[PDF] CONTINUITÉ L'ensemble des fonctions continues

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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

CONTINUITÉ

Les fonctions qu"on étudie en analyse sont généralement définies sur des intervalles ou des réunions d"intervalles comme

?ou[0,1[?[2,3], voire

2,π2

+π?.Dans tout ce chapitre, les lettresD,E... qui nous serviront d"ensembles de définition désigneront cependant des parties quelconques de?. On notera par ailleurs?l"un des corps?ou?.

1 DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

On traite dans cette partie le cas des fonctions complexes enmême temps que celui des fonctions réelles, mais nos figures

illustreront seulement le cas réel.

1.1 DÉFINITIONS DE LA CONTINUITÉ

Définition(Continuité en un point ou sur une partie)Soientf:D-→?une fonction eta?D. On dit quefest

continue en asi limaf=f(a), i.e. si :?? >0,?α >0,?x?D,|x-a|< α=???f(x)-f(a)??< ?.

Cela dit,fétant définie ena, cela revient en fait à exiger seulement que la limite limafEXISTE.

a f(a)fest continue ena. a f(a)fn"est pas continue ena.? a f(a)fn"est pas continue ena.

L"ensemble des fonctions continues surDet à valeurs dans?, i.e. continues en tout point deD, est noté?(D,?).

ExempleLa fonction valeur absolue|·|est continue sur?.

DémonstrationSoita??. Montrons que|·|est continue ena. Soit? >0. Pour toutx??:??|x|-|a|???|x-a|

d"après l"inégalité triangulaire généralisée, donc pourα=?:?x??,|x-a|< α=???|x|-|a|??< ?.

Le résultat suivant est la version continue d"un résultat analogue sur les limites du chapitre " Limites d"une fonction ».

Théorème(Caractérisation de la continuité à partir des parties réelle et imaginaire)Soientf:D-→?une

fonction eta?D. fest continue ena(resp. surD) si et seulement si Re(f)et Im(f)le sont. ExempleLa fonctiont?-→eitest continue sur?car les fonctions cosinus et sinus le sont. Définition(Continuité à gauche/à droite en un point)Soientf:D-→?une fonction eta?D. •Continuité à gauche :On dit quefestcontinue à gauche en asif D∩]-∞,a]est continue ena, i.e. si lima-f=f(a). •Continuité à droite :On dit quefestcontinue à droite en asif D∩[a,+∞[est continue ena, i.e. si lima+f=f(a). a f(a)fest continue ena

à gauche,

mais pas à droite. a f(a)fest continue ena

à droite,

mais pas à gauche.

Le résultat suivant est la version continue d"un résultat analogue sur les limites du chapitre " Limites d"une fonction ».

Théorème(Caractérisation de la continuité à l"aide des continuitésà gauche/à droite)Soientf:D-→?une

fonction eta?Dun point au voisinage duquelfest définie à gauche et à droite. fest continue enasi et seulement sifest continue à gauche et à droite ena. 1

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??y=?x?ExempleLa fonction partie entière?·?est continue en tout point non entier, mais seulement continue à

droite ennpour toutn??. DémonstrationSoitn??. Pour toutx?[n,n+1[:?x?=n, donc limx→n+?x?=n=?n?, donc?·?est continue à droite enn. Au contraire?x?=n-1 pour toutx?[n-1,n[, donc limx→n-?x?=n-1?=?n?=n, doncfn"est pas continue à gauche enn.

?Attention !Pour toutx?[0,1[:?x?=0 et la fonctionx?-→0 est continue sur[0,1[, mais peut-on pour autant

dire que la fonctionx?-→ ?x?est continue sur[0,1[? Non! Ces deux fonctions sont définies sur?tout entier et coïncident

sur[0,1[, mais leur continuité en 0 dépend aussi de leur comportementau voisinage de 0À GAUCHE, i.e. à l"extérieur de

[0,1[. Alors que la restriction?·? [0,1[est bien continue sur[0,1[tout entier, la fonction?·?ne l"est que sur]0,1[, elleN"est

PAScontinue en 0.

