[PDF] 1 Continuité 2 Dérivabilité

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228. Continuit´e et d´erivabilit´e des fonctions r´eelles d"une

variable r´eelle. Exemples et contre-exemples. Introduction: Pendant longtemps, les math´ematiciens ont cru que continuit´e et

d´erivabilit´e ´etaient des propri´et´es ´equivalentes. Cette le¸con vise `a illustrer ces deux

notions par des exemples et contre-exemples.

1 Continuit´e

1.1 G´en´eralit´es

SoitApartie deR.

D ´efinition 1.Soitf:A→R, soita?I. On dit quefest continue enasi est continue en tout point deA. On noteC0(A) l"ensemble des fonctions continues surA.

Exemple2.

-?n?N,f:R→R,x?→xncontinue surR. -f:R+→R,x?→⎷xcontinue surR+. -f:R?+→R,x?→1x continue surR?+. Contre-exemple3.f=1Qn"est continue nulle part surR.

Proposition 4.C0(I) est uneR-alg`ebre.

Th ´eor`eme 5(Caract´erisation s´equentielle).fest continue ena?Assi, pour tout D ´efinition 6.Soitk >0. On dit quefestk-lipschitzienne si?x,y?A,|f(y)- A Proposition 7.flipschitzienne?funiform´ement continue?fcontinue. Contre-exemple8.⎷·uniform´ement continue mais pas lipschitzienne surR+, et x?→x2continue non uniform´ement continue.

1.2 Prolongement par continuit´e

D ´efinition 9.SoitBcontenantA. On dit quefest prolongeable par continuit´e `a

Bs"il existeg:B→Rtel queg|A=f.Proposition 10.Sif? C(A\{a}) et que limafexiste et est finie, alorsfest

prolongeable par continuit´e `aA.

Exemple11.f?]0,+∞[→R

x?→xsin(1/x)se prolonge par continuit´e en0.

Contre-exemple12.f?]0,+∞[→R

x?→sin(1/x)ne se prolonge pas. D ´efinition 13.Sifcontinue surA\{a}, on dit que : -fa une discontinuit´e apparente enasi elle est prolongeable par continuit´e ena. -fa une discontinuit´e de premi`ere esp`ece enasi lima-f,lima+fexistent, sont finies et diff´erentes. -fa une discontinuit´e de seconde esp`ece enadans les autres cas.

Exemple14.La fonctionf:R+→R,x?→1x

six?= 0,f(0) = 0a une discontinuit´e de seconde esp`ece en0. La fonction partie enti`ere n"a que des discontinuit´es de premi`ere esp`ece.

1.3 Connexit´e et compacit´e

Th ´eor`eme 15(Valeurs interm´ediaires).SiIintervalle deRetf:I→Rcontinue, alorsf(I) est un intervalle. Application16(Brouwer).Toute fonction continuef: [0,1]→[0,1]a un point fixe. Th ´eor`eme 17.L"image d"un segment par une application continue est un segment. Application18.Sif? C([a,b]), on d´efinit sa norme uniforme?f?∞= maxx?[a,b]|f(x)|, et(C([a,b]),? · ?∞)est un espace de Banach. Th ´eor`eme 19(Heine).Sifest continue sur un segment, alorsfest uniform´ement continue sur ce segment.

2 D´erivabilit´e

2.1 G´en´eralit´es

SoitIintervalle ouvert deR.

D ´efinition 20.On dit quefest d´erivable `a gauche (resp. `a droite) ena?Isi lim h→0-f(a+h)-f(a)h (resp. limh→0+f(a+h)-f(a)h ) existe et est finie. On note alors respectivement ces limitesf?g(a),f?d(a). On dit quefest d´erivable enasi elle l"est `a gauche et `a droite et quef?g(a) =f?d(a). On note alorsf?(a) cette limite. Sif d´erivable surA, on appelle fonction d´eriv´eef?:a?→f?(a). Exemple21.f:x?→xnd´erivable surR,x?→1x d´erivable surR?+. Proposition 22.Sif,g:R→Rsont d´erivables ena, alorsf+g,fget (sig(a)?= 0) fg sont d´erivables ena, et (f+g)?(a) =f?(a) +g?(a),(fg)?(a) =f(a)g?(a) + f ?(a)g(a),(fg )?(a) =f?(a)g(a)-f(a)g?(a)g(a)2. Sigd´erivable enf(a), alorsg◦fd´erivable enaet (g◦f)?(a) =g?(f(a))f?(a). Exemple23.Les fonctions polynomiales sont d´erivables surR. Proposition 24.Sifd´erivable `a gauche et `a droite ena, alorsfcontinue ena. Contre-exemple25.x?→ |x|est continue mais pas d´erivable en0. Proposition 26.L"ensemble des fonctions continues sur [0,1] nulle part d´erivables sur ]0,1[ est dense dans (C([0,1]),? · ?∞).

