[PDF] [PDF] Feuille dexercices no3 Connexité axiomes de séparation 1

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Ecole Normale Superieure { FIMFA { Annee 2010-2011

Travaux dirig

es de Topologie et Calcul differentiel

Francois B

eguinFeuille d'exercices n o3

Connexit

e, axiomes de separation1 -Le cas le plus facile du theoreme de l'invariance du domaine

Montrer queRetR2ne sont pas homeomorphes.2 -Connexite du groupe lineaire, du orthogonal, et du groupe special orthogonal

On munitMn(R) etMn(C) de leurs topologies usuelles (induites par n'importe une norme quelconque). Les groupes lineaires, orthogonaux, et speciaux orthogonauxGLn(C),GLn(R),On(R),On(C),SOn(R) et SO n(C) sont munis de la topologie induite.

1. Montrer que le plan complexe prive d'un nombre ni de points est connexe par arcs. En deduire que

GL n(C). Montrer queGLn(R) n'est pas connexe.

2. Les espacesOn(R) etSOn(R) sont-ils connexes ? Que peut-on dire avecCa la place deR?3 -Parties connexes deQetRnQ

On considere queQet son complementaire sont munis de la topologie induite par leur inclusion dansR.

1. Quelles sont les parties connexes deQet de son complementaire ?

2. Existe-t-il une fonction continuef:R!Rtelle quef(Q)RnQetf(RnQ)Q?4 -Union et intersection de parties connexes

SoientAetBdeux parties connexes d'un espace topologiqueX.

1. Montrer que siA\Bn'est pas vide, alorsA[Best connexe. La conclusion reste-t-elle vraie si l'on suppose

seulement queA\B6=;?

2. Montrer que, siBrencontreAet le complementaire deA, l'intersection deBavec la frontiere deAest

non vide.

5 -Partie dont l'union et l'intersection sont connexes.

SoitXun espace topologique,AetBdeux partiesfermeesdeXtelles que :

A[Best connexe,

A\Best connexe.

Le but de l'exercice est de montrer queAetBsont connexes. On suppose queAs'ecrit comme la reunion disjointe de deux fermesF1etF2(deA).

1. Justier queF1\BetF2\Bsont des fermes de l'espace topologiqueA\Bpour la topologie induite et

en deduire queF1\BouF2\Best vide.

2. En deduire queF1=;ouF2=;. Conclure.

3. Montrer que le resultat peut se reveler faux si on ne suppose pasAetBconjointement fermes.6 -Peignes

Considerons les peignes deR2:

P

1= (R f1g)[0

x2Qfxg [0;1]1 A et P

2= (R f1g)[0

x2Qfx+p2g [1;0]1 A Montrer queP1[P2est connexe mais n'est pas connexe par arc.7 -Topologie conie.

Considerons un ensemble inniX, que l'on munit de la topologie conie, c'est-a-dire la topologie dont les

ouverts sont l'ensemble vide et les ensembles de complementaire ni 1.

1. Montrer queXest connexe, et m^eme localement connexe.

2. Dans le cas ouXest denombrable, montrer queXn'est pas connexe par arcs.

3. Dans le casXn'est pas denombrable, et ou l'on admet l'hypothese du continu (tout ensemble non-

denombrable a au moins la puissance deR), montrer queXest connexe par arcs, et m^eme localement connexe par arcs.8 -Ordre lexicoraphique On munit l'ensemble [0;1]2de l'ordre lexicographique : (x1;y1)<(x2;y2) six1< x2ou six1=x2ety1< y2.

Cet ordre denit une topologie sur [0;1]2: celle engendree par les intervalles du type ](x1;y1);(x2;y2)[, du type

[(0;0);(x;y)[, ou du type ](x;y);(1;1)]. Montrer que [0;1]2muni de cette topologie est connexe, localement

connexe, mais pas connexe par arcs.1

Voir l'exercice 4 de la feuille 1.

9 -Quelques remarques et proprietes de la topologie produit.

1. Montrer que pourAetBdes parties d'espaces topologiquesXetY, on a@(AB) = ((@A)B)[(A

(@B)).

2. Montrer que si lesAisont des parties non vides des espaces topologiquesXi, on a que Aiest dense dans

Xisi et seulement si chaqueAiest dense dansXi.

3. Montrer qu'un produit d'espaces connexes est connexe pour la topologie produit. Quelle reciproque peut-on

enoncer de ce fait ?

4. Montrer qu'un produit d'espaces connexes par arcs est encore connexe par arcs.

5.Une fausse topologie produit.Soient (Ti)i2Iune famille d'espaces topologiques.

a.Montrer que l'ensemble des paves du type i2IUi, avecUiouvert non-vide deTipour touti, forme la

base d'une topologie. Quand cette topologie concide-t-elle avecla topologie produitau sens du cours ?

b.Montrer queRNn'est pas connexe lorsqu'il est muni de cette topologie. c.On suppose maintenant que chaqueXiest metrique, de distancedi, et queIest inni. Soit (Y;d) un autre espace metrique.A quelle condition une fonctionfdeYdans le produit desXiest-elle continue

(pour la fausse topologie produit) ? Comparer avec le cas de la topologie produit usuelle.10 -Il n'y a pas de version topologique du theoreme de Cantor-Bernstein.

