[PDF] I Fonctions et domaines de définition II Limites

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Université du Québec à Montréal Session d"automne 2011

Groupe-cours 51 MAT1112 - Calcul I

VivienRipoll

Résumé des cours 1 et 2 (9 et 12 septembre)N.B. : ce document est un résumé succinct de ce que nous avons fait en cours; il peut contenir

des remarques supplémentaires. Il est à considérer comme un complément du cours, et sa lecture

ne dispense évidemment pas l"étudiant de relire attentivement ses notes personnelles du cours

ainsi que le recueil de notes de Robert Bédard. Ce recueil est désigné par la suite "[RB]».

* Distribution du plan de cours et d"une feuille d"exercices supplémentaires sur le chapitre 1. * Présentation du cours et du plan de cours. Présentation de l"évaluation prévue. * Chapitre 1 : Rappels sur le calcul différentiel à une variable.

I Fonctions et domaines de définition

Définition d"une fonction, domaines de définition, opérations sur les fonctions... Voir[RB].

Quelques exemples donnés :

Domaine de définition de

f(x) =1px

2+ 2x3

Il s"agit d"étudier le signe d"un polynôme du second degré...

On obtientD=] 1;3[[]1;+1[.

Composition des fonctions :

f(x) = sin(x+ 4) ;g(x) =x32:

On obtient :

fog(x) =f(g(x)) = sin(g(x) + 4) = sin((x32) + 4) = sin(x3+ 2); et gof(x) =g(f(x)) =f(x)32 = sin3(x+ 4)2.

Réciproque def(x) =e2x+3:

y=f(x),y=e2x+3,ln(y) =2x+ 3,x=3ln(y)2

Donc la réciproque estg(y) =3ln(y)2

(poury >0). On peut vérifier quegof(x) =xet fog(y) =y.

II Limites

La définition précise n"est pas exigible des étudiants. Je la donne ici pour ceux qui seraient

intéressés; c"est plus compréhensible avec les dessins d"" intervalles autour d"un point » donnés

vendredi. (aetLdésignent des nombres réels) 1 limx!af(x) =Lsignifie : Pour tout" >0(" Pour tout intervalle autour deL, aussi petit soit-il, par ex. de taille2"») il existe >0(" on peut trouver un petit intervalle autour dea») tel que sijxaj (" tel que sixest dans ce petit intervalle[a;a+]») alorsjf(x)Lj ".(" alorsf(x)est dans l"intervalle[L";L+"]. ») limx!+1f(x) =Lsignifie : Pour tout" >0(" Pour tout intervalle autour deL, aussi petit soit-il, par ex. de taille2"») il existeM2R tel que sixM(" dès quexest assez grand ») alorsjf(x)Lj ".(" alorsf(x)est dans l"intervalle[L";L+"]. ») Remarque :dans ce cas, la courbe defa une asymptote horizontale d"équationy=L. limx!af(x) = +1signifie : Pour toutK2R(" Pour tout nombre réelK, aussi grand soit-il ») il existe >0(" on peut trouver un petit intervalle autour dea») tel que sijxaj (" tel que sixest dans ce petit intervalle[a;a+]») alorsf(x)K.(" alorsf(x)est au-dessus de ce nombreK. ») Remarque :dans ce cas, la courbe defa une asymptote verticale d"équationx=a. limx!+1f(x) = +1signifie : Pour toutK2R(" Pour tout nombre réelK, aussi grand soit-il ») il existeM2R tel que sixM(" dès quexest assez grand ») alorsf(x)K.(" alorsf(x)est au-dessus de ce nombreK. ») Remarque :la limite n"existe pas toujours. Par exemple : soitf(x) =1six <0,f(x) = 1six0. Il n"y a pas de limite en0(la limite à gauche est1, à droite c"est1, donc pas de limite globale. soitg(x) = sin(1x )pourx6= 0. A-t-elle une limite pourx!0?

