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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

Topologie Feuille n

◦4Connexit´e

Exercice 1SoitXun espace m´etrique.

1. Montrer queXest connexe si et seulement si toute application continuef:X→ {0,1}

est constante.

2. SoitAune partie deXconnexe. Montrer que toute partieB?Ev´erifiantA?B?A

est connexe.

3. Si (An)n?0est une suite de parties connexes deXtelle queAn∩An+1?=∅pour tout

n?0. Prouver que? n?0Anest connexe.

Exercice 2D´eterminer les parties connexes de

{(x,y)?R2;x?=y}et de{(z,w)?C2;z?=w}. Exercice 3SoitAetBdes parties deX. On supposeBconnexe et queB∩AetB∩?Asont non vides. Montrer queBcoupe la fronti`ere deA. Exercice 4NotonsT={0}×[-1,1]?[-1,1]×{0}muni de la topologie induite par celle de R 2.

1. Montrer queTest compact et connexe et quef(T) est un segment sif:T→Rest une

fonction continue.

2. D´eterminer les pointsx?Tpour lesquelsT\ {x}est connexe.

3. Montrer queTn"est hom´eomorphe `a aucune partie deR.

Exercice 51. Montrer qu"il existe une surjection continue deRsurS1={z?C;|z|= 1} et qu"il n"existe pas d"injection continue deS1dansR.

2. Montrer qu"il n"existe pas d"injection continue deR2dansR.

Exercice 6DansR2, soitBal"ensemble{a}×]0,1] siaest rationnel etBa={a} ×[-1,0] si aest irrationnel. Montrer queB=? a?RBaest une partie connexe deR2. Exercice 7SoitIun intervalle ouvert deRet soitf:I→Rune application d´erivable. Notons

A={(x,y)?I×I;x < y}.

1. Montrer queAest une partie connexe deR2.

2. Pour (x,y)?A, posonsg(x,y) =f(y)-f(x)y-x. Montrer queg(A)?f?(I)?g(A).

3. Montrer quef?(I) est un intervalle.

Ce r´esultat signifie quela d´eriv´ee de toute fonction d´erivable poss`ede la propri´et´e de la valeur

interm´ediaire(un th´eor`eme de Darboux). Exercice 8SoitXun espace m´etrique et (Ai)i?Iune famille de parties connexes par arcs de

Xtelle que?

i?IAi?=∅. Montrer que? i?IAiest connexe par arcs. Exercice 9DansR2on consid`ere l"ensembleA={(x,sin(1x )) ;x >0}.

1. Montrer queAest une partie connexe et connexe par arcs deR2.

2. D´eterminerAet justifier queAest connexe.

3. Montrer queAn"est pas connexe par arcs.

1

Biblioth`eque d"exercicesIndications

Topologie Feuille n

◦4Connexit´e Indication 1Utiliser la premi`ere question pour les deux suivantes. Indication 3Utiliser la partitionX=°A?FrA?(X\¯A) o`u FrA=¯A\°Aest la fronti`ere de A. Indication 4Faites un dessin deT. Pour la derni`ere question, raisonner par l"absurde. O`u peuvent s"envoyer les points de la deuxi`eme question? Indication 51. Pour la surjection, pensez `a l"exponentielle ou aux sinus et cosinus... Pour l"injection, raisonner par l"absurde et utiliser la connexit´e du cercle priv´e d"un point.

2. Raisonner par l"absurde et utiliser la connexit´e deR2priv´e d"un point.

Indication 6D´efinirg:R-→ {0,1}tel queg(x) prend la valeur qu"afsurBx. Montrer pour chaque points deR\Q,gest constante dans un voisinage de ce point, puis faire la mˆeme chose pour un point deQ. Conclure.

Indication 71. Faire un dessin!

2. Utiliser le th´eor`eme des accroissements finis d"une part. La d´efinition de la d´eriv´ee d"autre

part.

3. Utiliser l"exercice 1 ou refaire la demonstration.

Indication 91. Faire un dessin!!

2. Voir l"exercice 1.

3. Raisonner par l"absurde. Prendre un chemin qui relie le point (0,0) au point (12π,0) (par

exemple). Ce chemin va quitter `a un instantt0le segment{0} ×[-1,1]. Chercher une contradiction `a ce moment l`a. 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

Topologie Feuille n

◦4Connexit´e

Correction 11. C"est du cours.

2. Sif:B-→ {0,1}est continue alors elle induit une application restreintef|A:A-→

{0,1}continue. Doncfest constante surA. Soitb?Bet soit (an) une suite d"´el´ements deAqui tendent versb(c"est possible carB?¯A), alorsf(an) est constante, par exemple ´egal `a 1, carAest connexe. Maisfest continue surB, doncf(b) = limf(an) = 1. On montre ainsi quefest constante surB. DoncBest connexe. (Au passage on a montrer que¯A´etait connexe.)

3. Soitf:A-→ {0,1}une fonction continue, o`uA=?An.A0est connexe doncfest

constante surA0et vautv0, de mˆemeA1est connexe doncfest constante surA1et vaut v

1. Mais poura?A0∩A1?=∅, on af(a) =v0cara?A0etf(a) =v1cara?A1. Donc

v

0=v1. Doncfest constante surA0?A1. Par r´ecurrencefest constante surA.