Rappelons que le theoreme de Cantor Bernstein arme qu'etant donnes deux ensemblesAetB, siAs'injecte dansBetBs'injecte dansA, alorsAetBsont en bijection.

On considere les ensembles

A=]0;1[[f2g[]3;4[[f5g[]6;7[[:::

B=]0;1][]3;4[[f5g[]6;7[[f8g[]9;10[[:::

munis de la topologie induite parR.

1. Montrer qu'un homeomorphisme envoie une composante connexe sur une composante connexe. En deduire

queAetBne sont pas homeomorphes.

2. Determiner des bijections continues deAversBet deBversA. Conclure.11 -Topologies droite et gauche; espacesT0.

1. Soit (X;) un ensemble (partiellement) ordonne. Pourx2X, on introduit les parties :

D x=fy2X = xygetGx=fy2X = yxg: Montrer que les ensemblesDx(respectivement les ensemblesGx) forment la base d'une topologie qu'on

appellera topologie droite (resp. gauche). Montrer que dans ces topologies, une intersection d'ouverts est

ouverte. Determiner l'adherence d'un singletonfxg. Ces topologies sont-elles separees en general ?

2. On dit qu'un espace topologique est de Kolmogoro (ouT0) s'il satisfait que pour deux points distinctsx

ety, il existe un voisinage de l'un de ces points qui ne contient pas l'autre. Montrer que tout espace separe

est de Kolmogoro. La reciproque est-elle vraie ? 2

3. Montrer qu'un ensemble ordonne muni de la topologie droite est de Kolmogoro.

4. Soit a presentXun espace de Kolmogoro qui satisfait qu'une intersection d'ouverts est toujours ouverte.

Montrer que la relation

yRx()x2fyg; est une relation d'ordre et que la topologie surXest la topologie droite associee a cette relation.

5. En deduire que siXest un espace de Kolmogoro, toute partie nie non vide deXpossede au moins un

point isole. Montrer que siXn'a pas de point isole, alors toute partie ouverte est innie.12 -Axiomes de separation3

SoitXun espace topologique.

(T0)XestT0(ou de Kolmogoro) si pour tout pointx6=y, il existe un ouvert contenant l'un des points et pas l'autre. (T1)Xest dit4T1si pour tout pointsx6=y, il existe un ouvertUxcontenantxet pasyet un ouvertUy contenantyet pasx. (T2)XestT2si il est separe (on dit aussi queXest Hausdor). (T3)XestT3oureguliers'il estT0et verie en plus la propriete (eT3): pour tout fermeFet pointx =2F, il existe des ouvertsOx,OFdisjoints contenant respectivementxetF. (T4)XestT4ounormals'il estT1et verie en plus la propriete (eT4): siA,Bsont des fermes disjoints dansX, il existe des ouvertsOA,OBdisjoints contenant respectivementAetB.

1. Etudier les dierentes relations d'implication entre les axiomesT0,T1,T2,(eT3) et (eT4) (donner des con-

trexemples s'il n'y a pas de relation d'implication; ne pas comparer ( eT3) et (eT4)). Montrer qu'il existe des espaces qui ne satisfont aucun de ces axiomes et des espaces satisfaisant ces axiomes.

2. Montrer qu'un espaceXest (T1) si et seulement si les points deXsont fermes. Montrer que siXest

regulier, alorsXest separe. Montrer qu'un espace normal (i.e.(T4)) est regulier (i.e.(T3)). La denition

donnee est-elle equivalente a celle du cours ?

3. Montrer qu'un produit Xid'espaces est regulier si et seulement si chaqueXiest regulier et qu'un

sous-espace d'un espace regulier est regulier.

4. Montrer que siXcontient un sous-ensemble denombrable dense (i.e.est separable) et un sous-ensemble

discret ferme non-denombrable, alorsXn'est pas normal. En deduire que (R;lim sup)(R;lim sup) est regulier mais pas normal.

5. Montrer qu'un espace topologiqueX(T1) est normal si et seulement si pour tout fermeA,B, il existe

existe des ouvertsUAA,UBBtels queU A\U B=;

6. On munit le demi-planH=f(x;y)2R2; y0gde la topologie engendree par les ouverts euclidiens

usuels surH=f(x;y)2R2; y >0get pour toutzsur l'axey= 0 et >0 par les ensemblesfzg [Dz;ou2

Un espace separe est parfois appeleT2. On reviendra sur dierentes notions de separation dans la feuille de TD no3

3Attention : la terminologie concernant les proprietes de separation n'est pas completement standardisee, et peu varier

suivant les auteurs.

4parfois appele de Frechet, mais c'est une terminologie ambigue et non-univoque qu'il vaut mieux proscrire

D z;est le disque dansHde rayon, tangent enza l'axey= 0. Montrer queHmuni de cette topologie est regulier, non-normal (on pourra considerer les ensemblesA=f(x;0);x2QgetB=f(x;0); x2RQg.)

7. Terminer la comparaison entre les dierents axiomes de separation.13 -Theoreme de Tietze

Montrer qu'un espace separeXest normal si et seulement si pour tout fermeF, toute fonction continue f:F!Rtelle que sup x2Fjf(x)j s'etend en une fonction continue~f:X!Rtelle que sup x2Xj~f(x)j .quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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