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Université Pierre & Marie Curie L3 de Mathématiques LM 360 (Topologie et Calcul différentiel) Automne 2012 TD n ◦4. Connexité Exercice 1.Les parties suivantes deR2sont-elles connexes par arcs? connexes? {(x,y)?R2||x|>1et|y|>1},{(x,y)?R2|x= 1oux=-1ouy= 1ouy=-1}

Exercice 2.SoientXetYdeux espaces métriques. Un homéomorphismeX→Yest une bijection continue

d"inverse continue (s"il existe un tel homéomorphisme, on dit queXetYsont homéomorphes). a) Montrer que les parties suivantes deR2sont homéomorphes {(x,y)?R2/x >0ety >0}et{(x,y)?R2/x <0ety >0}. {(x,y)?R2/y=e-x}et{(x,y)?R2/x= cosy}. b) Montrer queR,R2,[0,1[,[0,1]etS1:={z?C,|z|= 1}sont deux à deux non homéomorphes. c) Classer les lettres de l"alphabet (en majuscule) par classe d"homéomorphisme. Exercice 3.Montrer qu"un plan privé d"un nombre fini de points est connexe. Exercice 4.SoitS1={z?C||z|= 1}. Soitf:S1→Rcon tinue. Montrer qu"il existez?Stel que f(z) =f(-z)(on pourra étudier le signe de la fonctionz?→f(z)-f(-z)).

Exercice 5.SoitIun intervalle deRetf:I→Rune application continue. Montrer quefest injective si et

seulement si elle est strictement monotone.

Exercice 6.Soitf:R→Rune fonction dérivable. Montrer quef?satisfait le principe des valeurs intermédiaires

i.e. l"image parf?d"un intervalle est un intervalle.

Exercice 7.Quelles sont les composantes connexes par arcs deQ? Quelles sont les composantes connexes par

arcs de{0,1}? de{0,1}N? Indication : On pourra montrer que pour touti?N, l"applicationPiqui a une suite(xn)n?Nassociexiest continue.

Exercice 8.SoientAetBdeus parties fermées d"un espace métriqueX. On suppose queA?BetA∩Bsont

connexes par arcs, montrer queAetBsont connexes par arcs. Exercice 9.SoitXetYdeux espaces métriques non vides. a) Montrer queX×Yest connexe par arcs si et seulement siXetYsont connexes par arcs. Indication : On pourra commencer par montrer que{x} ×Yest connexe par arcs pour toutx?X. b) Montrer que les composantes connexes deX×Ysont de la formeA×BoùAetBsont des composantes connexes par arcs deXet deY.

Exercice 10.SoitX:={(x,sin(1x

))}x?]0,∞[? {(0,y)}y?[-1,1]?R2. a) Montrer queXest connexe. b) Soitf= (f1,f2) : [0,1]→Xune application telle quef1soit continue,f1(0) = 0etf1(1)>0. Soit t

0= supf-11(0). Montrer que pour toutα >0f2([t0,t0+α]) = [-1,1]. En déduire quefn"est pas

continue et queXn"est pas connexe par arcs. Exercice 11.On se place dansMn(K), oùK=RouC, l"ensemble des matrices de taillen×n. a) Montrer queGLn(R) :={M?Mn(R)|det(M)?= 0}est un ouvert non connexe deMn(R). b) Montrer queGLn(C) :={M?Mn(C)|det(M)?= 0}est un ouvert connexe par arcs deMn(C).

Indication : on pourra commencer par montrer que l"ensemble des matrices triangulaires supérieures sans

zéro sur la diagonale est connexe, puis utiliser la triangularisation. c) Montrer queSLn(R) :={M?GLn(R)|det(M) = 1}est un fermé connexe par arcs deMn(R). d) Montrer que l"ensemble des matrices diagonalisable deMn(R)est connexe par arcs.

Exercice 12.SoitXun espace métrique compact. Soit(Fn)n?Nune suite décroissante de fermés connexes.

Montrer que?

n?NFnest connexe.

Exercice 13.Montrer qu"un espace métrique(X,d)est connexe si et seulement si toute fonction continue

X→ {0,1}, où{0,1}est muni de la distance discrète (δ(x,y) = 1six?=y,0sinon) est constante. En déduire

qu"une réunion quelconque de connexes ayant un point commun est connexe. 1

Pour aller plus loin...

Exercice 14.SoitXun espace métrique connexe. Montrer que pour toutx,y?Xet toutε >0, il existe une

?-chaîne joignantxety(i.e. il existen?N,x0,...,xn?Xtels quex0=x,xn=yet?i? {0,1,...,n-1}, d(xi,xi+1)< ε).

Montrer qu"un espace métriqueXcompact bien enchaîné (i.e.?x,y?Xet?ε >0il existe uneε-chaîne

joignantxety) est connexe.

Exercice 15.SoientAn={(1n

{(x,2n,x(1n }etX=? n?N(An?Bn?Cn)?R3. Montrer queXest connexe mais n"est pas connexe par arc.

Exercice 16.SoitXun espace métrique compact et connexe. Montrer que l"ensemble des fermés non vides de

X, muni comme dans l"exercice 13 de la feuille 4 de la distance

δ(F1,F2) = max(sup

x?F2d(x,F1),sup x?F1d(x,F2)), est connexe.

Exercice 17.Si(X,d)est un espace métrique, on munit l"espaceΩX:={f? C([0,1],X)|f(0) =f(1)}de la

distance uniforme d(f1,f2) = sup x?[0,1]|f1(x)-f2(x)|.

a) Montrer que sif:X→Yest une application continue, l"applicationΩf: ΩX→ΩYqui àgassocief◦g

est continue (on pourra commencer par montrer que siKest un compact deX, pour tout? >0, il existe b) Montrer queΩRnest connexe. c) On considèreX0=C\0. Montrer queX0est localement connexe.

d) Sin?Z, on définitfn?ΩX0parfn(x) =e2iπnx. Montrer que pour toute composante connexe deX0, il

existe un uniquen?Ztel quefn?X0(on pourra montrer que l"application{f? C([0,1],C)|f(1)-f(0)? Z} →ΩX0qui àfassociee2iπfest surjective). e) En déduire queCetC\{0}ne sont pas homéomorphes. 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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