Correction 21. DansR2il y a deux composantes connexes :{(x,y)?R2;x > y}et {(x,y)?R2;x < y}.

2. DansC2il n"y en a qu"une seule :{(z,w)?C2;z?=w}

Correction 3Notons la fronti`ere FrA=¯A\°A. Nous avons la partitionX=°A?FrA?(X\¯A). De plus, par hypoth`eses,B∩A?=∅etB∩FrA=∅or°A=A\FrAdoncB∩°A?=∅. Comme FrA= Fr(X\A) on aB∩Fr(X\A) =∅. Par hypoth`eseB∩(X\A)?=∅donc B∩(X\¯A) = (B∩(X\A))\(B∩Fr(X\A))?=∅. Nous avons montrer queBest inclus dans l"union de deux ouverts disjoints°AetX\¯A, d"intersection non vide avecB, doncBn"est pas connexe. Par contraposition, siBest connexe alorsBne rencontre pas la fronti`ere deA. Correction 41.Test compact car c"est un ferm´e born´e deR2. Soitg:T-→ {0,1}une application continue. Par connexit´e du segment [-1,1],gest constante sur{0}×[-1,1] (et vautv);gest aussi constante sur [-1,1]×{0}et vautv?. Mais alorsv=g(0,0) =v?doncgest constante surT. DoncTest connexe. Pourf:T→Rune fonction continue.Test compact doncf(T) est compact.Test connexe doncf(T) est connexe. Doncf(T) est un compact connexe deRc"est donc un segment compact.

2. Ce sont les quatre points cardinauxN= (0,1),S= (0,-1),E= (1,0),W= (-1,0).

3. Par l"absurde, supposons queTsoit hom´eomorphe `a une partieIdeR, alors il existe

un hom´eomorphismef:T-→I. Par le premier pointIest un segment compactI= [a,b].T\ {N}est connexe donc sont image parf,f(T\ {N}) est connexe, mais c"est

aussi le segmentIpriv´e d"un point.Ipriv´e d"un point ´etant connexe, le point retir´e est

n´ecessairement une extr´emit´e. Doncf(N) =aouf(N) =b. Supposons par exemple f(N) =a. On refait le mˆeme raisonnement avecS, qui s"envoie aussi sur une extr´emit´e, commefest bijective cela ne peut ˆetrea, doncf(S) =b. Maintenantf(E) est aussi une extr´emit´e doncf(E)? {a,b}. Mais alorsfn"est plus injective car on af(E) =f(N) ou f(E) =f(S). Contradiction. 1 Correction 51. (a)φ:R-→S1d´efinie parφ(t) =eitest une surjection continue. (b)S1est un compact connexe donc, par l"absurde, siψ:S1-→Rest une injection continue alorsψ(S1) est un compact connexe deRdonc un segment compactI. Soit y?°I, commeIest l"image deS1alors il existe un uniquex?S1tel quef(x) =y. L"applicationfinduit alors une bijection continuef:S1\ {x} -→I\ {y}. Mais S

1\{x}est connexe alors que son image parf, qui estI\{y}ne l"est pas (cary?°I).

L"image d"un connexe par une application continue doit ˆetre un connexe, donc nous avons une contradiction.

2. Siχ:R2-→Rest une injection continue. CommeR2est connexef(R2) =Iest un

connexe deRdonc un segment (non r´eduit `a un point!). Prenonsyun ´el´ement de°I, soit x?R2tel quef(x) =y. AlorsR2\ {x}est connexe,I\ {y}ne l"est pas, etfest une bijection continue entre ces deux ensembles, d"o`u une contradiction. Correction 6L"ensembleBest connexe si et seulement si toute fonction continuef:B→ {0,1}est constante. Soit alorsf:B→ {0,1}une fonction continue et montrons qu"elle est constante. Remarquons que la restriction def`a tout ensembleBaest constante (Baest connexe). On d´efinitg:R-→ {0,1}tel queg(x) prend la valeur qu"afsurBx. Nous allons montrer que gest localement constante (on ne sait pas sigest continue). - Soita /?Qalors on a (a,0)?B,fest une fonction continue et{f(a,0)}est un ouvert de{0,1}, doncf-1({f(a,0)}) est un ouvert deB. Donc il existeε >0 tel que si (x,y)?

(]a-ε,a+ε[×]-ε,ε[)×Balorsf(x,y) =f(a,0). Alors pourx?]a-ε,a+ε[ on ag(x) =g(a) : si

x /?Qalorsg(x) =f(x,0) =f(a,0) =g(a); et six?Qalorsg(x) =f(x,ε2 ) =f(a,0) =g(a). Doncgest localement constante au voisinage des point irrationnels. - Sia?Qet soitb?]0,1] alorsfest continue en (a,b) donc il existeε >0 tel que pour tout x?]a-ε,a+ε[∩Q,g(x) =f(x,b) =f(a,b) =g(a). Si maintenantx?]a-ε,a+ε[∩(R\Q), on prend une suite (xn) de rationnels qui tendent versx. Commefest continue alorsg(a) = g(xn) =f(xn,b) tend versf(x,b) =g(x). Doncg(a) =g(x). Nous avons montrer quegest localement constante au voisinage des point rationnels. - Bilan :gest localement constante surR. CommeRest connexe, alorsgest constante surR. Doncfest constante surR. Ce qu"il fallait d´emontrer.

