[PDF] Convolution et régularisation

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Convolution et régularisation

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

1. Rappels sur les espacesLp(Rd)

Dans tout ce chapitre, nous travaillerons en dimension finied>1surRdavec des fonctionsf:Rd!Cà valeurs complexes. Bien entendu, la mesure de référence est la mesure de Lebesgue : dx=dx1dxd: Pour un exposant16p<1, soit l"espace des fonctions de puissancep-ème inté- grable : L p(Rd) :=n f:Rd!Cmesurables telles queZ R djf(x)jpdx <1o ces fonctions mesurables étant considérées à un ensemble de mesure nulle près, comme l"exige la théorie de l"intégration. Lorsquep=1, l"espaceLp(Rd)devient l"espaceL1(Rd)des fonctions mesurables f:Rd!Ctelles que la quantité suivante :fL1:=infM >0tel que0 =mesurefx2Rd:jf(x)j>Mg <1; estfinie, quantité dont on démontre alors qu"elle constitue unenormesurL1(Rd). Mais la plupart du temps, nous exclurons l"étude du casp=1, carL1n"est pas un véritable espace de fonctions intégrables. En supposant donc16p<1, effectuons alors quelques rappels de résultats fonda-

mentaux d"un cours d"intégration, sous forme de théorèmes énoncés sans démonstrations,

résultats qui sont tout aussi valables en remplaçantRdpar un sous-ensemble mesurable quelconqueERd. Définition 1.1.Deux nombres réelspetp0appartenant à l"intervalle ouvert]1;1[sont dits conjuguéslorsque : 1p +1p 0= 1: Par extension, on dit aussi que1et1sont conjugués. 1

Cauchy-Schwarz :

Z R df(x)g(x)dx6 Z R djf(x)j2dx 12 Z R djg(x)j2dx 12 ;(1.2) valable pour tout couple de fonctionsfetgdansL2(Rd), sachant que20= 2puisque 12 +12 = 1.

Théorème 1.3.

1 produitf(x)g(x)appartient àL1(Rd), et sa normeL1est contrôlée par le produit simple et nu des normesLpetLp0defet deg: jjf gjjL16jjfjjLpjjgjjLp0; à savoir en d"autres termes plus explicites mais complètement équivalents : Z R df(x)g(x)dx6 Z R djf(x)jpdx 1p Z R djg(x)jp0dx 1p 0 :(1.4) De cette inégalité, on déduit queLp(Rd)constitue un vrai espace vectoriel normé.

Théorème 1.5.

[Inégalité de Mink owski]Pour tout exposantp2[1;1[et toute paire de fonctions mesurablesf;gsurRdtelles quef(x)petg(x)psoient intégrables,i.e.appar- tiennent àL1(Rd), on a : Z R df(x) +g(x)pdx 1p 6 Z R df(x)pdx 1p Z R dg(x)pdx 1p :(1.6) Grâce à cette inégalité triangulaire, la quantité : jjfjjLp:= Z R df(x)pdx 1p constitue bien unenormesur l"espaceLp(Rd). Voici maintenant un résultat beaucoup plus profond. Théorème 1.7.Pour16p<1, l"espace vectoriel norméLp(Rd);jj jjLpest complet et séparable. Pour la distancedist(f;g) :=jjfgjjLpissue de la norme, rappelons que lacomplétude signifie la convergence dans l"espace ambiant de toute suite de Cauchy :8< :8(fn)1n=1satisfaisant

8" >09N(")18n2>n1>N(")fn2fn1Lp6"

9f12Lpappartenant à l"espace en question avec0 =limn!1fnf1Lp;

et que laséparabilitésignifie l"existence d"une suite dénombrable dense :

9(hn)1n=12Lp8g2Lp8" >09n(")ghn(")Lp6":

Un autre autre résultat utile se révèle incidemment lorsqu"on examine la démonstration de la complétude deLp(Rd).

2.Translations dansLp(Rd)3Théorème 1.8.Étant donné une suite quelconque de fonctions(fn)1n=1appartenant toutes

àLp(Rd)qui convergent en normeLpvers une certaine fonctionf12Lp(Rd):

0 =fnf1Lp(Rd);

il existe au moins une sous-suite fnk 1 k=1qui converge ponctuellement presque partout : lim k!1fnk(x) =f1(x)(pour presque toutx2Rd):

Enfin, le résultat classique suivant de densité va s"avérer être l"outil le plus utile pour

tout ce chapitre. Théorème 1.9.L"espaceC0c(Rd)des fonctions continues à support compact surRdest dense dansLp(Rd);jj jjLp:

8f2Lp(Rd)8" >09g2C0c(Rd)fgLp(Rd)6":