1.2 PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ EN UN POINT

Définition-théorème(Prolongement par continuité en un point)Soientf:D-→?eta??\Dadhérent àD—

fn"est donc pas définie ena. y=f(x) a y=f(x)? a f(a)On dit quefestprolongeable par continuité en asi limafexiste et estFINIE. Le prolongement fdefàD?aainsi obtenu en posantf(a) =limafest alors continu ena.

Les fonctionsfet

fsont distinctes en toute rigueur car elles n"ont pas le même ensemble de définition, mais on choisit généralement de noter encorefle prolongement fpar souci de simplicité.

DémonstrationNous devons montrer quefest continue ena, i.e. que limaf=f(a), ou encore que limaf=f(a)

puisque fetfcoïncident surD. Ce résultat s"écrit ainsi : ?? >0,?α >0,?x?D,|x-a|< α=??? f(x)-f(a)??< ??. C"est presque le résultat mais pas tout à fait car fest définie ena. Or on peut évidemment remplacerDpar

D?adans?:?? >0,?α >0,?x?D?a,|x-a|< α=???

f(x)-f(a)??< ?.

Exemple

•La fonctionx?-→xlnxn"est pas définie en 0 mais on peut la prolonger par continuitéen ce point en lui donnant la

valeur 0 en 0, car limx→0xlnx=0.

•La fonctionx?-→sinx

xn"est pas définie en 0, mais comme limx→0sinxx=1, on peut la prolonger par continuité en ce

point en lui donnant la valeur 1 en 0.

•Pour toutα >0 :xα=eαlnx---→x→00, donc en posant 0α=0, on prolonge la fonctionx?-→xα, a priori définie

sur??+, en une fonction continue sur?+tout entier.

1.3 OPÉRATIONS SUR LA CONTINUITÉ

Que ce soit en un point ou sur un intervalle, la somme et le produit de deux fonctions continues sont continus. Même

chose pour l"inverse d"une fonction qui ne s"annule pas ainsi que pour la composée de deux fonctions composables. Ces

résultats découlent immédiatement des résultats analogues que nous avons prouvés sur les limites de fonctions.

ExempleLa fonctionx?-→

lnx2+e1x2est définie et continue sur??. DémonstrationAttention, pour la composition, il faut bien préciser les domaines manipulés!

•La fonctionx?-→1

xest continue sur??(à valeurs dans?) et la fonctionx?-→exl"est sur?, donc par compositionx?-→e1 xest continue sur??. •La fonctionx?-→x2est continue sur?, donc sur??. Par somme,x?-→x2+e1 xest continue sur??. 2

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•La fonctionx?-→x2+e1

xest continue sur??à valeurs dans??+etx?-→lnxest continue sur??+, donc par compositionx?-→lnx2+e1 xest continue sur??(à valeurs dans?).

•Enfin, la fonctionx?-→x2est continue sur

?. Le résultat découle donc d"une dernière composition.

1.4 CARACTÉRISATION SÉQUENTIELLE DE LA CONTINUITÉ

Le résultat suivant est la version continue d"un résultat analogue sur les limites du chapitre " Limites d"une fonction ».

Théorème(Caractérisation séquentielle de la continuité en un point)Soientf:D-→?une fonction eta?D.

Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i)fest continue ena. (ii) Pour toute suite(un)n??de limiteaà valeurs dansD, la suitef(un) n??a pour limitef(a).

En résumé :

Pour une fonctionCONTINUE:f

limn→+∞... ... si la limite existe. =limn→+∞f(...).

Ce théorème a déjà souvent été utilisé dans le contexte des suites récurrentesun+1=f(un).SI(un)n??CONVERGEvers

un réel?et sifestCONTINUEen?, alorsf(?) =?.

Le résultat suivant est une application ultra-classique dela caractérisation séquentielle de la continuité et de la densité

de?dans?.

Théorème(Endomorphismes continus de?)Les endomorphismes continus du groupe additif?, i.e. les fonctions

f? ?(?,?)pour lesquelles pourf(x+y) =f(x)+f(y)tousx,y??, sont exactement les fonctionslinéairesx?-→λx,

λdécrivant?.

DémonstrationLes fonctions linéaires répondent bien sûr au problème. Réciproquement, soitfun endomor-

phisme continu de?. Alors pour tousn??etx??:f(nx) =nf(x)?.

