Fonctions continues et uniformement continues
Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues Mais pas d'extension possible à tout entier. En effet la fonction.
Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
Montrer que la fonction f(x) = x2 n'est pas uniformément continue sur. [0 +?[. Ce sera une conséquence de l'exercice 3
Chapitre8 : Fonctions continues
x n'est pas lipschitzienne sur [0 1]
I) Auto-test : Continuité
Donner 3 exemples de fonction non uniformément continue mais continues. 1. f : R?. +. ? R est continue mais pas uniformément continue sur R?.
Continuité uniforme - SamFaitDesMaths
20 oct. 2016 Exemple 4. x ?? x2 n'est pas uniformément continue sur R. Démonstration. Supposons que la fonction carrée soit uniformément conti-.
Université Paul Sabatier 2011/12 - Exercice 1. (extrait capes 2012
19 janv. 2012 (10) Soit J un intervalle d'intérieur non vide. Une fonction G uniformément continue sur tout intervalle [a b] inclus dans J est-elle ...
Chapitre 2 - Fonctions continues entre espaces métriques
Toute fonction uniformément continue est continue mais la réciproque est fausse. Exercice 2.3. Montrer que la fonction x ?? x2 n'est pas uniformément
1 Continuité 2 Dérivabilité
Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. uniformément continue mais pas lipschitzienne sur R+ et x ?? x2 continue non ...
Problème 1 : continuité uniforme
exponentielle est donc uniformément continue sur tout segment de R. Mais d'après la question 7.2 la fonction exponentielle n'est pas uniformément continue
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Cette fonction n'est pas continue en 0 mais elle satisfait bien la propriété des valeurs intermédiaires pour chaque couple de points dans R.
[PDF] Fonctions continues et uniformement continues
Mais pas d'extension possible à tout entier En effet la fonction valeurs absolue est uniformément continue sur (puisque 1-lipschitzienne) et pourtant
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Soient a et b deux réels avec a < b et soit f : [a b] ? R une fonction continue Alors f est uniformément continue sur [a b] Démonstration Par l'absurde
[PDF] Université Paul Sabatier 2011/12 - Exercice 1 (extrait capes 2012
(1) Écrire à l'aide de quantificateurs la proposition f n'est pas uniformément continue sur I (2) On rappelle qu'une fonction est lipschitzienne sur I de
[PDF] Fonctions continues entre espaces métriques
Toute fonction uniformément continue est continue mais la réciproque est fausse Exercice 2 3 Montrer que la fonction x ?? x2 n'est pas uniformément
[PDF] Limites et continuité chapitre 113 - cpge paradise
Une fonction uniformément continue n'est pas nécessairement lipschitzienne En effet il suffit de considérer la fonction de [01] dans [01] f : x ?? ?
[PDF] Chapitre8 : Fonctions continues - Melusine
Chapitre8 : Fonctions continues I désigne ici un intervalle infini de R (c'est-à-dire ni vide ni réduit à un singleton) D désigne une partie non vide de R
[PDF] Problème 1 : continuité uniforme
Mais d'après la question 7 2 la fonction exponentielle n'est pas uniformément continue sur R L'implication ((G uniformément continue sur tout segment contenu
[PDF] Feuille 2 Fonctions dune variable réelle
Soit ƒ une fonction continue sur R admettant des limites finies en +? et —? Montrer que ƒ est uniformément continue sur R Exercice 10 (Théorème de
[PDF] Limite et continuité de fonctions - MP Dumont
La somme et le produit de deux fonctions continues en un point sont continus en ce point L'inverse d'une fonction continue en un point non nulle en ce point
[PDF] Continuité
dire continue en tout point de D) mais n'est pas uniformément continue n'est pas toujours continue 2 3 Fonction continue sur un intervalle fermé borné
SESSION 2012
CAPES EXTERNE
MATHÉMATIQUES 1
Problème 1 : continuité uniforme
1.fn"est pas uniformément continue surIsi et seulement si
?ε > 0/?η > 0,?(x,y)?I2/(|x-y|?ηet|f(x) -f(y)|> ε).2.Soitfune fonctionk-lipschitzienne surIaveck > 0. Soitε > 0.
Soitη=ε
k. Soientxetydeux réels deItels que|x-y|?η. Alors |f(x) -f(y)|?k|x-y|?kη=ε.On a montré que?ε > 0,?η > 0/?(x,y)?I2,(|x-y|?η?|f(x)-f(y)|?ε)et doncfest uniformément continue surI.
