[PDF] MATHÉMATIQUES Rappels de cours. Fiches de

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Rappels de cours

Fiches de synthèse

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intégralement corrigés

Pierre Burg

L1LES

FONDAMENTAUX

MATHÉMATIQUES

Professeur agrégé hors classe,

Pierre Burg

enseigne en lycée dans les sections scienti�ques et en section de technicien supérieur. Il intervient au CNED dans la préparation à l'agrégation interne.

MATHÉMATIQUES

LES

FONDAMENTAUX

L1 Dans la même collection, pour le même public

C������ C. & S������ A., Physique. Les fondamentaux en L1, 272 pages

B����� C., Chimie. Les fondamentaux en L1, 224 pages

B���� G., B���� J.-F. & B����� V., Biologie. Les fondamentaux en L1, 304 pages

Maquette et mise en page de l'intérieur∑: Hervé Soulard/Nexeme Maquette et mise en page de la couverture : Primo&Primo

Dépôt légal :

Bibliothèque royale de Belgique : 2020/13647/093

Bibliothèque nationale, Paris : juin 2020

ISBN : 978-2-8073-2760-3

Tous droits réservés pour tous pays.

Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l'éditeur, de reproduire (notamment par photocopie)

partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme ou de quelque manière que ce soit. © De Boeck Supérieur SA, 2020 - Rue du Bosquet 7, B1348 Louvain-la-Neuve De Boeck Supérieur - 5 allée de la 2e DB, 75015 Paris Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com

4PNNBJSF

1#b# !#% "b# % (c c%#

C C ni`eme %&)b !#% "*$ �7 f exp y0=ay+b ln ln

5# $b !#% "#%c%"& 1# %c

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�-�F�T �O�P�N�C�S�F�T �D�P�N�Q�M�F�Y�F�T

�����-�F �T�Z�N�C�P�M�F X

FU SBJTPOOFNFOUT

-FT OPNCSFT DPNQMFYFT

0O QPTFz=

AE

2+p2+i

AE

2p22p22ip2

2+2p2+i(2p2)2p2+2ip2

J FU # MF QPJOU EhBYF J -hFOTFNCMF EFT QPJOUT . EhBYFzUFM RVFjz1ij= jz1+ijFTU

MF NJMJFV EV TFHNFOU <"#>

MB ESPJUF "#

MF DFSDMF EF EJBNÒUSF <"#>

4PJU"

EhBYFT SFTQFDUJWFTzA

zB zCUFMMFT RVFzA=zCzBBMPST PO B " FTU MF NJMJFV EF <#$> zi z+i2iR zi z+i2R

Re[(zi)(z+i)] =0

z1 z+i2iR

0O DPOTJEÒSF MF OPNCSF DPNQMFYFz=1tan2+2itanPá2

i 4; 0 h

Re(z)>0

jzj=1+tan2

Arg(z) =+2k,k2Z

Im(z) = (1+tan2)sin2

z3+6z2+12z+9=0BENFU EBOTC

USPJT TPMVUJPOTz1,z2FUz3

UFMMFT RVFIm(z1) =0,Im(z2)>0,Im(z3)<0FU PO OPUFM1,M2,M3MFT JNBHFT

EF DFT DPNQMFYFT 0 FTU MF QPJOU EhBYF OVMMF

3FTU TPMVUJPO EF &

-hJTPCBSZDFOUSF EFM1,M2,M3FTU

MF QPJOU EhBYF

M1M2M3FTUVOUSJBOHMFSFDUBOHMFM1M2M3FTU VO USJBOHMF JTPDÒMF -FT OPNCSFT DPNQMFYFT

�$�B�M�D�V�M�T �B�W�F�D �M�F�T �O�P�N�C�S�F�T �D�P�N�Q�M�F�Y�F�T

z=a+ibab i i2=1 a z a=Re(z)b b=Im(z) $BMDVM z1= (1+i)(12i) =12i+i2i2=3i i2=1 z2=414i

22i=27i

1i=(27i)(1+i)

j1ij2=9 25
2i z3=1 2+i1 3i=1 103
10i z=a+ibz0=a0+ib0 (z=z0),(a=a0b=b0) M(z) M?(z) u v O z=a+ib z=aib z=z z2CRe(z) =z+z

