Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
Exercice 1. Uniforme continuité. 1. Montrer que la fonction définie par f(x) = 1/x n'est pas uniformément continue sur ]0 1]. 2. Soit ?? < a < b < +?
Fonctions continues et uniformement continues
Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes Ce qui montre que la suite (ƒ(xn)) est de Cauchy dans complet donc converge ...
Université Paul Sabatier 2011/12 - Exercice 1. (extrait capes 2012
19 janv. 2012 Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I. (3) (a) Montrer que pour tous réels x et y on a : ?. ?
THEOREMES DANALYSE
12 avr. 2005 Exercice 3 Soit f :]a b[? R une fonction continue. On suppose que limt?a+ f(t) = ?? et limt?b? f(t)=+?. Montrer que f est surjective ...
Fonctions continues entre espaces métriques
Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. 9. Exercice 2.7. Soit f : R ? R une fonction dérivable et telle qu'il existe M
Convolution et régularisation
Si donc f est continue à support compact elle est uniformément continue L'idée sous-jacente
Problème 1 : continuité uniforme
On a montré que ?? > 0/ ?? > 0 ?(x
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Montrer qu'une fonction continue et périodique sur R est uniformément continue sur R. Exercice 9. Soit ƒ une fonction continue sur R admettant des limites
Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques. Espaces vectoriels
2 oct. 2015 1. Montrer que toute fonction ?-Hölderienne est uniformément continue. 2. Si (X d) est borné
Analyse 2
Montrer qu'une fonction dérivable sur un intervalle fermé peut toujours Montrer qu'une fonction f : (a b) ? R qui est uniformément continue.
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1 Continuité 1 1 Définition Soient ƒ une fonction définie sur un intervalle I et a ? I On dit que ƒ est continue en a lorsque : ?? ? +
[PDF] Problème 1 : continuité uniforme
On a montré que ??>0 ?? > 0/ ?(x y) ? I2 (x ? y ? ? ? f(x)? f(y) ? ?) et donc f est uniformément continue sur I 3 3 1 Soit (x y) ? R2
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Soient a et b deux réels avec a < b et soit f : [a b] ? R une fonction continue Alors f est uniformément continue sur [a b] Démonstration Par l'absurde
[PDF] Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
Exercice 1 Uniforme continuité 1 Montrer que la fonction définie par f(x) = 1/x n'est pas uniformément continue sur ]0 1] 2 Soit ?? < a < b < +?
[PDF] Continuité
On suppose que f est continue en a et que f(a) = 0 Montrer que f est non nulle sur un intervalle ouvert contenant a Exercice 2 2 (Fonction lipschitzienne)
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Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue 9 Exercice 2 7 Soit f : R ? R une fonction dérivable et telle qu'il existe M
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Reste à montrer que f?1 est continue sur J ; soit (yn) une suite être uniformément continues ; et qu'une fonction qui a une limite infinie en 0 ne
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La réciproque est fausse Exemple : f : x ÞÑ x2 n'est pas uniformément continue sur R+ mais elle est continue Montrons alors qu
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Montrer que f est bornée et uniformément continue sur R Correction ? [005401] Exercice 11 *** Théorème d'homéomorphie Soit f une application
Comment démontrer qu'une fonction est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.Comment prouver qu'une fonction est continue sur R ?
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).Comment montrer la continuité d'une fonction sur un intervalle ?
f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un nombre réel de I.
1f est continue en a si, et seulement si, f f f a une limite en a a a égale à f ( a ) f(a) f(a) , ainsi : lim ?2f f f est continue sur I I I si, et seulement si, f f f est continue en tout nombre réel de I I I.- La fonction f est continue en a si f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de f(a), en prenant x assez proche de a : f est continue en a?limx?af(x)=f(a), ce qui signifie aussi que pour tout réel strictement positif ?, il est possible déterminer un réel strictement positif ? tel que : x?a<??f(x)?f(a)<?.
Universit´e de Marseille L1-S2- 2007-2008
Corrig´e du devoir d"analyse de mars 2008
Exercice 1
Uniforme continuit´e
1. Montrer que la fonction d´efinie parf(x) = 1/xn"est pas uniform´ement
continue sur ]0,1].2. Soit-∞< a < b <+∞, montrer que la fonctionf(x) =x2est uni-
form´ement continue sur [a,b].3. Montrer que la fonctionf(x) =x2n"est pas uniform´ement continue sur
[0,+∞[.Corrig´e
1. On ´ecrit la n´egation de l"uniforme continuit´e
On voit que le probl`eme se pose au voisinage du point 0 car mˆeme si l"´ecart entrexetyest tr`es petit, l"´ecart entref(x) etf(y) peut ˆetre tr`es grand.Plus pr´ecis´ement
?ε0=12 tq?α >0,?n?N?tel que1n < αetx=1n ,y=12n2. Ce sera une cons´equence de l"exercice 3, mais on peut le d´emontrer di-
rectement. Soitx,y?[a,b].Un calcul direct conduit `a : Ainsi (La fonction estf(x) =x2est mˆeme Lipschitzienne sur [a,b] et donc uniform´ement continue sur [a,b]).3. L`a le probl`eme se pose `a l"infini. On va raisonner comme dans le cas 1.