3.3.1Soit(x,y)?R2.|x|=|(x-y) +y|?|x-y|±|y|et donc|x|-|y|?|x-y|. En appliquant ce résultat àyetx, on a
aussi|y|-|x|?|y-x|. Comme||x|-|y||est l"un des deux nombres|x|-|y|ou|y|-|x|, on a montré que||x|-|y||?|x-y|.
3.2Soit(x,y)?R2.
|f(x) -f(y)|=????11+|x|-11+|y|????
Donc, la fonctionfest1-lipschitzienne surRet en particulierfest uniformément continue surRd"après la question 2.
4.4.1Soientxetydeux réels positifs.
et donc, puisque les deux nombres x+yet⎷x+⎷ysont positifs, on en déduit que⎷x+y?⎷x+⎷yparstricte croissance de la fonctiont?→t2surR+.Soientxetydeux réels positifs.
x=⎷y+x-y??y+|x-y|?⎷y+?|y-x|, et doncx-⎷y??|x-y|. En appliquant àyetx, on a aussi⎷y-⎷x??|x-y|et finalement??⎷x-⎷y????|x-y|.
4.2Soitε > 0. Soitη=ε2> 0. Soientxetydeux réels positifs tels que|x-y|?η. Alors
x-⎷y????|x-y|?⎷ε2=ε.On a montré que?ε > 0,?η > 0/?(x,y)?[0,+∞[2,(|x-y|?η?|g(x) -g(y)|?ε)et doncgest uniformément
continue sur[0,+∞[.4.3Il s"agit de prouver que l"ensembleA=?|⎷
x-⎷y| |x-y|, x?0, y?0, x?=y? n"est pas une partie majorée deR. Cet ensemble contient les nombres de la forme x-⎷0| |x-0|=1⎷xoùx > 0. Comme limx→0+1⎷x= +∞, l"ensembleAn"est pas majoré et donc la fonctiongn"est pas lipschitzienne surR+. 5.5.1Soitε=1
2. Soitη > 0. Soitn?N?puisxn=⎷n+etyn=⎷n.
http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés. ?n?14η2
On choisit alorsn=E?1
4η2?
+1. D"après ce qui précède, on a|xn-yn|?η. D"autre part, |x2n-y2n|=x2n-y2n=n+1-n=1 > ε.On a montré que?ε > 0/?η > 0,?(x,y)?R2/(|x-y|?ηet|h(x) -h(y)|> ε)et donc que la fonctionhn"est pas
uniformément continue surR.5.2Puisquehn"est pas uniformément continue surR,hn"est pas lipschitzienne surRpar contraposition de l"implication
obtenue à la question 2. 6.6.1Fest uniformément continue surR+. On peut donc appliquer la définition de l"uniforme continuité avecε=1et on
obtient ?η1> 0/?(x,y)?(R+)2,(|x-y|?η1?|F(x) -F(y)|?1).6.2Soitn?N?.
x 0 n?η1?x0η1?n?n?E?x0η1? On en déduit l"existence et l"unicité den0:n0=?????1six0η1< 1
E?x0η1?
six0η1?1(carn0?N?). 6.3 n 0-1? k=0?F?(k+1)x0
n0? -F?kx0n0?? =F?n0x0n0? -F(0) =F(x0) -F(0)(somme télescopique). Par suite, |F(x0) -F(0)|=?????n 0-1? k=0?F?(k+1)x0
n0? -F?kx0n0?? ??n 0-1? k=0????F?(k+1)x0n0?
-F?kx0n0?6.4Soitk??0,n-1?.????(k+1)x0
n0-kx0n0???? =x0n0?η1et donc????F?(k+1)x0n0?
-F?kx0n0? ??1. Par suite, |F(x0) -F(0)|?n 0-1? k=01=n0.Maintenant, si
x0η1?1,n0=E?x0η1?
?x0η1+1ce qui reste vrai dans le cas oùx0η1< 1. On en déduit queF(x0)?|F(x0)|?|F(x0) -F(0)|+|F(0)|?n0+|F(0)|?1
η1x0+ (1+|F(0)|).
On a trouvé deux réelsaetb(indépendants dex0), à savoira=1η1etb=1+|F(0)|, tels queF(x0)?ax0+b. On a
montré que ?(a,b)?R2/?x?R+,F(x)?ax+b.7.SoitFune fonction uniformément continue surR. AlorsFest en particulier une fonction uniformément continue surR+
et?(a,b)?R2/?x?R+,F(x)?ax+b. Pourx?1, on en déduit queF(x) x?a+bx?a+b. Ainsi, siFest uniformément continue surR, nécessairement la fonctionx?→F(x) xest majorée sur[1,+∞[. http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.7.1)SoitPun polynôme de degré supérieur ou égal à2. On suppose sans perte de généralité, quite à remplacerPpar
-P, que dom(P)> 0. On sait alors que limx→+∞P(x) x= +∞. D"après la remarque précédente,Pn"est pas uniformément continue surR.7.2De même, puisque limx→+∞e
xx= +∞d"après un théorème de croissances comparées, la fonction exponentielle n"est pas
uniformément continue surR.8. Théorème de Heine.