Correction 71.Aest connexe car connexe par arcs.

2. Siz?g(A) alors il existe (x,y)?Atel queg(x,y) =z. Doncz=f(y)-f(x)y-xpar le

th´eor`eme des accroissements finis il existet?]x,y[?Itel quez=f?(t) doncz?f?(I).

Doncg(A)?f?(I).

Si maintenantz?f?(I), il existey?Itel quez=f?(y), mais par d´efinition de la d´eriv´ee f ?(y) est la limite def(y)-f(x)y-xquandxtend versy(et on peut mˆeme dire que c"est la limite `a gauche, i.e.x < y). Doncf?(y) est limite de points deg(x,y) avecx < y, donc de points deA. Conclusionz=f?(y) est dansg(A), et doncf?(I)?g(A).

3.Aest connexe,gest continue surAdoncg(A) est un connexe deR. Par l"exercice 1

comme on a g(A)?f?(I)?g(A) avecg(A) connexe alorsf?(I) est connexe. Commef?(I) est un connexe deRc"est un intervalle. 2

Correction 8Soita??

i?IAi; soitx,y?? i?IAi. Il existei1tel quex?Ai1on a aussi a?Ai1donc il existe une cheminγ1qui reliex`aa. De mˆeme il existei2tel quex?Ai2et on a ´egalementa?Ai2donc il existe une cheminγ2qui reliea`ay. Le cheminγ2◦γ1reliex`ay.

Ceci ´etant valable quelque soientxety,?

i?IAiest connexe par arcs.

Correction 91. Si (x1,sin1x

1) et (x2,sin1x

2) sont deux points deAalors le graphe au

dessus de [x1,x2] d´efinie un chemin reliant ces deux points. Plus pr´ecis´ement le chemin est l"applicationγ: [x1,x2]-→R2d´efinie parγ(t) = (t,sin1t ). DoncAest connexe par arcs donc connexe. 2. ¯A=A?({0}×[-1,1]). On peut utiliser l"exercice 1 pour montrer que¯Aest connexe. Ici nous allons le montrer directement. Supposons, par l"absurde, que¯A?U?VavecUet Vdes ouverts deR2disjoints, d"intersection non vide avecA. Comme{0} ×[-1,1] est connexe il est enti`erement inclus dans un des ouverts, supposons qu"il soit inclus dansU. CommeAest connexe alors il est inclus dans un des ouverts, donc il est inclus dansV (car s"il ´etait inclus dansU, tout¯Aserait contenu dansU). Trouvons une contradiction en prouvant qu"en faitU∩A?=∅. En effetUest un ouvert et (0,0)?U, soitB((0,0),ε) une boule contenue dansU. Pournsuffisamment grand on axn=12πn< εavec sin1x n= sin2πn= 0 donc (xn,sin1x n) = (xn,0) est un ´el´ement deAet deU. CommeVcontient AalorsU∩V?=∅. Ce qui fournit la contradiction.

3. Montrons que

¯An"est pas connexe par arcs. SoitO= (0,0) etP= (12π,0) deux points de¯A, par l"absurde supposons qu"il existe un cheminγ: [0,1]-→¯Atel queγ(0) =O

etγ(1) =P. On d´ecompose en coordonn´eesγ(t) = (γ1(t),γ2(t))?R2.γ-11({0}) est un

ferm´e carγ1est continue et de plus il est non vide carγ1(0) = 0. Soitt0= supγ-11({0}), comme l"ensemble est ferm´e alorsγ1(t0) = 0 et de plust0<1 carγ1(1) =12π. On regarde ce qui se passe au tempst0, c"est l"instant ou notre chemin "quitte" l"ensemble {0} ×[-1,1]. Notonsy0=γ2(t0). Commeγ2est continue eny0et pourε=12 il existe

η >0 tel que (|t-t0|< η? |γ2(t)-y0|<12

). Choisissonst1?]t0,t0+η[. Alorst1> t0

doncγ1(t1)>0. Donc le pointγ(t1) = (γ1(t1),γ2(t1)) est dansA(et plus seulement dans¯A).

Supposons par exempley0?0, alors quandxparcourt ]γ1(t0),γ1(t1)[, sin1x atteint la valeur 1 une infinit´e de fois. Donc il existet2?]t0,t1[ tel queγ2(t2) = 1. Doncγ(t2) = (γ1(t2),1). Mais comme|t2-t0|< ηalors|γ2(t2)-y0|=|1-y0|>12 . Ce qui contredit la continuit´e deγ2. Nous avons obtenu une contradiction donc¯An"est pas connexe par arcs. 3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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