?ε0= 1 tq?α >0,?n?N?tel que1n < αetx=n ,y=n+12n 1Exercice 2
Prolongement par densit´e
Soientfetgdeux fonctions d´efinies etcontinuessurR.Montrer que (x?Q?f(x) =g(x))?f=g.Corrig´e
On va utiliser queQest dense dansR(voir d´emonstration plus loin) et quef etgsont continues surR. Soitx?Ril existe une suite (xn)?Qtelle quexn→x.Par continuit´e de fetgon a limn→+∞f(xn) =f(x) et limn→+∞g(xn) =g(x). Mais comme pour toutn?N,xn?Qet quefetgco¨ıncident surQ, on a f(xn) =g(xn),?n?N. Donc limn→+∞f(xn) = limn→+∞g(xn).Densit´e deQdansR.
Soitx?R. Par d´efinition de la partie enti`ere,E[.], pour toutn?N, on a :Posons:
x n=E[(n+ 1)x]n+ 1.On axn?Qet
x n→n+∞x. Exercice 3Soitα >0,β >0.Soitfune fonction continue de [0,α[ dansR telle quef(0)<0 et limx→x<ααf(x) = +∞. Soitgune fonction continue deRdansRtelle queg(0)<0 etg(β)>0. Montrer qu"il existex?]0,min{α,β}[ tel quef(x)(x-β)-g(x) = 0.[On pourra distinguer les casβ < α,β > αetβ=α.]Corrig´e
Voir corrig´e du partiel de 2006-2007.
Exercice 4
Soita < b?R.Toute fonction continue sur un[a,b]est uniform´ement continue.Soitf: [a,b]→R.
On va raisonner par l"absurde.
21)-Ecrire la n´egation de cette d´efinition.
2)-Montrer que sifn"est pas uniform´ement continue sur [a,b], il existeε0>0
et (xn),(yn)?[a,b] tels que|xn-yn|<1n+1et|f(xn)-f(yn)| ≥ε0.3)-Montrer qu"il existeφstrictement croissante deN→Netα?[a,b] tels
4)-En d´eduire que sifn"est pas uniform´ement continue sur [a,b],il existe
α?[a,b] tel quefn"est pas continue enα.
Corrig´e
1)- ?ε0>0,?δ >0,?(xδ,yδ)?[a,b]2t.q|xδ-yδ|< δet|f(xδ)-f(yδ)| ≥ε0.2)-Il suffit de choisir pour toutn?N,δ=1n+1.
?ε0>0,?n?N,?(xn,yn)?[a,b]2t.q|xn-yn|<1n+ 1et??f(xn)-f(yn)??≥ε0.3)-Comme [a,b] est un intervalle ferm´e born´e, par le th´eor`eme de Bolzano-
Weierstrass,on peut extraire de (xn) une suite convergente. Ainsi il existex? [a,b] etφ?:N→Ntels quexφ(n)→x. La suite (yφ(n)) est une suite extraite de la suit (yn), elle est dans [a,b] donc, toujours par le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass on peut en extraire une sous suite convergente. Ainsi il existey?[a,b] etψ?:N→Ntels queyψ(n)→y. La suite (xψ(n)) est extraite de la suite (xφ(n)) qui estconvergente versx, donc elle converge aussi versx.On a doncxψ(n)→xetyψ(n)→y.Mais on a aussi pour toutn |xn-yn|<1n+1et donc??xψ(n)-yψ(n)??<1ψ(n)+1et en passant `a la limite sur non obtient:|x-y|= 0,et doncx=y. On appelleαcette valeur commune.4)-On a donc trouv´eα?[a,b] et deux suites de [a,b] convergentes versαet
telles que??f(xψ(n))-f(yψ(n)))??≥ε0.Sif´etait continue enαles suites images (f(xψ(n)) et (f(yψ(n)) seraient convergentes versf(α) et on aurait |f(α)-f(α)| ≥ε0>0 ce qui est impossible. 3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] continuité uniforme graphiquement
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