Opérations sur les limites :

Voir[RB], Prop.1.1. En résumé, on peut ajouter, multiplier, quotienter les limites, tant que l"opération formée a un sens. Se rappeler comment fonctionnent les opérations sur les limites avec1. Pour les produits et

quotients, tout a du sens, sauf ces quelques formes indéterminées (où on ne peut pas conclure en

général et on doit regarder au cas par cas) : 0 1; 0=0; 1=1. Remarque :0=1n"est pas une forme indéterminée (donne0);1=0non plus (donne1).

Limites des fonctions classiques :

Il faut savoir calculer une limite en1d"une fraction rationnelle (quotient de 2 polynômes). Il faut aussi connaître au moins les limites suivantes : 2 limx!1ex= 0;limx!+1ex= +1. limx!0+ln(x) =1;limx!+1ln(x) = +1.

Dans des cas plus compliqués, il peut être utile de connaître les règles générales suivantes

1: Sif(x)est une exponentielle(ou=) un polynôme, et si le calcul de la limite en+1 (ou1) donne une forme indéterminée, alors c"est la limite de l"exponentielle qui l"em- porte.

Ex. :limx!+1ex(x1000+ 7x2+ 3) = 0.

lim x!1ex(x32x+ 1) = 0. Sif(x)est un logarithme(ou=) un polynôme, et si le calcul de la limite en+1(ou en

0) donne une forme indéterminée, alors c"est la limite du polynôme qui l"emporte (valable

aussi en remplaçant le polynôme par n"importe quelle puissance, par exemplepx).

Ex. :limx!+1x2=ln(x) = +1.

lim x!03pxln(x) = 0.

Autres limites utiles

2: limx!0sin(x)x = 1 limx!0cos(x)1x = 0 limx!0ln(1+x)x = 1

III Dérivées

Taux d"accroissement, définition de la dérivée, interprétation graphique... voir[RB]. Notations : on notef0(a)pour la dérivée defena. Autres notations :dfdx (a), ou encore_f(a).

Equation de la tangente

Sifest dérivable ena, l"équation de la tangente enaà la courbe représentative defest : y=f0(a)(xa) +f(a):

Exemples de fonctions non dérivables :

f(x) =pxn"est pas dérivable en0(mais on a une tangente horizontale en0). f(x) =jxjn"est pas dérivable en0(pas de tangente du tout). Opérations sur les dérivées, dérivées de fonctions usuelles... cf.[RB]. Exemple de calcul : dérivée detan(x) =sin(x)cos(x). On obtient (tan(x))0=1cos

2(x)= 1 + tan2(x):1. Ceci n"est pas exigible pour ce cours, mais est très utile pour les calculs de limite en général.

2. pas exigibles à ce point du cours

3

IV Continuité

N.B. : cette partie n"est pas dans le chapitre 1 de[RB]. On peut tout de même se référer au tout début du chapitre 3. f:D!Rune fonction. Soita2D. On dit quefest continue enasilimx!af(x) =f(a). On dit quefest continue surDsifest continue en tout point deD.

La continuité signifie que sur chaque intervalle de l"ensemble de définition, "" on peut tracer

la courbe defsans lever le crayon ». Proposition.Sifest dérivable ena, alorsfest continue ena.

Exercice facultatif : le prouver en utilisant les définitions de continuité et dérivabilité.

Remarque :La réciproque est fausse. Par exemple, la fonctionf(x) =jxjest continue en0 mais pas dérivable en0.

Théorème des valeurs intermédiaires :

Soitf:D!R. On suppose quefestcontinue.

Soienta < btels que l"intervalle[a;b]soit inclus dansD. Sif(a)<0etf(b)>0, alors il existec2]a;b[tel quef(c) = 0. Variante :f:D!Rcontinue,a < btels que l"intervalle[a;b]soit inclus dansD. Soit2R. Sif(a)< etf(b)> , alors il existec2]a;b[tel quef(c) =.

Ce théorème permet de déduire des propriétés importantes d"une fonction en utilisant son

tableau de variations, voir partie suivante.