2Im(z) =zz

2i (z1,z2)2C2 z2C z1+z2=z1+z2z1.z2=z1.z2 z =1 z (z2R),(z=z);(z2iR),(z=z) .PEVMF M(z) u v Ox y z jzj= p zz= p a2+b2 jzj z=0 jzj=jzj (z1,z2)2C2jz1z2j=jz1jjz2j z2C n2Njznj=jzjn n2Z z6=0 M(z)M0(z0) MM0=jz0zj M(z) u v Oa b

P (O;#"u,#"v)

z=a+ib(a,b)M zz M(z)

A(zA)B(zB) C# "OC=# "AB zBzA

# "AB (O,#"u) (O,#"v)

BEEJUJPOC

u v O M(z)

M?(z?)

S(z+z?)

k M(z)

M0(z0)z0=kz# "OM0=k# "OM

u v O M(z)

M?(kz)

-FT OPNCSFT DPNQMFYFT

NVMUJQMJDBUJPO QBSi

2 z0=izM0(z0)

M(z) 2 u v Oa b b a M(z) M(z) �-�BDPOKVHBJTPO M(z) M?(z) u v O &YFNQMF C z2+z1=0 z=x+iy x,y (x+iy)2+(xiy)1=0. R2

¨x2y2+x1=0

y(2x1) =0 y=0 x2+x1 x=1p5 2 x=1

2 y

z2+z1=0 C &YFNQMF # "AB# "AC ba ca2R ba ca=ba ca # "AB# "AC ba ca2iR ba ca+ ba ca=0 z2=z0 z0=a+ib,(a,b)2R2z=x+iy,(x,y)2R2 (x+iy)2=a+ib, 8>< x2y2=a x2+y2= p a2+b2

2x y=b

8>>>><

x2=a+pa2+b2 2 y2=a+pa2+b2 2

2x y=b

C &YFNQMF z2=1+i2p2 8>< x2y2=1 x2+y2=3

2x y=2p2 x y

8>< x2=2 y2=1

2x y=2p2

z1=p2+iz2=z1 z1=b+

2az2=b

2a ∆=b24ac

4PNNF QSPEVJUS=z1+z2=b

aP=z1z2=c a 'BDUPSJTBUJPO z2Caz2+bz+c=a(zz1)(zz2) -FT OPNCSFT DPNQMFYFT &YFNQMF z2(3+4i)z1+5i=0 z2C ∆=3+4i2= (x+iy)2=∆ 8>< x2y2=3 x y=2 x2+y2=5 =(1+2i) z1=2+3iz2=1+i

�'�B�D�U�P�S�J�T�B�U�J�P�O �E�F�T �1�P�M�Z�O�Ù�N�F�T �E�B�O�TC

P() =0 P(z) = (z)Q(z)Q n1

P &YFNQMF �0�O �B ��znn= (z)zn1+zn2++n2z+n1

P(z) =z3+(8+i)z2+(178i)z+17i.

P z=ibb2R P(ib) =0 ib3+8b2ib2+

17bi+8b+17i=0

b ¨8b2+8b=0 b3b2+17b+17=0 b=1 b=0 P(i) =0 P(z) =P(z)P(i) z0=i z2C

P(z) =z3z3

0 +(8+i)z2z2 0 +(178i)(zz0) = (zz0)(z2+z0z+z2

0)+(8+i)(zz0)(z+z0)+(178i)(zz0)

= (zz0)z2iz1+(8+i)z+8i+1+178i = (z+i)(z28z+18)

�&�Y�Q�P�O�F�O�U�J�F�M�M�F �E�h�V�O �D�P�N�Q�M�F�Y�F

isin) =rei cos=apa2+b2sin=bpa2+b2 r=jzj=arg(z) =#"u,# "OMmod 2 ei

1SPEVJU (,0)eiei0=ei(+0)

'PSNVMF EF .PJWSF 2Rn2Z ein=ein(cos+isin)n=cos(n)+isin(n). 'PSNVMF E&VMFS 2R cos=ei+ei