2. Translations dansLp(Rd)

Définition 2.1.Soita2Rdun vecteur constant et soitf2Lp(Rd). On appelletranslatée defpara, et on noteaf, la fonction définie pour toutx2Rdpar :af(x) :=f(xa): Théorème 2.2.Si deux fonctions mesurablesfetgvérifientf(x) =g(x)pour presque toutx2Rd, et sia2Rdest un vecteur constant, alorsaf(x) =ag(x)pour presque tout x2Rdaussi. On peut donc définir, pour toutp2[1;+1], l"application quotientasur l"espaceLp(Rd)par la formule ci-dessusaf(x) :=f(xa). De plus,aest une isométrie linéaire deLp(Rd)dans lui-même pour toutp2[1;+1]:afLp=jjfjjLp: Enfin, pour toutp2[1;+1[, à l"exclusion dep= +1, et pour toute fonctionf2Lp(Rd), on a :

0 =lima!0affLp:(2.3)

Démonstration.On a tout simplement :x2Rd:af(x)6=ag(x)=x2Rd:f(xa)6=g(xa) =a+x2Rd:f(x)6=g(x); donc grâce à l"invariance par translation de la mesure de Lebesgue, si le second ensemble est de mesure nulle, le premier l"est aussi. C"est pourquoi l"on peut définirasurLp(Rd). Ensuite, si16p<+1, l"invariance par translation de la mesure de Lebesgue est encore utilisée pour vérifier la conservation de la normeLp(posery:=xa, d"où dy

1dyd=dx1dxd) :

jjafjjLpp=Z R djf(xa)jpdx=Z R djf(y)jpdy=jjfjjLpp: Le casp= +1se traite séparément en notant que :

8u2R;x2Rd:jaf(x)j> u=a+x2Rd:jf(x)j> u:

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceL"invariance de la mesure de Lebesgue par translation (à nouveau elle!) entraîne alors la

conservation de la normeL1à traversa:fL1:=infM >0tel quemesurefx2Rd:jf(x)j> Mg= 0 =jjafjjL1: Soit maintenantp2[1;+1[, à l"exclusion dep= +1. Pour démontrer la continuité de la normeLppar rapport aux (petites) translations, à savoir pour établir (2.3) ci-dessus, nous commencerons par supposer quef2C0c(Rd)est continue à support compact, avant de vérifier qu"il suffit d"utiliser la densité deC0c(Rd)dansLp(Rd)pour conclure. La densité : souvenons-nous en! Si doncfest continue à support compact, elle est uniformément continue surRdtout entier, donc pour tout" >0, il existe=(")>0tel que : jaj6=)

8x2Rd;f(xa)f(x)6"

Par suite, dès que l"on supposejaj6, on peut estimer la puissancep-ème de la norme L pde la différence entreafetfcomme suit, en restreignant "bêtement» l"intégration à l"ensemble où nifniafne s"annulent : affLp p=Z R df(xa)f(x)pdx Z (a+ff6=0g)[ff6=0g f(xa)f(x)pdx 6 mesure(a+ff6= 0g) +mesure(ff6= 0g)"p

62mesureff6= 0g

|{z} constante<1" p: Or la mesure (de Lebesgue) de la fermeture de l"ensemble desx2Rden lesquelsf(x)6= 0 est évidemment finie, puisque cet ensemble est, disons, contenu dans une certaine boule ferméeB(0;R)de rayonR1assez grand. Comme tout terme : constante"p tend vers zéro lorsque"!0, ceci montre, comme voulu et comme désiré, que :

0 =lima!0affLp;

pour toute fonctionf2C0c(Rd).

rappelé et admis ci-dessus, il existe une suite(fn)1n=1de fonctionsfn2C0c(Rd)telles que :fnfLp!0lorsquen! 1:

Or on peut estimer la normeLpde la différence entreafetfen y insérant les quatre termesafn+afnfn+fnqui s"additionnent à0, et en appliquant ensuite l"inégalité triangulaire (Minkowski!) à trois membres, ce qui donne :affLp6afafnLp+afnfnLp+jjfnfjjLp = 2jjfnfjjLp+afnfnLp:

3.Produit de convolution dansL1(Rd)5Si maintenant" >0est un nombre réel arbitrairement petit, il existe un entierN"tel

que : jjfN"fjjLp6"4 Mais puisque cette fonctionfN"est continue à support compact, la première partie de la démonstration assure qu"il existe un"suffisamment petit pour que : jaj6"=)afN"fN"Lp6"2 Enfin, si l"on posen:=N"dans le jeu d"inégalités triangulaires effectué à l"instant, on obtient qu"avec le même": jaj6"=)affLp62"4 +"2

ce qui achève notre première démonstration basée sur un argument de densité - Dieu sait

qu"il y en aura d"autres!

