± 20 ± 45 ± 67 ± 54 ± 23 ± 34 ± 26 ± 12 ± 22 ± 69 ± 46.

a) d1 Q1 Med Q3 d9

Série A 2,5 5,3 15 27 60

b) d1 Q1 Med Q3 d9

Série B 12 17 26 46 67

Exercice n°19 page 300 Q.C.M.

Donner la bonne réponse.

Une grande surface compte en fin d'année le nombre de chèques cadeaux vendus.

Ces chèques cadeaux sont de cinq types :

5 ; 10 ; 20 ; 50 ; 100 .

Montant 5 10 20 50 100

Nombre de chèques 24 48 19 2 4

1) Le nombre total de chèques vendus est :

a) 5. b) 100. c) 97.

1) 24 + 48 + 19 + 2 + 4 = 97. Réponse c.

2) L'écart interquartile est :

a) 18,5. b) 10. c) 67,5. 2) 1

4 97 = 24,25 et 3

4 97 = 72,75.

Réponse b.

3) Soit M la médiane de la série :

a) le trait représentant M est au centre de la boîte du diagramme en boîte.

b) le trait représentant M est décalé vers la droite de la boîte du diagramme en boîte.

c) le trait représentant M est décalé vers la gauche de la boîte du diagramme en boîte.

3) 1

2 97 = 48,5, donc M est la 49e valeur, soit 10.

Les extrémités du diagramme, les minimum et maximum, sont : 5 et 100.

Réponse c.

4) 25 % des plus petits chèques cadeaux ont une valeur inférieure ou égale à :

a) 10. b) 7,5. c) 5.

4) Q1 = 10. Réponse a.

Exercice n°20 page 301 Vrai ou faux ?

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier la réponse.

La répartition des salaires dans une entreprise privée est donnée par le diagramme en boîte ci-

contre.

1) 25 % des femmes ont un salaire inférieur à 1 000 .

2) Les salaires des hommes sont supérieurs à 1 000 .

3) La moitié des hommes gagne autant ou plus que les trois quarts des femmes.

4) L'écart interquartile pour les salaires des hommes est le double de celui des salaires des

femmes.

5) Le pourcentage des salaires dont le montant est compris entre 1 000 et 1 550 est 75 %.

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1) Vrai, car Q1 1 pour les femmes.

3) Vrai, car M 1 pour les hommes, et Q3 1 pour les femmes.

4) Faux, car Q3 Q1 1 700 1 100 pour les hommes, et Q3 Q1 1 550 1 pour les femmes.

Exercice n°22 page 301 Calcul et représentation graphique

Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartile des séries suivantes, puis en proposer un diagramme en boîte.

Série A 1 3 5 6 8 7 9 12 11 6 12 9 12 16 13 17 18 15.

Série B Note 8 9 11 12 14 16 19 20

Effectif 2 3 5 2 4 3 2 1

Avec la calculatrice :

Diagramme en boîte sur la calculatrice

On entre les valeurs xi dans la liste 1 et les effectifs ni dans la liste 2.

On obtient la boite » avec

On règle les affichages du

graphique avec 2nd STAT PLOT.

On commence par régler

les données dans , puis Grph 1 et activer la trace :

Puis avec WINDOW pour et

xmin et avec GRAPH on obtient :

Attention : les extrémités des moustaches sont le minimum et le maximum et non pas les déciles.

Série A : 1 3 5 6 6 7 8 9 9 11 12 12 12 13 15 16 17 18. min Q1 Med Q3 max

Série A 3 6 10 13 18

Série B 8 11 12 16 20

Exercice n°4 page 291

Pendant 80 jours, on a relevé le niveau d'eau (en mètre) dans un réservoir et dressé le diagramme suivant :

1) Identifier les paramètres statistiques que l'on connaît grâce à ce diagramme en boîte.

2) Déterminer le nombre minimum de jours où le niveau de l'eau :

a) est inférieur ou égal à 1,8 m ; b) est d'au moins 2 m ; c) est compris entre 1,2 m et 2 m.

1) Le minimum de la série est 0,5 m et le maximum 2,5 m.

Le premier décile d1 est égal à 0,8 m et le neuvième décile d9 à 2. Le premier quartile est égal à 0,8 m et le troisième à 1,8 m.

La médiane est égale à 1,6 m.

2) a) Au moins 75 % des jours, soit 60 jours.

b) 10 % des jours, soit 8 jours. c) 65 % des jours, soit 52 jours. Exercice n°5 page 294 Exploiter et comparer des diagrammes en boîte

Les diagrammes en boîte ci-dessous représentent les salaires annuels (en milliers d'euros) en Ile-de-France et dans les

régions françaises hors Ile-de-France.

