[PDF] Nombres complexes Nombres complexes

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7 COURS

Rappels . . . . . . . . . . . 8

Notation

exponentielle . . . . . . 10

Résolution dans

des équations du second degré

à coefficients

dans . . . . . . . . . . . 12

Lignes de niveau. . . . 14

Transformations

géométriques . . . . . . 16

EXERCICES

PROBLÈMES

Avant d'aborder

le cours . . . . . . . . . . 20

Exercices

d'entraînement . . . . 20

Problèmes

Travaux pratiques . . 23

Utiliser la notation exponentielle d'un nombre complexe.

Résoudre des équations dans

Utiliser les nombres complexes pour caractériser les transformations géométriques. Dans , lՎquation nÕa pas de solution. Dans , ensemble des nombres com- plexes, elle en a deux : i et i.

La notation i fut introduite par Euler, le

grand mathŽmaticien suisse. Dans ce livre, on notera j ˆ la place de i, notation utilisŽe pour lÕintensitŽ en ŽlectricitŽ. utilisŽs en gŽomŽtrie, en particulier pour caractŽriser les transformations ponctuelles. Connaître les notions de base se rapportant aux nombres complexes : partie réelle et partie imaginaire, module et argument, forme algé- brique et forme trigonométrique, opérations, affixe d'un point M du plan complexe. Voir paragraphe du cours consacré aux rappels.

NombrescomplexesNombrescomplexes

1

OOOOBBBBJJJJEEEECCCCTTTTIIIIFFFFSSSS

x 2 1+0= Leonhard EULER (B‰le 1707, Saint-PŽtersbourg 1783) AAAA VVVV AAAA NNNN TTTT DDDD AAAA BBBB OOOO RRRR DDDD EEEE RRRR LLLL EEEE CCCC OOOO UUUU RRRR SSSS

Exercices

1 à 4

01cours_179088 Page 7 Lundi, 3. novembre 2003 10:22 10

8 COURS

1. Nombres complexes

RAPPELS

1. DŽfinitions

Forme algŽbrique

L'ensemble

des nombres complexes est l'ensemble des nombres de la forme (notation des physiciens, les mathématiciens notant plutôt , mais,

en électricité, représente souvent l'intensité du courant), vérifiant l'égalité

, et étant des réels quelconques.

Soit . Alors et .

Si , alors est réel . Si , alors est imaginaire pur. : deux nombres complexes et sont égaux si, et seulement si, et .

ReprŽsentation gŽomŽtrique

Dans le plan muni d'un repère orthonormal

, à tout complexe , on associe le point et réciproquement,

à tout point, on peut associer un nombre

complexe. est l'image de et est l'affixe de ; est également l'affixe du vecteur .

Forme trigonomŽtrique

Soit et son image dans le plan rapporté au repère .

Le module

de est le réel positif .

Géométriquement, .

Un argument

de est le nombre défini à près par Géométriquement est, à près, la mesure de l'angle . On a alors : c'est la forme trigonométrique de .

Exemples :

Soit . Alors et , .

1 a abj+abi+ ij j 2

1 Ð=ab

zabj+=aez=bmz= b0=za0=z zabj+= zabj+= aa=bb= b Or qy x axe réelaxe imaginaire B(bj

A(a)M(z)

v u

O uv ;zabj+=

Ma b ; Ma b ;zabj+=z Ma b ;z

OM au bv+=

c zabj+=MO uv ; zza 2 b 2 zOMOM== z z 0 2kk cosa sinb 2kuOM zcos jsin+=z z

3j Ð=z3=

arg z 3 2 ------ 2 k +=z33

2------jsin= 01cours_179088 Page 8 Lundi, 3. novembre 2003 10:22 10

COURS 1. Nombres complexes

9 Soit . Alors et .

. 2. OpŽrations Complexe conjuguŽ

Addition .

Géométriquement, si et sont les images

de et , alors : le point image de est le point tel que et le point image de est le point tel que

est donc l'affixe du vecteur et . Produit Il est souvent plus intéressant d'utiliser la forme trigonométrique.z1j+=z2=

arg z 4 --- 2 k += z2

4---cos j

4---sin+=

a

Définition

Soit .

Le complexe conjugué de z est .

Géométriquement, l'image de est

symétrique de l'image M de z par rapport à l'axe .

On a et .

