[PDF] Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

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ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 1/10 Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maxima. Les commandes en ligne sont précédée de (%i) en

police courrier. Ce logiciel est disponible sur internet (google: calcul formel maxima)

I - Continuité

1/ Définition

Définition de la continuité : Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Soit un réel a

appartenant à I. La fonction f est continue en a si ax→limf(x) = f(a) Par extension, f est dite continue sur I si elle est continue en tout réel a de I.

Remarques :

- Si f est continue en a, alors f doit être définie sur un " voisinage » de a de la forme ]a-ε ;a+ε[, ε>0.

- f est continue à droite en a si f est définie sur un " voisinage » de a de la forme [a ;a+ε[, ε>0 et

+→axlimf(x) = f(a). - On reconnaît graphiquement qu'une fonction est continue sur un intervalle

I si elle peut être tracée sans

lever le crayon. Corollaire 1 : L'image d'un intervalle fermé borné [a ;b] par une fonction continue est un intervalle fermé borné [m ;M]. De plus la fonction atteint ses bornes.

Corollaire 2 :

- En appliquant les propriétés sur les opérations avec les limites, le produit, la somme de fonctions

continues est continue (voir le cours sur les limites). - Les fonctions polynômes, cos x et sin x, ex sont continues sur Ë. - La fonction x est continue sur [0 ;+õ[, ln(x) est continue sur ]0 ;+õ[. - Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition.

-Les fonctions construites algébriquement à partir des fonctions usuelles sont continues sur leur

ensemble de définition. ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 2/10 Exemple : Montrer que la fonction f définie par f(x)=x² ln x pour x >0 et f(0)=0 est continue en 0 puis sur [0;+ (%i) f(x):=x^2*log(x); (%i) limit(f(x)), x, 0, plus); (%i) plot2d([x^2*log(x),[x,0,2]);

2/ Application : Existence de solutions pour l'équation f(x) = k

Théorème des valeurs intermédiaires :

Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ;b]. Alors, pour tout réel λ compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris dans [a ;b] tel que f(c) = λ.

Justification graphique :

Remarque

: Ce théorème ne montre que l'existence mais pas l'unicité. Exemple : Montrer que la fonction f(x) = cos x admet un point fixe sur [0; 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x cos(x)x (%i20) plot2d([cos(x),x],[0,%pi/2]); (%i25) find_root(x=cos(x), x, 0, %pi/2); ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 3/10

II Nombre dérivé

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, un réel a ? I, et h un réel non nul (a+h ? I).

f est dérivable en a si le taux d'accroissement f(a+h)-f(a) h admet une limite finie l quand h tend vers 0. l est appelé le nombre dérivé de f en a et on note f'(a)=l.

Interprétation géométrique : Tangente

Si f est dérivable en a, la tangente (Ta) à Cf au point A d'abscisse a a pour coefficient directeur f'(a).

Une équation de (T

a) est : (Ta) y = f'(a) (x-a) + f(a)

Interprétation numérique

Si f est dérivable en a, on a f(a+h) = f(a) + f'(a) h + h ε(h) avec 0lim→hε(h) =0 • f(a) + f'(a) h + h ε(h) est appelé développement limité d'ordre 1 de f en a.

• Si h voisin de 0, on a f(a+h) ≈ f(a) + f'(a) h, approximation affine de f(a+h) au voisinage de a.

Exemple d'application :

1/ Démontrer que la f

onction f définie par f(x)=x² ln x pour x >0 et f(0)=0 est dérivable en 0. (%i) limit(f(x)/x,x,0,plus);

2/ Déterminer la meilleure approximation affine de (1+x)

n pour x voisin de 0. (%i20) diff((1+x)^n,x); (%i28) taylor((1+x)^n,x,0,1); ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 4/10

III Fonction dérivée

Définition : Lorsque f est dérivable en tout point de l'intervalle I, on dit que f est dérivable sur I et on

note f'(x) la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x.

1/ Dérivées des fonctions usuelles

Le tableau ci-dessous sera complété au cours de l'année f(x)= f'(x)= f dérivable sur k x xn (n?N* xα (α ? Ë) x cos x sin x tan x ex ln x

2/ Opérations et fonctions dérivées

• Si u et v sont 2 fonctions dérivables sur I alors u+v, k × u (k?Ë) et uv le sont aussi et :

(u+v)' = u' + v' (ku)'=k u' (uv)'= u'v + uv' Si u et v sont dérivables sur I et v non nul sur I, 1 v et u v sont dérivables sur I et : ( 1 v )'=- v'v² ( u v )'= u'v-uv' v²

Conséquence :

Les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur domaine de définition. Exemple : Calculer la dérivée de f(x)=x ln x - x après avoir précisé Df. (%i29) diff(x*log(x)-x,x);

3/ Dérivée d'une fonction composée

Dérivée d'une fonction composée (admis): Soit v une fonction dérivable sur J. Soit u une fonction dérivable sur I telle que pour tout x de I, u(x) appartient à J. Alors la fonction f(x) = v o u (x) est dérivable sur I et : f'(x)= v'(u(x)) ×××× u'(x) ( (v o u)' = (v' o u) u' )

ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 5

Applications de la dérivée d'une fonction

composée f f' I u(ax+b) sin (ax+b) un , n ? É xα (α ? Ë) eu ln u

Exemple :

Calculer la dérivée de ln 1²1

xx et de e

2x² après avoir précisé Df

(%i29) diff(log((x+1)/(x^2+1)),x);

4/ Classe d'une fonction

Dérivées successives :

Soit f une fonction dérivable sur I.

f'(x) est appelée dérivée première de f sur I. Si

f'(x) est également dérivable sur I alors on définit la fonction dérivée de f'(x) notée f''(x) et appelée

fonction dérivée seconde de f : (f'(x))'=f''(x).