V Applications

Soitf:D!Rune fonction dérivable surD.

Signe def0et variations def

Sif0(x) = 0sur un intervalleIinclus dansD, alorsfest constante surI. Sif0(x)0sur un intervalleIinclus dansD, alorsfest croissante surI. Sif0(x)0sur un intervalleIinclus dansD, alorsfest décroissante surI.

Une fois qu"on a calculéf0et étudié son signe, ceci permet d"établir le tableau de variations

def. Quand c"est possible, on y ajoute les valeurs defaux points importants, ainsi que les limites aux bornes deD. Le tableau de variations permet d"avoir une première approche de la courbe représentative de

f. Il permet aussi, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, de donner des informations

sur les solutions d"une équation de la forme f(x) = (pour undonné).

Ceci s"explique mieux à l"aide d"un exemple :

4

Exercice (?)

Étude de

f(x) =e1xx

2+x+ 1

(a) Donner le domaine de définition def. (b) Calculer la dérivée def. (c) Etudier le signe def0 (d) Calculer les limites defen+1et1. (e) Établir le tableau de variations def. (f) Tracer sommairement la courbe représentative def. (on donnee3=36;7ete27;4)

(g) En se référant au tableau de variations, montrer que l"équationf(x) = 7a3solutions : une

dans] 1;2[, une dans]2;1[, et une dans]1;+1[. (h) Selon la valeur de, donner le nombre de solutions de l"équationf(x) =.

À faire

(à préparer pour la séance d"exercices) :

Exos 1.1 et 1.2 de[RB], p.5

Exo 3 de la feuille supplémentaire

Exo (?) ci-dessus

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VivienRipoll

Résumé des cours 3 et 4 (16 et 19 septembre)N.B. : ce document est un résumé succinct de ce que nous avons fait en cours; il peut contenir

des remarques supplémentaires. Il est à considérer comme un complément du cours, et sa lecture

ne dispense évidemment pas l"étudiant de relire attentivement ses notes personnelles du cours

ainsi que le recueil de notes de Robert Bédard. Ce recueil est désigné par la suite "[RB]».

Chapitre 2 : Fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles J"ai suivi à peu près[RB], avec différents exemples.

I Définition et représentations graphiques

I.1 Définitions et domaine

Exemples donnés :

f(x1;x2;x3;x4) =x1+x22x3x 4.

Domaine :D=RRRRoùRdésigneRnf0g.

f(x;y;z) =1px

2+y2+z2.

Domaine :D=R3nf(0;0;0)g.

Rq :f(x;y;z)représente l"inverse de la distance du point(x;y;z)à l"origine. en économie, concept d"utilité : pour un panier de biensx1;:::;xn(i.e., quantitéx1du bien1, ...), on définitf(x1;:::;xn) =

l"" utilité »de ce panier=un nombre réel positif qui modélise l"utilité que l"on retire de

la possession du panier. Le domaine est appelé " espace des biens ». Voir Wikipédia -

Fonction d"utilité.

I.2 Représentation graphique

Graphe d"une fonction de2variables. Courbes de niveau. Exemple def(x;y) =x2+y2. Forme de paraboloïde. Les courbes de niveau sont des cercles.

Voir[RB]pour deux autres exemples.

II Dérivées partielles

Exemple donné :

f(x;y) = 3yx2+ sin(x2y) + 2x3y+ 2.

Calcul de

@f@x ;@f@y ;@2f@x

2;@2f@y@x

;@2f@x@y ;@2f@y 2. Remarque sur l"égalité des dérivées croisées.

Autre exemple :

1 f(x;y) =2x2y+ cos(xy2) +exy3. On obtient : @f@x =4xyy2sin(xy2) +y3exy3 @f@y =2x22yxsin(xy2) + 3y2xexy3 2f@x

2=4yy4cos(xy2) +y6exy3

2f@y@x

=4x2ysin(xy2)2y3xcos(xy2) + 3y2(1 +y3x)exy3

2f@x@y

=4x2ysin(xy2)2y3xcos(xy2) + 3y2(1 +y3x)exy3 2f@y

2=2xsin(xy2)4x2y2cos(xy2) + 3yx(2 + 3y3x)exy3

Encore une fois, on remarque que les deux dérivées croisées sont égales. Ceci est générale

pour les fonctions " assez régulières », comme on le verra dans le chapitre 5. III Interprétation géométrique des dérivées partielles voir dessins du cours et de[RB].