•Posonsλ=f(1)et montrons quef

?=λId?. Or pour toutr=pq??avecp??etq???: qf(r)?=f(qr) =f(p)?=pf(1) =λp, doncf(r) =λp q=λr. •Montrons quef=λId?. Soitx??. Comme?est dense dans?, nous pouvons nous donner une suite

de rationnels(rn)n??de limitex. Par continuité defenxet d"après la caractérisation séquentielle de la

continuité :f(x) =f limn→+∞rn =limn→+∞f(rn) =limn→+∞λrn=λlimn→+∞rn=λx.

2 TROIS THÉORÈMES DE CONTINUITÉ GLOBALE

?Attention !Les théorèmes de ce paragraphe ne concernent que les fonctionsRÉELLES. Lacontinuité globaledésigne la

continuité sur un intervalle — par opposition à lacontinuité localeen un point.

2.1 LE THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

Théorème(Théorème des valeurs intermédiaires, version " existenced"un antécédent »)Soienta,b??avec

a?betf? ?[a,b],?. Tout réel compris entref(a)etf(b)possèdeAU MOINSun antécédent parfdans[a,b].

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Démonstration(n°1)On suppose pour simplifier quef(a)?y?f(b)— raisonnement analogue dans l"autre

cas — et on poseX= t?[a,b]|f(t)?y y=f(x) y f(a) f(b) abx X L"ensembleXest majoré parbet contientacarf(a)?y, donc nous pouvons noterxsa borne supérieure d"après la propriété de la borne supérieure. Nous allons prouver l"égalitéy=f(x)en prouvant suc- cessivement quef(x)?yetf(x)?y. La figure ci-contre illustre le bien-fondé de cette démarche. Commex=supX,xest lalimite d"une suite(xn)n??d"éléments deX,or f(xn)?ypour toutn??, donc d"après la caractérisation séquentielle de la continuité :f(x) =f limn→+∞xn =limn→+∞f(xn)?y. Six=b, alorsf(x) =f(b)?ypar hypothèse. Supposonsxy, donc après passage à la limite et utilisation de la continuité defen x:f(x)?y.

Démonstration(n°2, par dichotomie)Ici aussi, on suppose pour simplifier quef(a)?f(b)et on posea0=a

etb0=b. À partir de l"intervalle[a0,b0] = [a,b], il s"agit de construire par récurrence de nouveaux intervalles

intéressants plus petits[a1,b1],[a2,b2],... Plus précisément, soitn??. Supposons qu"on ait déjà construit des

réelsa0,...,an,b0,...,bnpour lesquels : (i)a=a0?...?an,bn?...?b0=bet pour toutk??0,n?:bk-ak=b-a 2k, (ii) pour toutk??0,n?:f(ak)?y?f(bk). On définit alors au rangn+1 les réelsan+1etbn+1de la manière suivante :?????a n+1=anetbn+1=an+bn

2sif!an+bn2!

?y a n+1=an+bn

2etbn+1=bnsif!an+bn2!

Je vous laisse démontrer que ces réelsan+1etbn+1satisfont les assertions (i) et (ii) au rangn+1 — faites-le!

Les suites(an)n??et(bn)n??ainsi construites sont finalement adjacentes d"après (i), donc possèdent une limite

finie communex?[a,b]. Or si nous passons à la limite dans (ii), la caractérisationséquentielle de la continuité

montre quef(x)?y?f(x), i.e. quey=f(x). y=f(x) y f(a) f(b) a=a0b0=b a1b1 a2b2 a3b3... x

Le réelxconstruit

par dichotomie

La version du TVI énoncée ci-dessous est nouvelle pour vous mais conceptuellement aussi importante que la précédente.

Théorème(Théorème des valeurs intermédiaires, version " image d"unintervalle »)L"image d"unINTERVALLE

par une fonction continue est unINTERVALLE.

?Attention !SiIest unINTERVALLEetf:I-→?une fonction continue, cette version nouvelle du TVI affirmequef(I)

est également unINTERVALLE, mais pas queIetf(I)sont de même nature. Il se peut queIsoit ouvert etf(I)un segment,

ou bien queIsoit semi-ouvert etf(I)ouvert, etc.

Un intervalle

Pas un intervalle

I f(I)??

