4. Fonctions usuelles
Généralités sur les fonctions. 1. 4.1.1 Ensemble de définition. 4.1.2 Courbe représentative. 4.1.3 Composée de fonctions. 4.1.4 Parité. 4.1.5 Monotonie.
domaine de définition Exercice 3
La composée de deux fonctions impaires est une fonction impaire. 4. Soient E une partie de R et f : E ! R une fonction impaire sur le domaine D. Alors.
Généralités sur les fonctions - Lycée dAdultes
26 nov. 2010 6 Composée de deux fonction ... 6.3 Variation d'une fonction composée . ... Définition 2 : L'ensemble définition d'une fonction f est ...
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Première S2 Chapitre 4 : fonctions composées. Page n ° 1 2007 2008
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Fonction logarithme népérien
Le domaine de définition de la fonction logarithme est D =]0;+?[. fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction composée.
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Intégrales de fonctions de plusieurs variables
un intervalle contenu d'ans l'ensemble de définition de f. mais ça se gâte pour le produit pour le quotient et la composée de deux fonctions :.
I Fonctions et domaines de définition II Limites
Définition d'une fonction domaines de définition
ensemble de définition dune composée de fonctions - Homeomath
Soit f et g deux fonctions définies respectivement sur les ensembles de définitions : Dfet Dg L'ensemble de définition de la fonction c = f o g composée de
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Lorsqu'on a deux fonctions f et g la fonction g o f (lire ”g rond f”) est la fonction définie par g o f(x) = g[f(x)] Exemple : On prend : f(x) = x + 3 g(x) =
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14 sept 2017 · Domaine de définition et composée Non commutativité Reconnaissance de forme Dérivée d'une composée À venir Chapitre 1 : Fonctions
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La composition de fonctions
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[PDF] Première S2 Chapitre 4 : fonctions composées Page n ° 1 2007 2008
Une fois que le test est réussi il est nécessaire d'établir le schéma donnant les ensembles de définition respectifs des fonctions considérées
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Etudier les variations d'une fonction c'est partager son ensemble de définition en intervalles tels que sur chacun d'eux la fonction soit monotone Exemples
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Composées de fonctions I/ Définition Définition Soit u une fonction définie sur un intervalle I Soit v une fonction définie sur un intervalle J
Domaine de définition de la composée de deux fonctions - YouTube
28 nov 2021 · Interpréter quelques expressions utiles pour déterminer le domaine de définition Expliquer à Durée : 8:18Postée : 28 nov 2021
Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction composée ?
Domaine d'une fonction composée. Pour déterminer le domaine de la fonction composée f?g, il faut que g soit définie pour les valeurs de x qu'on lui donne, et que f soit définie pour les valeurs de g(x) qu'on lui donne.C'est quoi une fonction composée ?
La composition de fonctions est une opération consistant à remplacer la variable indépendante de la première fonction par l'expression représentant la variable dépendante de la seconde fonction. La fonction (g?f) ( g ? f ) est appelée la composée de g par f .Quel est l'ensemble de définition de la fonction ?
L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f . De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f ( x ) existe ou pour lesquels f ( x ) a un sens.- L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des éléments de son ensemble de départ qui ont une image par cette fonction. Par exemple, celui de la fonction f : x?x² est ? et celui de la fonction g : x?1/x est l'ensemble des réels privé de 0.
2007 2008
Au cours du chapitre précédent, nous avons découvert que les quatre opérations s"étendent naturellement aux
fonctions. Dans ce chapitre, nous allons définir une autre opération sur les fonctions, appelée " composition de
fonctions ". Cette opération repose sur l"idée suivante : si une grandeur z est fonction de y et si y est une fonction
de x, alors z est aussi fonction de x. En 1748, dans son premier livre consacré aux fonctions, Euler explique cette
opération, qu"il appelle le " changement de variable ".Vous l"avez déjà rencontrée en seconde lors des exercices sur les enchaînements de fonctions.
E1 Activité pour découvrir la composée de deux fonctions.Soit f la fonction définie sur ? par f ( x ) = 2x + 1 et soit g la fonction définie sur ? par g ( x ) = x3.