2sin=eiei

2i. 4PNNF ei+ei0=ei+0 2 ei0

2+ei+0

2 =2cos 2 ei+0 2. z=z0,jzj=jz0jet arg(z) =arg(z0)mod 2. pourz2C,z2R,arg(z) =0 mod,z2iR,arg(z) = 2mod. &YFNQMF z 1z3=1 z=ei e3i=e0i 3=2k,k2Z =2k

3 1=0,2=2

33=2
3 z1=1z2=ei23=1 2+i p3

2z3=ei23=z2

ei23 j jj2=j -FT OPNCSFT DPNQMFYFT npr n+k2 nkZ zn=Z n npr

P (O;#"u,#"v)

M1(z1)M2(z2)

k# "M1M2k=jz2z1jet#"u,# "M1M2 =arg(z2z1)mod 2.

M1(z1),M2(z2),M3(z3),M4(z4) M16=M2M36=M4

# "M1M2,# "M3M4 =arg z2z1 mod 2. M1(z1),M2(z2),M3(z3) z3z1 z2z12R z7!az+ba2R �o�T�Ja=1 b �o�T�Ja6=1 a Ω ! !=a!+b z7!az+ba2Cjaj=1 �o�T�Ja=1 b �o�T�Ja6=1 =arg(a) Ω ! !=a!+b nX k=0 eikx n n¾2 n z7!az+ba2R a2Cjaj=1z7!z (AB)(CD) x z=tanx+i(12cos2x) jzij=jz+ij z -FT OPNCSFT DPNQMFYFT ����z2=7+24i ����z22(2+i)z+6+8i=0 ����iz2+(4i3)z+i5=0 a0a1...ann+1 p Cp(z) =a0+ a1z++anzn p(z) =0p(z) =0 z Z=z2(9+2i)z+26

E M(z) Z

z=x+iy ����jzj+z=3+4i ����z2+z1=0

P(z) =z3+(6i5)z+12+18i P P

ab reir>0 ����sinaicosa ����1+eia ����1+itana

1itanaa6=

2+k,k2Z

[(1i)z]3+i=0 nX k=0 cos(kx)0�����M���B�S�H�V�N�F�O�U �E�FZ

2,(mod 2)

j=e 2i

3 1+j+j2

a,b,c a+jb+jc=0j=e 2i 3 z2Rcos2x=1 2x=

6+k,k2Zz2iRx=k,k2Z

M(z),A(i)B(i)

M(z=a+ib)M0(z0=a0+ib0)Nz0 Re(zz0) =aa0bb0Im(zz0) = ab0+a0b zz02R # "OM# "ON zz02iR # "OM# "ON -FT OPNCSFT DPNQMFYFT z=a+ib,a,b 8>< a2b2=7 a2+b2=25 ab=12

3+4i34i

����∆=4(34i) =2(12i)z1= (3i)z2=1+3i ����∆=34i z1=3iz2=1+2i p(z) = nX k=0 akz= nX k=0 akzak=ak nX k=0 akzz+z0=z+z0=p(z) =0=0. z=x+iy,x,yZIm(Z) =02x y+9y+2x=0

M y=2x

2x+9 y=4 y=4. z=7 6+4i (2x1)y=0 x=1 2y=0 z=1i

2z=1p5

x

Rx35x+12=06x+18=0

=3 P(z) =P(z)P() a3b3= (ab)(a2+ab+b2)

P(z) = (z33)+(6i5)(z)

= (z)(z2+z+2+6i5) = (z+3)(z23z+4+6i) = (z+3)(z2i)(z3+2i). sinaicosa=cos a 2 +isin a 2 =ei(a 2) ����1+eia=eia 2eia 2+eia

2=2cosa

2eia 2 ����1+itana

1itana=cosa+isina

cosaisina=eia eia=e2ia i=ei

2 Z= (1iz) =rei r3e3i=ei

2

2 Rr3=1 r=13=

2+2k,k2Z

6+2k

3 (1i)z=ei

6+2ki

3 1i=p2ei

4 Z=ei 6+2ki 3p2ei 4= p2 2ei

12+2ki

3 nX k=0 cos(kx) =Re

‚nX

k=0 eikx .x2 i 0 ; 2 i eix6=1 nX k=0 eikx=ei(n+1)x1quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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