Iouvert,f(I)fermé.

I f(I)

Isemi-ouvert,f(I)ouvert.

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DémonstrationSoientIunINTERVALLEetf? ?(I,?). Pour montrer quef(I)est un intervalle, donnons-nous u,v?f(I)avecu?v, puisy?[u,v], et montrons quey?f(I). Ce qui est sûr, c"est queu=f(a)etv=f(b)

pour certainsa,b?I, la version précédente du TVI montre donc quey=f(x)pour un certainxcompris entre

aetb. En particulierx?IcarIest un intervalle, et enfiny=f(x)?f(I).

Théorème(TVI strictement monotone)Soienta,b??aveca théorème, mais vous pouvez en inventer d"autres! (i) Toute fonctionCONTINUEetSTRICTEMENT CROISSANTEf:[a,b]-→?est bijective de[a,b]surf(a),f(b).

(ii) ToutefonctionCONTINUEetSTRICTEMENT DÉCROISSANTEf:[a,b[-→?estbijectivede[a,b[surlimbf,f(a).

(i) ab ??f(a)f(b) (ii) ab ??limbff(a)

DémonstrationDans le cas oùfest strictement croissante sur[a,b[,fest bijective de[a,b[sur son image

f[a,b[mais a-t-on bienf[a,b[=f(a),limb-f? En tout cas, d"après le TVI,f[a,b[est un intervalle. Commef(a)?f[a,b[et commef(a)minoref[a,b[par croissance def:f(a) =minf[a,b[. Ensuite, d"après le théorème de la limite monotone : lim b-f=supf[a,b[, doncf[a,b[est l"un des inter-

vallesf(a),limb-fouf(a),limb-f. Peut-on avoir limb-f?f[a,b[? Il existerait dans ce cas un réelx?[a,b[

pour lequelf(x) =limb-f, et aussitôtfserait constante égale à limb-fsur[x,b[, ce qui contredirait laSTRICTE

croissance def. Conclusion : limb-f/?f[a,b[, et enfinf[a,b[=f(a),limb-f.

2.2 LE THÉORÈME DES BORNES ATTEINTES

Théorème(Théorème des bornes atteintes)Deux versions équivalentes. (i) Toute fonction continue sur unSEGMENTy est bornée et atteint ses bornes. (ii) L"image d"unSEGMENTpar une fonction continue est unSEGMENT. ab y=f(x)

Nous avons vu que la continuité ne préserve pas la forme des intervalles en général, mais en tout

cas une chose est sûre, un segment est toujours transformé enun segment. ?Attention !Sur un intervalle borné qui n"est pas un segment, une fonctioncontinue n"a aucune raison d"être bornée en général. Pensez à la fonction tangente sur

2,π2

DémonstrationMontrons (i). Soienta,b??aveca?betf? ?[a,b],?. D"après le TVI,f[a,b]est

un intervalle. Nous prouverons seulement quefpossède un maximum — pour un minimum, remplacerfpar

-f. La propriété de la borne supérieureDANS ?nous autorise à posers=supf[a,b]???+∞. Nous

savons quesest la limite d"une suite d"éléments def[a,b]. Nous pouvons donc nous donner une suite(xn)n??

d"éléments de[a,b]pour laquelle limn→+∞f(xn) =s.

Si(xn)n??était convergente de limitex?[a,b], on pourrait aussitôt affirmer quef(x) =spar continuité, ce qui

montrerait ques??— et donc quefest majorée — mais même mieux, ques=maxf[a,b]. Le problème,

c"est que(xn)n??n"a aucune raison d"être convergente. Si jamaisfatteint un maximum en deux pointsuetv

distincts, on peut très bien imaginer que lesxnsont tantôt autour deu, tantôt autour dev. Il faudrait pouvoir

forcer lesxnà s"accumuler tous autour deuou tous autour dev— mais comment faire? Bolzano-Weierstrass, bien sûr! Bornée, la suite(xn)n??possède une suite extraitex?(n) n??convergente, disons de limitex?[a,b]. Or par continuité defet extraction :f(x) =f limn→+∞x?(n) =limn→+∞fx?(n)=s, donc d"une parts??— ce qui montre quefest majorée — mais d"autre parts=maxf[a,b].quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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