1. Complétons le tableau suivant :
Première étape Soit x un nombre réel
Deuxième étape L"image de x par f est
Troisième étape L"image du résultat précédent par g est On vient de faire la composée de la fonction f suivie de la fonction g cad g ( f ( x ) ).2. Complétons le tableau suivant :
Première étape Soit x un nombre réel
Deuxième étape L"image de x par g est
Troisième étape L"image du résultat précédent par f est On vient de faire la composée de la fonction g suivie de la fonction f cad f ( g ( x ) ).3. Ecrivons h comme la composée d"une fonction f suivie d"une fonction g.
a. h ( x ) = x 2 + 1 b. h ( x ) = 1 x² + 11 Composée de fonctions.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J. Soit g une fonction définie sur l"intervalle J.Alors la composée de f suivie de g est la fonction qui à tout x réel de I associe g ( f ( x ) ).
Elle est notée gof. Ne pas lire " goffe " mais lire " g rond f "... Première S2Chapitre 4 : fonctions composées.Page n ° 22007 2008
Exemple : f ( x ) = x² et g ( x ) = 3x. Ecrire l"image de x par gof. Voir feuille annexe.Remarques :
La fonction gof est obtenue en enchaînant les fonctions f et g dans cet ordre ce que l"on peut représenter par le
schéma suivant : I J ? x f ( x ) g ( f ( x )Méthode pour déterminer gof : appliquer la définition gof ( x ) = g ( f ( x ) ) en considérant f ( x ) comme une
variable puis remplacer f ( x ) par son expression algébrique. Méthode pour décomposer une fonction h sous la forme gof.Il faut essayer et tester jusqu"à ce que ça fonctionne : prendre une fonction g puis une fonction f et calculer gof
puis le comparer à h. Une fois que le test est réussi, il est nécessaire d"établir le schéma donnant les ensembles
de définition respectifs des fonctions considérées. Méthode pour déterminer le domaine de définition de gof : D gof = { x Î ? / x Î Df et f ( x ) Î Dg }.Exemple : f ( x ) = 2x - 3 et g ( x ) = x. Déterminer Dgof et ensuite l"expression gof ( x ). Voir annexe.
Soit u une fonction définie sur une partie D de ? telle que pour tout x Î D, u ( x ) ³ 0. Alors la fonction racine carrée de u est la fonction, notée u définie sur D par : ( u ) ( x ) = u ( x ) C"est la composée de la fonction u suivie de la fonction racine carrée. Soit u une fonction définie sur une partie D de ?. Alors la fonction valeur absolue de u est la fonction, notée u, définie sur D par : u ) ( x ) = )x(u = ???£-³0 ) x (u si )x(u0 ) x (u si )x(u Exemple : f ( x ) = 5x + 2 et g ( x ) = x. Déterminer gof. Voir feuille annexe. E2 Savoir déterminer des fonctions composées.P 17 n ° 36.
Première S2Chapitre 4 : fonctions composées.Page n ° 32007 2008
2 Sens de variation d"une fonction composée.
On dit qu"une fonction f est monotone sur un intervalle I si elle est croissante, décroissante ou constante sur cet
intervalle I.Soit u une fonction monotone sur un intervalle I
Soit v une fonction monotone sur un intervalle J telle que pour tout x de I, u ( x ) appartient à J.
Si u et v ont même sens de variation, alors vou est croissante sur I.Soit u une fonction monotone sur un intervalle I
Soit v une fonction monotone sur un intervalle J telle que pour tout x de I, u ( x ) appartient à J.
Si u et v ont des sens de variation contraires, alors vou est décroissante sur I.Démonstration : voir feuille annexe.
E3 Etude des variations de fonctions composées. A ) Déterminer le sens de variation de la fonction gof sur l"intervalle donné.1 ) f ( x ) = x - 3 et g ( x ) =
x sur l"intervalle [ 3 ; + ¥ [.2 ) f ( x ) = x + 3 et g ( x ) = x² sur l"intervalle [ -5 ; - 3 ].
3 ) f ( x ) = - 2x + 5 et g ( x ) = x
3 sur [ - 10 ; 10 ].
4 ) f ( x ) = 4 - x et g ( x ) = 1
x sur ] - ¥ ; 4 [B ) Déterminer le sens de variation de f sur l"intervalle donné en décomposant f en fonctions de référence.