8.1PuisqueGn"est pas uniformément continue sur[a,b],
?ε > 0/?η > 0,?(x,y)?[a,b]2/(|x-y|?ηet|G(x) -G(y)|> ε). εest ainsi dorénavant fixé. On applique cette définition aux cas particuliersη=1 noùnest un entier naturel non nul donné et on obtient ?ε > 0/?n?N?,?(xn,y)?[a,b]2/? |xn-yn|?1 net|G(x) -G(y)|> ε?8.2Les suites(xn)n?N?et(yn)n?N?sont à valeurs dans[a,b]et donc(xn)n?N?et(yn)n?N?sont deux suites réelles
bornées. Le théorème deBolzano-Weierstrasspermet d"affirmer que l"on peut extraire de la suite(xn)n?N?une sous-
suite(xψ(n))n?N?convergente. La suite(yψ(n))n?N?est toujours bornée et on peut en extraire une sous-suite(yσ(n))n?N?
convergente. La suite(yσ(n))n?N?est alors une sous-suite convergente de la suite(yn)n?N?. Enfin, la suite(xσ(n))n?N?est
convergente en tant que suite extraite de la suite convergente(xψ(n))n?N?et donc la suite(xσ(n))n?N?est une sous-suite
convergente de la suite(xn)n?N?.Il est connu que, puisqueσest une application strictement croissante deN?dans lui-même, on a en particulier?n?N?,
σ(n)?net donc
?n?N?,??xσ(n)-yσ(n)???1σ(n)?1net??G(xσ(n)) -G(yσ(n))??> ε.
8.3Puisque?n?N?,??xσ(n)-yσ(n)???1
n, le théorème des gendarmes permet d"affirmer que limn→+∞?xσ(n)-yσ(n)?=0. Puisque les suites(xσ(n))n?N?et(yσ(n))n?N?sont convergentes, on peut alors écrire lim et donc limPour toutn?N?,a?xσ(n)?b, par passage à la limite quandntend vers+∞on obtienta?x?b. PuisqueGest
continue sur[a,b]et en particulier enx, on doit avoir limn→+∞?G(xσ(n)) -G(yσ(n))?=G(x) -G(x) =0. Ceci contredit le
fait que?n?N?,??G(xσ(n)) -G(yσ(n))??> ε. Il était donc absurde de supposer queGn"était pas uniformément continue
sur[a,b]. Le théorème deHeineest démontré.9.La fonction exponentielle est continue sur tout segment contenu dansR. D"après le théorème deHeine, la fonction
exponentielle est donc uniformément continue sur tout segment deR. Mais d"après la question 7.2, la fonction exponentielle
n"est pas uniformément continue surR. L"implication ((Guniformément continue sur tout segment contenu dansJ)?(G
uniformément continue surJ)) est donc une implication fausse.Problème 2 : marches aléatoires
Partie A : quelques résultats d"analyse
1.1.1Soitk?N?. La fonctiont?→1
test continue et décroissante sur[k,k+1]. Par suite, pour tout réeltde[k,k+1], on a 1 k+1?1t?1k. D"après l"inégalité de la moyenne, on a alors 1 k+1=(k+1) -kk+1?? k+1 k1tdt?(k+1) -kk=1k. http ://www.maths-france.fr 3 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.1.2Soitn?1. Pour toutk??1,n?,?
k+1 k1tdt?1k. En sommant ces inégalités, on obtient H n=n? k=11 k?n? k=1? k+1 k1tdt=? n+111tdt=ln(n+1).
Soitn?2. Pour toutk??2,n?,1
k?? k k-11tdt. En sommant ces inégalités, on obtient n k=21 k?n? k=2? k k-11tdt=? n11tdt=ln(n),
puis en rajoutant1à chaque membre de l"inégalité, on obtientHn?1+ln(n). Cette dernière inégalité reste vraie pour
n=1carH1=1et on a donc montré que ?n?N?, ln(n+1)?Hn?1+ln(n).Soitn?2. Alors ln(n)> 0et en divisant les deux membres de l"encadrement précédent par ln(n), on obtientln(n+1)ln(n)?
H nln(n)?1+1ln(n). Quandntend vers+∞,1+1ln(n)tend vers1et d"autre part,ln(n+1)ln(n)tend vers1car ln(n+1)≂ln(n).