IV Cas de plus de 2 variables

Définitions...

Exemple :f(x;y;z) =x2yz+ 3exy2z. Calculer les 3 dérivées partielles.

Cas général denvariables. Définition...

Exemple :f(x1;:::;xn) =x21+x22++x2n.

Calculer

@f@x ipouri2 f1;:::;ng.

Calculer

@2f@x i@xjpouri6=jet pouri=j. V Opérations sur les fonctions de plusieurs variables

Exemple pour la composition :

f(x;y;z) =x2sin(yz). u(x;y) =x+y;v(x;y) =xy;w(x;y) =x2y2. Composition :g(x;y) =f(u(x;y);v(x;y);w(x;y)). On obtient g(x;y) = (x+y)2sin(xyx2+y2):

Chapitre 3 : Continuité

VI Limites

Définition. Voir dessin du cours, et de[RB].

Exemple :

a)lim(x;y)!(0;0)(x2+y2) = 0. b) Soitf(x;y) =x2y2x

4+y4si(x;y)6= (0;0), avecf(0;0) = 0.

Le long du cheminy= 0, on af(x;y) =f(x;0) = 0qui tend vers0lorsquextend vers0. Mais le long du cheminy=x, on af(x;y) =f(x;x) =x2x2x

4+x4=12

, qui tend vers12 lorsquex tend vers0. Doncfn"a pas de limite en(0;0).

VII Continuité

Définitions. Voir cours et[RB].

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VivienRipoll

Résumé des cours 5 et 6 (23 et 26 septembre)N.B. : ce document est un résumé succinct de ce que nous avons fait en cours; il peut contenir

des remarques supplémentaires. Il est à considérer comme un complément du cours, et sa lecture

ne dispense évidemment pas l"étudiant de relire attentivement ses notes personnelles du cours

ainsi que le recueil de notes de Robert Bédard. Ce recueil est désigné par la suite "[RB]».

Suite du Chapitre 2 : Continuité

Opérations sur les fonctions continues

(voir Prop. 3.1. de[RB]). La plupart des fonctions que l"on verra dans ce cours sont continues sur leur ensemble de

définition, car elles sont construites par une suite d"opérations et de compositions à partir de

fonctions usuelles continues. Exemples :f(x;y) = exp(cos(3xy+ 4)2y)est continue surR2. g(x;y) = ln(1+xy)est continue sur son domaine de définitionD=f(x;y)2R2; xy >1g.

Mais des problèmes de continuité peuvent se poser lorsque la fonction est défini "par morceaux» (on

dit aussi " par parties »). Par exemple lorsquefest donnée par une formule pour(x;y)6= (0;0), etf(0;0)est donnée à part. Voir l"exemple plus bas. Continuité pour les fonctions à plus de 2 variables Les définitions et propriétés sont analogues au cas de 2 variables, voir[RB]p.19. Méthode pour étudier la continuité d"une fonction définie par morceaux Soitf(x;y)une fonction de 2 variables. On suppose par exemple quefest donnée par une formule pour(x;y)6= (0;0), et quef(0;0)est donnée à part. On se demande sifest continue. Nous allons présenter une méthode générale et l"appliquer sur 2 exemples : g(x;y) =2x23y2x

2+y2si(x;y)6= (0;0) ;g(0;0) = 0:

h(x;y) =2x3+ 3y3x

2+y2si(x;y)6= (0;0) ;h(0;0) = 0:

(1)Aux points oùfest définie par des opérations sur les fonctions usuelles (vérifier d"abord le

domaine de définition), on peut affirmer quefest continue.Ainsi, dans les exemples,geth sont continues surR2nf(0;0)g, parce surR2nf(0;0)gelles sont définies par opérations sur des fonctions continues. 1 Pour étudier la continuité en(0;0), il faut voir si on a lim (x;y)!(0;0)f(x;y) =f(0;0): Dans certains cas, la limite est facile à calculer, et on peut conclure rapidement. Ce n"est souvent pas possible directement, par exemple pour les fonctionsgeth, la limite en(0;0) n"est pas facilement calculable. Dans ce cas il faut soit trouver une façon de montrer qu"il

n"y a pas continuité, soit trouver une façon de montrer qu"il y a continuité. C"est l"objet des

points 2 et 3 ci-dessous. (2)Pour montrer quefn"est pas continue en(0;0), il suffit de trouver une chemin (c"est-à-dire une courbe simple) passant par(0;0)et tel que la limite def(x;y)lorsque(x;y)tend vers (0;0)le long de ce cheminest différente def(0;0). Par exemple, pour la fonctiong: sur le cheminy= 0, on a, pour toutx6= 0: g(x;y) =g(x;0) =2x2x 2=12 qui tend vers12 lorsquextend vers0: Org(0;0) = 0, donc la limite deg(x;y)pour(x;y)tendant vers(0;0)le long du chemin y= 0est différente deg(0;0). Ceci prouve quegn"est pas continue en(0;0). Remarque : on aurait pu prendre un autre chemin : par exemple le cheminx= 0(la limite aurait été3), ou encore le cheminy=x(la limite est alors1=2)... Mais, pour pouvoir conclure quegn"est pas continue en(0;0), il suffit d"en trouverun seultel que la limite n"est pas celle attendue. En pratique, dans les exercices, sifn"est pas continue en(0;0)il va suffire de tester quelques chemins simples pour le prouver : x= 0 ;y= 0 ;x=y;x=y;y=x2;x=y2::: Si on ne trouve pas de tels chemins (essayez les chemins ci-dessus pourhpar exemple), on se doute quefdoit être continue en(0;0), mais il va falloir le prouver. (3) Pour prouver quefest continue en(0;0), le plus simple est souvent de majorer jf(x;y)f(0;0)jpar une fonction dont on sait qu"elle tend vers0pour(x;y)!(0;0). Ceci

impliquera alors quelim(x;y)!(0;0)f(x;y) =f(0;0)en utilisant la propriété générale suivante :

Proposition 1.Soitu(x;y)etv(x;y)deux fonctions définies sur un domaineD, et(a;b)2D.

On suppose que

ju(x;y)j v(x;y)pour tout(x;y)assez proche de(a;b); et quelim(x;y)!(a;b)v(x;y) = 0.

Alors :lim(x;y)!(a;b)u(x;y) = 0.

La partie difficile est souvent de trouver la bonne majoration. Exemple pour la fonctionh: on ah(0;0) = 0, donc on veut majorerjh(x;y)jpar une fonction plus simple dont on sait qu"elle tend vers0en(0;0). On a : jh(x;y)j=2x3+ 3y3x 2+y2

2jx3jx

2+y2+3jy3jx

2+y2()

en utilisantl"inégalité triangulaire(ja+bj jaj+jbj). 2

Ensuite, notons quex2+y2x2, donc2jx3jx

2+y22jx3jx

2= 2jxj.

De même,x2+y2y2donc3jy3jx

2+y23jy3jy

2= 3jyj.

En revenant à l"inégalité (*), on obtient : jh(x;y)j 2jxj+ 3jyj: Définissons la fonction de deux variablev(x;y) = 2jxj+ 3jyj. Par opérations sur les limites, on a :lim(x;y)!(0;0)v(x;y) = lim(x;y)!(0;0)2jxj+ lim(x;y)!(0;0)3jyj = lim x!02jxj+ limy!03jyj = 0 + 0 = 0: Donc en utilisant la Proposition ci-dessus, on en déduit quelim(x;y)!(0;0)h(x;y) = 0, donc lim (x;y)!(0;0)h(x;y) =h(0;0). Conclusion :hest continue en(0;0). De nombreux autres exemples pour vous entraîner sont dans les exercices 1 à 5 de[RB]. Chapitre 4 : Approximation linéaire, gradient et dérivées direc- tionnelles I Compléments sur les fonctions à une variable

I.1 Approximation linéaire

Voir page 21 de[RB].

exemple traité : donner une estimation numérique dep1:005.