1 ) f ( x ) =
2x + 5 sur [ -2,5 ; + ¥ [
2 ) f ( x ) = 2 - 3
x sur [ 0 ; + ¥ [3 ) f ( x ) =
1x21+- sur ] 0,5 ; + ¥ [
3 Fonctions polynômes.
Définitions :
On appelle fonction polynôme toute fonction P définie sur ? pour laquelle il existe un entier naturel n non nul
et des réels a0, a1, a2, ..., an tels que : pour tout réel x, P ( x ) = an xn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0.
L"expression a
n xn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 est appelée un polynôme de degré n. L"entier naturel n est appelé le degré du polynôme.Chaque a
i xi porte le nom de monôme de degré i. Les réels ai sont appelés les coefficients du polynôme.
Première S2Chapitre 4 : fonctions composées.Page n ° 42007 2008
Définitions
Soit P un polynôme et x
0 un réel.
On dit que x
0 est une racine réelle du polynôme P lorsque P ( x0 ) = 0.
La fonction qui à tout réel x associe la valeur 0 est appelée la fonction polynôme nul. Exemples : citons une fonction constante ; puis une fonction affine ; puis une fonction trinôme ; puis une fonction polynôme de degré 3 . Voir annexe.Théorèmes :
Tout polynôme, différent du polynôme nul, s"écrit de façon unique sous la formeP ( x ) = a
n xn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 avec an ¹ 0. Cette écriture est appelée la forme réduite du polynôme P.Soient P et Q deux polynômes non nuls.
Pour tout réel x, P ( x ) = Q ( x ) si et seulement si P et Q ont le même degré et ont leurs coefficients respectifs
des monômes de même degré égaux. E4 Savoir déterminer des coefficients de polynômes.1 ) Déterminer les coefficients a, b, et c pour que l"égalité soit vraie pour tout réel x.
( x - 2 ) ( ax² + bx + c ) = -2x3 + 3x² + 5x - 6.
2 ) f est le polynôme défini par f ( x ) = 3x
4 - 4x3 + 1.
Déterminer les réels a, b, et c tels que pour tout réel x, on ait : f ( x ) = ( x - 1 )² ( ax² + bx + c )
3 ) Déterminer les coefficients a, b, et c pour que l"égalité soit vraie pour tout réel x.
( x² - 1 ) ( ax3 + bx² + cx ) = x5 + x3 - 2x
4 Fonctions rationnelles.
Définition
Soient P et Q deux polynômes, Q étant un polynôme non nul, la fonction rationnelle est la fonction quotient P Q c"est à dire la fonction R définie pour tout réel x tel que Q ( x ) ¹ 0 par : R ( x ) = )x(Q)x(P Première S2Chapitre 4 : fonctions composées.Page n ° 52007 2008
Exemple : Soit f la fonction rationnelle définie sur ] - ¥ ; 3 [ U ] 3 ; + ¥ [ par f ( x ) =
3x5x Déterminons deux réels a et b tels que pour tout x réel différent de 3, f ( x ) = a + 3xb -. Voir feuille annexe.Méthode générale :
1 ) Ecrire l"expression que l"on veut obtenir.
2 ) La réduire au même dénominateur.
3 ) Ordonner suivant les puissances décroissantes de x.
4 ) Identifier les coefficients.
Méthode astucieuse.
1 ) Transformer le numérateur de façon à faire apparaître le dénominateur.
2 ) Séparer en deux fonctions rationnelles.
E5 Savoir déterminer des coefficients de fonctions rationnelles.P 19 n ° 58.
Déterminer les réels a et b et c pour obtenir une deuxième forme de la fonction f.1 ) f ( x ) =
4x9x2 -- = a + 4xb -avec x ¹ 4.2 ) f ( x ) =
)3x2)(1x(1+- = 1xa - + 3x2b + avec x ¹ 1 et x ¹ - 3 2 .3 ) f ( x ) =
)x2)(3x(x6x12 -++ = a x + 3xb + + 2xc - avec x ¹ 0 et x ¹ -3 et x ¹ 2.Test de compréhension du chapitre 4
1 ) Donner la définition de la composée de f suivie de g.
2 ) Donner la méthode pour déterminer g o f
3 ) Donner la méthode pour déterminer le domaine de définition de g o f
4 ) Déterminer le sens de variation de v o u
5 ) Donner la définition d"une fonction polynôme
6 ) Donner la définition d"une fonction rationnelle
7 ) Donner une méthode pour transformer en une somme de deux fonctions une fonction rationnelle.
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