3. Produit de convolution dansL1(Rd)

Définition 3.1.On dit que deux fonctions mesurablesfetgdeRdà valeurs dansCsont convolablessi, pour presque toutx2Rd, la fonction : t7!f(xt)g(t) est intégrable,i.e.appartient àL1(Rd). Lorsque c"est le cas, on définit alors leproduit de convolution(ou laconvolée) defet degpar : (fg)(x)def=Z R df(xt)g(t)dt: Le changement de variablex7!xtmontre alors quegetfsont convolables dès lors quefestgle sont, avec en bonus lacommutativité(exercice impératif : vérifier cela!) : fg=gf; c"est-à-dire : Z R df(xt)g(t)dt=Z R dg(xt)f(t)dt: Évidemment, sifest convolable avec deux fonctionsg1etg2, alors pour toutes constantes1;22C, la convolée defavec1g1+2g2existe et l"on a lalinéarité par rapport au second facteur : f(1g1+2g2) =1fg1+2fg2;

d"où il découle aussi, grâce à la commutativité, que le produit de convolutionest en fait

bilinéaire par rapport à chacun de ses facteurs gauche ou droite. Cette définition du produit de convolution, qui est possible "si la fonctiont7! f(xt)g(t)est intégrable», procède par abstraction d"une condition de définissabilité minimale. Lorsque les fonctions appartiennent à des espaces fonctionnels raisonnablement réguliers, par exemple l"espace des fonctions continues à support compact ouC1à support

compact, on vérifie grâce au théorème de Fubini et grâce à des changements de variables

élémentaires - exercice impératif : vérifier cela! - que le produit de convolution est de

plusassociatif: f(gh) = (fg)h:

Toutefois, avec la définition minimale énoncée ci-dessus, quelques "pathologies» (à ou-

blier rapidement ...) peuvent se produire, comme le montre l"Exercice 4 ci-dessous. En

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, Francetout cas, lorsqu"on suppose que les fonctions appartiennent àL1(Rd), tout se passe très

bien comme le montre le premier théorème fondamental suivant. Théorème 3.2.Soient deux fonctionsf2L1(Rd)etg2L1(Rd). Alors pour presque tout x2Rd, la fonction : R d3t7!f(t)g(xt)2C est intégrable,i.e.elle appartient àL1(Rd), donc la convolution defet dega un sens, et, de plus, cette convolée : fg(x) =Z R df(xt)g(t)dt Z R df(t)g(xt)dt L

1defetL1deg:

jjfgjjL16jjfjjL1 jjgjjL1: Démonstration.Nous traiterons le casd= 1, les arguments pourdquelconque ne deman- dant qu"une adaptation mineure quant au formalisme des signes d"intégration. des deux fonctions positivesjf(xt)jetjg(t)jest finie :Z1 1Z 1 1 jf(xt)jjg(t)jdtdx=Z 1 1Z 1 1 jg(t)jdtjf(xt)jdx [posery:=xt]=Z 1 1 jg(t)jdtZ 1 1 jf(y)jdy =jjgjjL1jjfjjL1 <1; majorée par le produit des normesL1deget def. Grâce au théorème de Fubini- Tonelli ceci entraîne que pour presque toute "tranche unidimensionnelle horizontale» fx=constanteg, la restriction de la fonction de deux variables : (t;x)7!f(xt)g(t) à ladite tranche, à savoir l"application d"unevariable : t7!f(xt)g(t) est (de valeur absolue) intégrable surRpar rapport àdt. Aussi l"intégrale qui définit la convolution entrefetgexiste-t-elle bien pour presque toutx2R. Ensuite, l"inégalité triangulaire évidente entre intégrales : jfg(x)j6Z 1 1 jf(xt)jjg(t)jdt; intégrée par rapport àdxsurR: fgL1=Z 1 1 jfg(x)jdx 6 Z 1 1Z 1 1 jf(xt)jjg(t)jdtdx =jjgjjL1jjfjjL1;

4.Produit de convolution et support 7permet d"obtenir, grâce à une répétition du calcul qui précède, l"inégalité annoncée sur les

normesL1. Ceci achève la simple et belle démonstration de notre tout premier résultat sur l"opération de convolution.