Oy y' xx' M(z) M'(z) zabj+= zabjÐ= Mz xx zz= arg z arg z Ð 2 k +=

PropriŽtŽs immŽdiates

ez1

2---zz+=mz1

2---zzÐ=zz z

2 b Oy y' x x'

M(z)P(z + z')

Q(z' - z)M'(z')

zabj+= zabj+=zz+aa+bb+j+= MM zz Pzz+

OP OM OM+=

QzzÐ

OQ OMOMÐMM==

zzÐMMMMzzÐ= c zabj+= zabj+=zzaabbÐabab+j+=

01cours_179088 Page 9 Lundi, 3. novembre 2003 10:22 10

10 COURS 1. Nombres complexes

En effet Inverse et quotient En utilisant les formules ci-dessus, on vérifie que l'on a :

Puissance

Soit , . En utilisant les propriétés du produit, on montre par récurrence que, pour tout entier naturel , on a :

Exemples :

NOTATION EXPONENTIELLE

1. Formule de Moivre

En appliquant la formule ci-dessus à un nombre complexe de module 1, , on obtient, pour tout entier naturel , la formule de Moivre :z cos jsin+= z cos jsin+= zz coscossinsinÐcossinsincosÐj+= zz +cos j+sin+.=

PropriŽtŽs

zzzz= arg zz arg z arg z 2 k ++= d

Propriétés

1 z--1 z----- z 0 arg 1 z -- arg z Ð 2 k += z z----z z------- z 0 arg z z ---- arg z arg z 2 k +Ð= e zcos jsin+=z0 n

Exercices

5 à 9

PropriŽtŽ

z n n ncos jnsin+=

1jÐ2

4---Ðcos j

4---Ðsin+=

1jÐ

20 2 20

20 4 ----------Ð cos j 20 4 ----------Ð sin + =

2 10

5 Ð cos j 5 Ð sin + 1 024. Ð==

2 zcos jsin+=n

FORMULE DE MOIVRE

cos jsin+ n ncos jnsin+=

01cours_179088 Page 10 Lundi, 3. novembre 2003 10:22 10

COURS 1. Nombres complexes

11 Par analogie avec les puissances, on pose par définition :

Exemples :

Pour , .

Pour , .

La formule de Moivre devient alors (propriété analogue à celle des puissances). Les formules donnant l'argument d'un produit ou d'un quotient deviennent : et .

Remarque :

La formule de Moivre est vraie aussi pour entier relatif. 2. Notation exponentielle dÕun nombre complexe Exemple d'utilisation :

Calcul du module et de l'argument de .

; et . 3. Formules dÕEuler , d'où . En additionnant membre à membre, on obtient et en sous- trayant membre à membre on obtient .

D'où :

e j cos jsin+= =e j 1 Ð=

2---=e

j 2 --- j = e j n e jn e j e j e j+ =e j e j --------e jÐ n

PropriŽtŽ

Tout nombre complexe non nul de module et d'argument peut s'écrire . e j zj

1j+----------=

z e j 2--- 2e j 4--- --------------1

2-------e

j 2---j

4---Ð

1

2-------e

j 4--- == =z1

2-------=arg z 4 --- 2 =

e j cos jsin+=e j Ð Ð cos j Ð sin + cos j sin Ð== e j e j Ð + 2 cos = e j e j Ð Ð 2j sin =

FORMULES DÕEULER

cose j e j Ð +

2------------------------=

sine j e j Ð Ð

2j -----------------------=

Exercices

10 et 11

01cours_179088 Page 11 Lundi, 3. novembre 2003 10:22 10

12 COURS 1. Nombres complexes

Application : linŽarisation de sinus et cosinus

Exemple : Linéarisation de et de

RƒSOLUTION DANS

DES ƒQUATIONS DU SECOND DEGRƒ

Ë COEFFICIENTS DANS

1. ƒquation

z 2 a Si , l'équation admet la solution " double » .

Soit avec . On cherche

z sous forme trigonométrique :

On a :

D'où les solutions et

soit . Ces nombres et sont les racines carrées complexes de a , elles sont opposées.

Exemple :

Résoudre l'équation .

On a . D'autre part, si , on a et

, donc la mesure principale de q est dans l'intervalle et donc est tel que .

D'où les deux solutions :

et .cos 3 sin 3 cos 3 e j e j Ð +

2 -----------------------

3 1

8 --- e

3j 3e j 3e j Ð e 3 Ð j ++ + 1

4 --- 3 cos 3 cos + == =

sin 3 e j e j Ð Ð

2j -----------------------

3

1 Ð

8j ------- e

3j 3e j 3e j Ð e 3 Ð j Ð++ 1

4 --- 3sin Ð 3 sin + . == =

3 a0=z 2 0=z0= a e j =a0 zre jx z 2 ar 2 e 2jx e j r 2 2x 2k+=r car r 0 = x 2 k z 1 e j 2 z 2 e j 2 z 2 e j 2 --- e j e j 2 --- Ð zquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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