Le théorème des gendarmes permet alors d"affirmer que Hn ln(n)tend vers1ou encore que H n≂n→+∞ln(n).2.Soitn?N?.Kn+1-Kn=1(n+1)2> 0. Donc la suite(Kn)n?N?est strictement croissante. D"autre part, pourn?2,
K n=1+n? k=21 k×k?1+n? k=21(k-1)×k=1+n? k=2?1k-1-1k?
=1+1-1 n(somme télescopique) ?2.ce qui reste vrai pourn=1. Ainsi, la suite(Kn)n?N?est croissante et majorée par2et donc la suite(Kn)n?N?converge.
3.Déterminons un équivalent deanquandntend vers+∞:
a n=⎷ n4n×(2n)!n!2
n→+∞⎷ n4n×?
2n e?2n⎷4πn
??n e? n⎷2πn?2=⎷
n n n×⎷ 4π2π=1⎷π.
lim n→+∞an=14.Soitn?N?.
a n+1 an=⎷ n+1 n+1 puis a n+1 an-1=2n+1-2⎷ n⎷n+12⎷n⎷n+1=?
n?2-2⎷n⎷n+1+?⎷n+1?22⎷n⎷n+1=?⎷
n+1-⎷n?22⎷n⎷n+1.
http ://www.maths-france.fr 4 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.5.On en déduit que pour toutn?N?,an+1an-1 > 0puis quean+1> an(caran> 0). Ainsi, la suite(an)n?N?est
strictement croissante et tend vers 1 ⎷πd"après la question 3. Mais alors ?n?N?,an?1 6.6.1Soientaetbdeux réels.
(a+b)2-4ab=a2-2ab+b2= (a-b)2?0, et donc(a+b)2?4ab.6.2Soitn?N?.⎷
n+1-⎷n=1⎷n+⎷n+1. De plus, d"après la question précédente,?⎷n+⎷n+1?2?4⎷n⎷n+1.
Par suite,
7.7.1Soitn?N?. On sa it déjà quean+1-an?0. Ensuite,
a n+1-an=an?an+1 an-1? =an?⎷ n+1-⎷n?22⎷n⎷n+1(d"après la question 4)
×14?n(n+1)×12?n(n+1)(d"après les questions 5 et 6.2) 18n(n+1)⎷π.
?n?N?,0?an+1-an?18n(n+1)⎷π.
7.2L"inégalité est claire sip=k. Soientketpdeux entiers naturels tels que1?< p.
a p-ak=p-1? i=k(ai+1-ai) (somme télescopique) p-1? i=k18i(i+1)⎷π(d"après la question 7.2)
18⎷πp-1?
i=k?1i-1i+1?
=18⎷π?1k-1p?
(somme télescopique) 18k⎷π.
7.3kétant fixé, on fait tendrepvers+∞dans l"encadrement précédent. D"après la question 3, on obtient
?k?N?,0?1 ⎷π-ak?18k⎷π.Partie B : marche aléatoire sur une droite
http ://www.maths-france.fr 5 c?Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.1.Pour tout entier naturel non nuln,Un=2n?
k=1O k. 2.2.1Soitk?0. Une marche aléatoire de l"instant0à l"instantks"identifie à unk-uplet(x1,x2,...,xk)d"éléments
de l"ensemble{-1,1}. L"abscisse de la particule à l"instantkestx1+x2+...+xkpuis l"abscisse de la particule est
x1+x2+...+x2k+x2k+1. Modulo2,x1+x2+...+x2k+x2k+1≡1+1+...+1=2k+1≡1. Ainsi, l"abscisse de la
particule à l"instant0est un nombre impair et en particulier n"est jamais égale à0. Doncp(O2k+1=1) =0.
2.2Soitk?1. Le nombre total de2k-uplets d"éléments de{-1,1}est22k=4k. D"autre part, une marche aléatoire de
l"instant0à l"instant2kaboutissant enOs"identifie à un2k-uplet(x1,...,x2k)d"éléments de{-1,1}tel quex1+x2+...+
x2k=0c"est-à-dire un2k-uplet(x1,...,x2k)d"éléments de{-1,1}contenant de1que de-1. Il y a?2k
k? tels2k-uplets, 2k k? étant le nombre de choix de l"emplacement deknombres1dans2kplaces. Finalement,p(O2k=1) =? 2k k? 4k.3.Soitk?N?.E(O2k+1) =0×p(O2k+1=0) +1×p(O2k+1=1) =0. D"autre part,
E(O2k) =0×p(O2k=0) +1×p(O2k=1) =1
4k? 2k k?quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] sciences des aliments cours pdf
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