2.2 Accroissements finis

Th ´eor`eme 27(Rolle).Soitfcontinue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[, telle quef(a) = f(b). Alors il existec?]a,b[,f?(c) = 0. Application28.SiP?R[X]est scind´e, alorsP?l"est aussi. Corollaire 29.Soitfcontinue sur [a,+∞[, d´erivable sur ]a,+∞[, telle quef(a) = 0 et lim+∞f= 0. Alors il existec?]a,+∞[,f?(c) = 0. Th ´eor`eme 30(Accroissements finis).Sifcontinue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[, il existec?]a,b[,f?(c) =f(b)-f(a)b-a. En particulier, s"il existeM >0 tel que Corollaire 31.Sifd´erivable sur ]a,b[, alorsfest constante sur [a,b] si et seulement si,?x?]a,b[,f?(x) = 0. De plus, sif?positive sur ]a,b[, alorsfcroissante sur [a,b]. Corollaire 32.Sifd´erivable surI\{a}et quef?poss`ede une limite finie?ena, alorsfd´erivable surIetf?(a) =?.2.3 R´egularit´e, d´eriv´ees d"ordre sup´erieur D ´efinition 33.On dit quefest de classeC1surIsi elle est d´erivable surIet que sa d´eriv´ee est continue surI.

Contre-exemple34.f:x?→?x2sin(1/x)six?= 0

0six= 0d´erivable surRmaisf?

non continue en0. Th ´eor`eme 35(Darboux).Sifd´erivable surI, alorsf?(I) est un intervalle. D ´efinition 36.Par r´ecurrence, on dit quefest de classeCk(k≥1) surIsi elle est d´erivable surIet quef?est de classeCk-1surI. On dit qu"elle est de classeC∞ si elle est de classeCkpour toutk≥1. Exemple37.x?→1]0,+∞[(x)e-1/xest de classeC∞surR.

3 Applications

3.1 D´eveloppements limit´es

Th ´eor`eme 38(Taylor-Young).Soitfde classeCnsurI, soita?I. Alors, lorsque x→a, on af(x) =n? k=0f (k)(a)k!(x-a)k+o((x-a)n). Corollaire 39.Sifest de classeCnsurI, alorsfposs`ede un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenen tout point deI. Proposition 40.Sifposs`ede un d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1 en 0, donn´e par f(x) =a0+a1x+o(x), alorsf(0) =a0etfd´erivable en 0,f?(0) =a1. Contre-exemple41.f:x?→1 +x+x2+x3sin(1/x2)six?= 0,f(0) = 1a un d´eveloppement limit´e `a l"ordre2en0mais n"est pas deux fois d´erivable en0.

3.2 Convexit´e

D ´efinition 42.Soitf:I→R. Elle est dite convexe si?x,y?I,?t?[0,1]f((1-

Exemple43.x?→ |x|etx?→ex

sont convexes surR. Proposition 44.Sifconvexe surI, alors pour touta?°I,f?g(a) etf?d(a) existent, etfest continue sur°I. Proposition 45.Sifd´erivable surI, alorsfconvexe surIssif?est croissante.

3.3 Suites r´ecurrentes

Soitf:I→Rtelle quef(I)?I. On consid`ere la suite d´efinie parx0?Iet ?n?N,xn+1=f(xn). Proposition 46.Sifcontinue et que la suite converge vers??I, alorsf(?) =?. D ´efinition 47.On supposefd´erivable surI, soitλpoint fixe def. Il est dit instable (resp. stable) si|f?(λ)|>1 (resp.|f?(λ)|<1). Proposition 48.Sixn→λetλpoint fixe instable, alors (xn)nstationne enλ. Si λpoint fixe stable, alors il existe un voisinageVdeλtel que?x0?V,xn→λ. Proposition 49(M´ethode de Newton pour les polynˆomes). SoitP(x) = (x-a1)m1× ··· ×(x-ar)mrfonction polynomiale, aveca1<···< ar et?i,mi≥0. Alors la suite d´efinie parx0> aret?n?N,xn+1=xn-P(xn)P ?(xn) d´ecroˆıt versar, et : - Simr= 1,?ε >0,|xn-ar|=o(εn). - Simr>1,?c >0,|xn-ar| ≂c? 1-1m r? n

D´eveloppements

- Densit´e des fonctions continues non d´erivables. - M´ethode de Newton pour les polynˆomes.

R´ef´erences

[Gou] X. Gourdon,Les maths en tˆete - Analyse, Ellipses. [Hau] B. Hauchecorne,Les contre-exemples en math´ematiques, Ellipses. [Pom] A. Pommellet,Cours d"analyse, Ellipses.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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