4. Produit de convolution et support

La notion de support joue un rôle important dans la théorie des opérateurs de convo- lution. Lorsqu"une fonction est continue, sonsupportest tout simplement l"adhérence de l"ouvert constitué des points en lesquels elle prend des valeurs non nulles : sif2C0(Rd):suppf= x2Rd:f(x)6= 0: L"idée sous-jacente, c"est qu"un point est dans le support d"une fonction si la fonction n"est pas nulle en ce point, où à la rigueur, s"il existe d"autres points arbitrairement proches en

lesquels la fonction est non nulle, et cette idée est tout à fait adéquate lorsque la fonction

est continue. Cependant, on sait bien que la théorie des fonctions mesurables, des fonctionsL1au sens de Lebesgue, des fonctionsLp, n"a un sens qu"à un ensemble de mesure nulle près, et la définition du support valable pour les fonctions continues ne peut alors plus avoir de sens cohérent. Par exemple, la fonction indicatrice de l"ensemble des nombres rationnels dansR, à savoir : 1

Q(x) =1six2Q;

0six2RnQ;

a la propriété évidente que la fermeture de l"ensemble des points où elle ne s"annule pas

remplitRtout entier : x2Rd:1Q(x)6= 0=Q=R; bien que cette fonction indicatrice soit nullepresque partout, puisque l"ensemble des nombres rationnels est de mesure nulle dansR. Il est clair qu"au sens de la mesure, cette fonction1Qdoit être considérée comme s"identifiant à la fonction identiquement nulle, et par conséquent, on ne peut pas définir la notion de support pour les fonctions mesurables ou intégrables en calquant la définition naturelle qui était valable pour les fonctionsC0, C

1,C2ouC1.

La solution à toutes ces errances dialectiques n"est pourtant pas difficile. Il suffit de rai-

sonner par passage au complémentaire, comme le dévoile très précisément la Proposition-

Définition suivante.

Proposition 4.1.

[Défi nitiondu support des f onctionsdéfinies à un ensemble de mesur e nulle près]Soit un ouvert deRdet soitfune fonction mesurable définie dans et à valeurs dansC. On considère la famille(!i)i2Ide tous lesouverts!i tels que, pour chaquei2I, on ait : f(x) = 0pour presque toutx2!i; et on introduit leur réunion ensembliste complète : i2I! i; qui est bien sûr un sous-ensembleouvertde . Alors (proposition) on a de même : f(x) = 0pour presque toutx2!

8 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, Franceet (définition) on définit lesupportdef:

suppf:= n! comme étant lecomplémentaire, dans l"ouvert ambient , de ce plus gros ouvert!sur lequelfs"annule identiquement (à un ensemble de mesure nulle près). Démonstration.Par définition des!i, il existe, pour chaquei2I, un ensemble négli- geableNi!ien dehors duquelfne prend que des valeurs exactement nulles :

8x2!inNi; f(x) = 0:

Le "hic» ici, c"est que la famille des!in"a aucune raison, en général, d"être dénombrable,

et donc, qu"on ne peut pas conclure directement : la réunion desNiest de mesure nulle elle aussi (en appliquant l"énoncé bien connu que toute réunion dénombrable d"ensembles de mesure nulle est elle aussi de mesure nulle). Heureusement, on va pouvoir se ramener au cas dénombrable par le procédé suivant, dit d"exhaustion, qui est classique en Analyse. Considérons à cet effet, pour toutn>1, l"ensemble : K n:=x2!: dist(x;Rdn!)>1n \B(0;n) constitué de tous les points du gros ouvert!qui sont : situés à une distance>1n de l"extérieurRdn!, à savoir enceints à l"intérieur de!par une bande de sécurité d"épaisseur 1n contenus dans une (grosse) boule fermée de rayonn, pour que tout soit compact. Alors il est intuitivement suggestif que ces compactsKnforment une famille dénombrable et que, lorsquense rapproche de+1, lesKn"remplissent» de plus en plus!tout entier. En effet, le lecteur est invité à vérifier rigoureusement que : K nKn+1et que :!=[ n>1K n:

En particulier, on a pour toutn>1fixé :

K n[ i2I! i: Par compacité deKn, on peut alors, pour toutn>1fixé, extraire deIun sous-ensemble finiIntel que : K n[ i2In! i: Parce que toute réunion dénombrable d"ensemble finis est elle-même dénombrable, l"en- sembleJ:=[n>1Inest dénombrable et l"on voit ainsi : n>1K n[ n>1[ i2In! i=[ i2J! i que l"ensemble!=[i2J!i(puisque l"inclusion inverse[i2J!i!est trivialement satisfaite) est réalisé comme réunion maintenantdénombrabled"ouverts!i. Comme par hypothèsef(x) = 0pour toutx2!inNihors de l"ensemble de mesure nulleNi, et comme la réuniondénombrable: N:=[ i2JNquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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