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EXERCICES24 novembre 2022 à 12:06

Rappels sur la dérivabilité.

Compléments et convexité

Définition

EXERCICE1

À l"aide de la représentation graphique ci-contre de la fonctionf, remplir le tableau suivant : x-102 f(x) f?(x)

1 2 3-1-2-3

-1 -231 23
O

EXERCICE2

On a représenté les courbes des fonctionsfetg: f(x) =? x2-x+1etg(x) =-14x2+x+14

1) Que peut-on conjecturer pour ces deux cour-

bes au point d"abscisse 1?

2) Démontrer la conjecture.

1 21 21O

Calculs de dérivées

EXERCICE3

Dans chaque cas, donner le domaine de dérivabilité puis calculerla fonction dé- rivéef?de la fonctionfen cherchant à factoriserf?.

1)f(x) =x3-3x2+x-1

6

2)f(x) =1-2x

x-2

3)f(x) =x-6+9

x-14)f(x) =x2+x-2 x2+x+1

5)f(x) =?x2+2x-3?2

6)f(x) =?x+1

x+2? 3

EXERCICE4

Dans chaque cas, donner le domaine de dérivabilité puis calculerla fonction dé- rivéef?de la fonctionfen cherchant à factoriserf?.

1)f(x) =⎷

4-x2)f(x) =?x+1

2-x3)f(x) =x+1⎷x2+x+1

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

EXERCICE5

Dans chaque cas, donner le domaine de dérivabilité puis calculerla fonction dé- rivéef?de la fonctionf.

1)f(x) = (x2+1)ex2)f(x) =e-x+23)f(x) =xe-x

4)f(x) =ex2-x5)f(x) =ex

x-16)f(x) =cos2x

Équation de la tangente

EXERCICE6

Dans chacun des cas, écrire l"équation de la tangente à la courbeCfdefau point d"abscisse indiqué.

1)f(x) =x3+x2-3x a=12)f(x) =x

x2+1a=2

EXERCICE7

Soit la fonctionfdéfinie surR-{-1}par :f(x) =x2-3x+1x+1

1) Calculer les limites en-1 et en+∞et-∞

2) Calculer la fonction dérivée de la fonctionf.

3) Dresser le tableau de variation de la fonctionf. On calculera les valeurs appro-

chées des extremum de la fonctionfà 10-2.

4) Existe-t-il des tangentes àCfparallèles à la droite d"équationy=-4x-5?

Si oui, donner l"équation de cette ou ces tangente(s).

5) Existe-t-il des tangentes àCfparallèles à la droite d"équation 3x-2y=0?

Si oui, donner l"équation de cette ou ces tangente(s).

6) Vérifier ces résultats sur votre calculatrice.

Fenêtre :x?[-15 ; 13]ety?[-20 ; 10]et graduation : 5 sur les deux axes.

EXERCICE8

Soit la fonctionfdéfinie par :f(x) =⎷5x+1

x

1) a) Déterminer l"ensemble de définition def.

b) Déterminer les limites en 0 et en+∞.

2) a) Sur quel ensemble la fonctionfest-elle dérivable?

b) Déterminer alors la fonction dérivéef?. c) Déterminer le signe def?puis dresser le tableau de variation def.

3) a) Que peut-on dire de la tangente àCfen-1

5? b) Représenter la courbeCf.

PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

Fonction composée

EXERCICE9

Soit les fonctionfetgdéfinies par :f(x) =⎷x3-3x+3 etg(x) =x3-3x+3.

1) Démontrer que l"équationg(x) =0 admet une unique solutionαsurR.

Donner, à l"aide de la calculatrice, une valeur approchée deαau centième.

2) En déduire les ensembles de définition et de dérivation def.

3) Dresser le tableau de variation defà l"aide de la fonctiong.

Convexité

EXERCICE10

1) Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x3-2x2+3x+1.

Étudier la convexité de la fonctionfsurR.

2) Soit la fonctiongdéfinie surRpar :g(x) =xe-x.

Étudier la convexité de la fonctiongsurR.

EXERCICE11

Soit la fonctionfdéfinie surR?par :f(x) =exx

1) Montrer quef??(x) =(x2-2x+2)ex

x3.

2) En déduire un point d"inflexion éventuel de la courbeCf.

EXERCICE12

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) = (x2+2)ex

1) Calculerf?puisf??.

2) En déduire la convexité et d"éventuels points d"inflexion de la courbeCf.

EXERCICE13

Soitfla fonction définie surRpar :f(x) =xex2-1.

1) a) Déterminerf?(x).

b) En déduire la monotonie defsurR.

2) a) Montrer que, pourx?R:f??(x) =2x(2x2+3)ex2-1.

b) Déterminer l"intervalle sur lequel la fonctionfest convexe.

3) Soithla fonction définie surRpar :h(x) =x-f(x). On admet que l"inéqua-

tion 1-ex2-1?0 a pour ensemble de solutions l"intervalle[-1 ; 1]. Déterminer le signe deh(x)sur[-1 ; 1]et en déduire la position relative de la courbeCfet de la droitedd"équationy=xsur[-1 ; 1]. Que peut-on déduire sur la courbeCfau point d"abscisse 0?

PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ

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