On posef(x) =px,a= 1,h= 0:005.

L"approximation linéaire nous dit :f(a+h)'f(a) +f0(a)h.

Ici on a :f0(x) =12

px . Donc on obtient : p1:005'p1 + 12 p1 0:005 '1:0025: Autre exemple : estimersin(46deg)à partir dep2et. Remarque : AppelonsTala fonction affine dont le graphe est la tangente de la courbe def au pointa. L"approximation linéaire nous dit exactement : sixest proche dea, alorsf(x)est

à peu près égal àTa(x). Et on se souvient qu"au premier chapitre on a montré que :Ta(x) =

f(a) +f0(a)(xa). L"approximation linéaire, c"est approcher la courbe defau voisinage deapar sa tangente ena.

I.2 Théorème des accroissements finis

C"est le théorème 4.1. de[RB], qui y est appelé (par erreur) théorème de la valeur intermé-

diaire. Interprétation graphique en utilisant une corde et une tangente. 3

Ce thèorème est fondamental en analyse des fonctions à une variable, et il sera utile dans ce

cours pour démontrer d"autres théorèmes sur les fonctions à plusieurs variables : l"idée est qu"il

permet de contrôler la valeur d"une différence de la forme(f(x)f(y))à partir d"informations sur la dérivée def. Note : Cas particulier (connu sous le nom de " Théorème de Rolle ») : f(x)fonction d"une variable réelle, continue sur[a;b], dérivable (au moins) sur]a;b[. On supposef(a) =f(b).

Alors il existec2]a;b[, tel quef0(c) = 0.

Interprétation graphique...

Rq : essayer de trouver des exemples qui montre que l"hypothèse de continuité est nécessaire

dans ce théorème. De même avec l"hypothèse de dérivabilité. II Approximation linéaire pour les fonctions à plusieurs variables II.1 Théorème d"approximation linéaire pour les fonctions à deux variables Enoncé et explication du Théorème 4.2. de[RB].

Ecriture imagée :

"z'@f@x (a;b)x+@f@y (a;b)y":

II.2 Application : estimation numérique

Soitf(x;y) =3px

2+ 2y3+ 2. On veut estimer la valeur def(2:01;1:04).

On pose(a;b) = (2;1),(h;k) = (0:01;0:04). Le théorème nous dit : f(a+h;b+k) =f(a;b) +@f@x (a;b)h+@f@y (a;b)k:

On calculef(2;1) = 2, et

@f@x =2x3( 3px

2+ 2y3+ 2)2et@f@y

=2y2( 3px

2+ 2y3+ 2)2

donc @f@x (2;1)=13 et@f@y (2;1)=12 . On obtient : f(2:01;1:04)'2 +13

0:1 +12

0:4 '2:233:

II.3 Plan tangent

Il représente géométriquement l"approximation linéaire.L"approximation linéaire pour une

fonction à deux variables, c"est approcher le graphe defau voisinage d"un point(a;b)par son plan tangent en(a;b).

Voir[RB], bas de la p.23, pour l"équation du plan tangent (à connaître). Voir la figure 4.3.

II.4 Approximation pour les fonctions à plus de 2 variables

Les théorèmes sont analogues au cas de 2 variables. Voir Théorèmes 4.2" et 4.2." dans[RB].

4

III Gradient et dérivées directionnalles

III.1 Dérivées directionnelles

Définition d"une direction, et d"une dérivée directionnelle. Interprétation géométrique.

Voir[RB], bas de la p.25, et figure 4.4.

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