Ile-de-France

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Régions hors Ile-de-France

1) Préciser pour l'Ile-de-France et pour les régions hors Ile-de-France les valeurs des premier et neuvième déciles, des

premier et troisième quartiles, de la médiane et de l'écart interquartile.

2) En comparant les deux diagrammes en boîte, quelles différences peut-on relever ?

1) Pour l'Ile-de-France, on a :

d1 = 11,4, Q1 = 14,8, Me = 19,7, Q3 = 28,6, d9 = 42,2 et Q3 Q1 = 13,8.

Pour les régions hors Ile-de-France, on a :

d1 = 10,5, Q1 = 12,5, Me = 15,7, Q3 = 20,5, d9 = 28 et Q3 Q1 = 8.

Les bords de la boîte correspondent aux

quartiles, le trait dans la boîte à la médiane et les extrémités des moustaches aux 1er et 9e déciles.

2) La comparaison des deux boîtes à moustache permet non seulement de

constater que les salaires en Ile-de-France sont supérieurs aux salaires de la Province, mais qu'ils sont sensiblement plus dispersés. En effet, les écarts interquartiles sont de 13,8 pour l'Ile-de-France et de 8 pour la

Province.

On peut également remarquer que les hauts salaires sont beaucoup plus dispersés en Ile-de-France : la moustache de droite [Q3 ; d9] est presque deux fois plus ample pour l'Ile-de-France que pour la Province.

Des représentations en " diagramme en

boîte » à la même échelle permettent de comparer des séries statistiques et d'évaluer la dispersion de la " moitié centrale » (intervalle [Q1 ; Q3]) autour de la médiane : plus la boîte est resserrée autour de la médiane, moins grande est la dispersion.

Exercice n°13 page 299 Vrai ou faux ?

Préciser dans chaque cas si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1) Le premier quartile de la série ci-dessous est 12.

14 7 6 12 7 20 18 2 12 13 1 19 3 5 8.

1) 1 2 3 5 6 7 7 8 12 12 13 14 18 19 20.

Il y a 15 valeurs, et 1

4 15 = 3,75, donc Q1 est la 4e valeur : Q1 = 5.

2) Une série contient 500 valeurs ; le premier décile vaut 50.

2) On ne connait pas les valeurs, jute leur quantité, on ne peut pas trouvé le premier décile.

3) Dans un diagramme en boîte, la médiane se trouve toujours au centre de la boîte.

4) Si on ajoute 10 à toutes les valeurs d'une série, alors la longueur de la boîte reste inchangée.

Exercice n°14 page 299 Vrai ou faux ?

Préciser dans chaque cas si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Dans une usine de fabrications d'ampoules de 20 watts, on a prélevé 200 ampoules et mesuré leur puissance. Les données collectées ont permis de réaliser le diagramme ci-dessous.

1) Au moins 100 ampoules ont une puissance comprise entre

19,3 W et 21 W.

2) La puissance moyenne des 200 ampoules est 20 W.

3) Au moins 75 % des ampoules ont une puissance effective de 21,4 W.

4) Au plus 19 ampoules ont une puissance strictement inférieure à 19 W.

1) Vrai, cela représente la moitié des valeurs.

4) Vrai, car d1 = 19 W.

Exercice n°18 page 300 À partir des quartiles et des déciles

Voici les paramètres de la série des notes obtenues par 160 candidats à une épreuve lors d'un concours :

Min = 3 ; d1 = 5 ; Q1 = 8 ; Me = 10 ; Q3 = 14 ; d9 = 16 ; Max = 19.

1) a) Combien de candidats ont obtenu une note d'au moins 10 ? d'au moins 14 ?

b) Toute note strictement inférieure à 5 est éliminatoire. Combien de candidats sont éliminés à cause de cette

épreuve ?

2) Exprimer en pourcentage la proportion de notes n vérifiant :

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a) n < 14 ; b) 8 n ; c) 10 n < 16.

3) Les candidats sont classés dans l'ordre décroissant des notes. Quel est l'écart des notes entre le 41e candidat et le

121e ?

1) a) 80 ont eu au moins 10, 40 au moins 14.

b) On sait que 16 candidats ont obtenu une note inférieure ou égale à 5, mais on ne peut pas dire combien ont

eu une note strictement inférieure à 5, sauf à supposer que tous les candidats ont eu des notes différentes.

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