Pour la dérivée d'ordre 3, 4, on note

f(3)(x) f(4)(x)

Classe d'une fonction

: Soit n ? É. On dit que f est de classe Cn sur I ssi : f est n fois dérivable sur I f(n) est continue sur I

f est de classe C0 si f est continue sur I et de classe Cõ si f est infiniment dérivable (cos x).

Propriété

: Si f et g sont de classe Cn alors : (f+g), fg, f g (g non nulle sur I) g o f sont de classe Cn. Exemple : Calculer la dérivée première, deuxième, troisième de ln(1+x) et (1+x)n (%i40) diff(log(1+x),x,4);

5/ Notations différentielles.

Notation différentielle :

En posant Δx = h et Δy= f(x+Δx) -f(x), on obtient :

Δy = f'(x) Δx + Δx ε(Δx) avec 0lim→hε(Δx ) =0 et au voisinage de x : Δy ≈ f'(x) Δx

En physique on note

f'(x) = df dx f''(x) = d²f dx²

ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 6

IV Fonction réciproque

1/ Définition

Théorème fondamental : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I alors, - f(I) est un intervalle dont les bornes sont les limites des bornes de I. - f réalise une bijection de I sur f(I) - La fonction réciproque de f, notée f -1, est strict. monotone et de même sens que f. - La fonction réciproque f -1 est continue sur f(I).

Exemple : Déterminer l'image des intervalles suivant par une fonction continue strictement monotone

Intervalle [a,b] ]a,b[ [a,b[ ]a,b]

f ↑ f ↓ Application : Résoudre l'équation f(x)=λλλλ • Si f est une fonction dérivable sur [a ;b], • Si f est strictement monotone sur [a;b], • et Si λ est compris entre f(a) et f(b), alors, l'équation f(x)=λλλλ admet une unique solution sur [a ;b]. Théorème fondamental suite : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.

Si de plus f est dérivable en x0 ?I avec f'(x0) non nul alors f -1 est dérivable en y0=f(x0) et :

(f -1)'(y0)= 1 f'(x 0) En particuliers si f '(x) ne s'annule pas sur I, (f-1)'= 1'1-off

2/ Application aux fonctions trigonométriques réciproques arc sin et arc tan

ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 7

ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 8

IV Applications de la fonction dérivée

1/ Sens de variation

Théorème 1 (admis):

Soit f une fonction dérivable sur I,

• si f'(x) est positive sur I, alors f est croissante sur I • si f'(x) est négative sur I, alors f est décroissante sur I • si f'(x) est nulle sur I, alors f est constante sur I Remarque : Si f conserve le même sens de variation sur I, f est dite monotone sur I.

Application : Résoudre l'équation f(x)=0

Si f est une fonction dérivable sur [a ;b],

• Si f'(x)>0 ou f'(x) <0 sur ]a ;b[ • Si f(a) et f(b) sont de signes contraires alors

f réalise une bijection de [a;b] dans f( [a;b]) et f(x)=0 admet une unique solution sur [a ;b].

Exemple :

Montrer l'existence et l'unicité d'un point fixe pour la fonction x ln x sur ]0; + õ[. En déduire

un encadrement de e à 10 -3. -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x x*log(x)x (%i5) solve(x*log(x)-x=0,x); (%o5) [x=%e,x=0]

2/ Extremum local

Définition

: Soit f une fonction définie sur I et c un point de I. On dit que f(c) est un maximum local de f si il existe un intervalle ouvert J contenant c tel que f(c) soit un maximum de f sur J.

Donc pour tout x de

ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 9

Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I=]a,b[ et c un réel appartenant à I, • Si f admet un extremum local en c, alors f'(c)=0 • Si f'(c)=0 et change de signe, alors f(c) est un extremum local. Remarque : Si f admet un extremum local en c, alors sa courbe Cf admet une tangente horizontale au point d'abscisse c.

Exemple :

rayon

r. On construit alors un cône en ajustant les rayons découpés. Quelle est la valeur x qui maximise le

volume du cône ? V/ Théorème de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle :

Soit deux réels a et b, aDémonstration : ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 10

Théorème des accroissements finis

Soit deux réels a et b, aDémonstration

Interprétation graphique :

Application 1 : Démontrer le lien entre sens de variation et signe de la dérivée. Application 2 : Démonstration d'inégalité Exemple: Démontrer que pour tout x>0 on a 21xx +< arctan(x) < x Application 3 : Inégalité des accroissements finis

Alors pour tout couple (x,y) de I (x

Démonstration

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