Temps locaux dintersection et points multiples des processus de Lévy
Récemment Rosen (voir aussi Dynkin [4] pour un point de vue différent) a étendu la notion de temps local d'intersection à des classes de.
Intersection de deux cercles dans le plan
17 déc. 2001 Il s'agit en général de déterminer les deux points P et Q connaissant les centres A B et les deux rayons r et R. Il n'y a pas toujours deux ...
Droites et points remarquables dun triangle - Fiches de cours
Le centre du cercle circonscrit au triangle est le point d'intersection des trois médiatrices du triangle. S'il s'agit d'un triangle rectangle le centre du
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
Soit une droite d passant par un point ^ Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite ( ) avec le plan de.
On peut donc obtenir 45 points dintersection au maximum avec dix
2 droites : 1 point d'intersection (calcul : 1 = 1). 3 droites : 3 points d'intersection (calcul : 1+2 = 3). 4 droites : 6 points d'intersection (calcul
Géométrie énumérative et théorie dintersection
leur intersection est un nombre fini de points toutes des intersections transversales). z Trouver une compactification lisse ˜X ? U (pour y appliquer la
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
La fonction ? est la seule à posséder une racine double égale à 1. Cela signifie que la parabole correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec
Exercice 3 : Déterminer les coordonnées du point dintersection des
Déterminer les coordonnées du point I centre du cercle circonscrit au triangle. Attention à la modif d'enoncé
2. Fonctions affines
Déterminez les coordonnées du point d'intersection de f et de g. e. Calculez l'angle que forment ces deux droites. Exercice 2.11. Ce modèle est évidemment.
Intersection de deux droites et système à deux inconnues.
Dans un repère O; i j
Intersection de deux cercles dans le plan
D. Roegel
17 d´ecembre 2001
R´esum´e
Cette note donne des indications sur le calcul de l"intersection de deux cercles dans le plan, en prenant pour hypoth`ese que l"intersection existe. Je l"avais initialement r´edig´ee pour des ´etudiants, mais il s"est av´er´e qu"ils n"en avaient pas besoin. Ce document peutfacilement ˆetre g´en´eralis´e pour traiter les cas d"une intersection unique ou de l"absence
d"intersection.1 Le probl`emePQABRrIl s"agit en g´en´eral de d´eterminer les deux pointsPetQconnaissant les centresA,Bet
les deux rayonsretR. Il n"y a pas toujours deux intersections, mais dans notre cas il en sera toujours ainsi.2 Une solution
On note (xA,yA) et (xB,yB) les coordonn´ees deAetB. Des ´equations des deux cercles sont donc: (x-xA)2+ (y-yA)2=r2(1) (x-xB)2+ (y-yB)2=R2(2) PourPetQ, les deux ´equations sont vraies simultan´ement. On a donc 1 x2+y2-2xxA-2yyA+x2A+y2A=r2(3) x2+y2-2xxB-2yyB+x2B+y2B=R2(4)
Pour simplifier, on va commencer par supposer que (xA,yA) = (0,0). Les solutions cor- rectes dans le cas o`u (xA,yA)?= (0,0) pourront facilement ˆetre trouv´ees `a la fin.Les formules pr´ec´edentes deviennent donc:
x2+y2=r2(5)
x2+y2-2xxB-2yyB+x2B+y2B=R2(6)
Nous avons alors par simple substitution:
r2-2xxB-2yyB+x2B+y2B=R2(7)
soit2xxB+ 2yyB=x2B+y2B-R2+r2(8)
Posonsa= 2xB,b= 2yBetc=x2B+y2B-R2+r2, nous avons alors ax+by=c(9) qui est l"´equation d"une droite. C"est la droite sur laquelle se trouvent les pointsPetQ. Nous pouvons maintenant r´einjecter ce r´esultat dans l"´equationx2+y2=r2: by=c-ax(10) b2y2=c2+a2x2-2acx(11)
b2(r2-x2) =c2+a2x2-2acx(12)
b2r2-c2= (a2+b2)x2-2acx(13)
d"o`u l"´equation du second degr´e: (a2+b2)x2-2acx+c2-b2r2= 0 (14)On pose Δ = (2ac)2-4(a2+b2)(c2-b2r2).
Si Δ>0, ce que l"on suppose (sinon il n"y a pas d"intersection), on obtient (puisque a2+b2>0):
x=2ac±⎷Δ2(a2+b2)(15) L"´equation pr´ec´edente nous donnexPetxQ, mais pour obteniryPetyQ, il faut distinguer deux cas:1. siyB?= 0, alorsb?= 0 etax+by=cnous donne imm´ediatement:
2 yP=c-axPb(16) yQ=c-axQb(17)
2. siyB= 0, on aax=cet les deux pointsPetQsont sur une droite verticale d"´equation
x=c/a; en utilisant l"´equation du cercle de centreB, il vient: ca-a2? 2 y-b2? 2 =R2(18) y-b2? 2 =R2-?2c-a22a? 2 (19) y-b2=±?R2-?2c-a22a? 2 (20) y=b2±?R2-?2c-a22a? 2 (21)3 R´esum´e
On se donne (xA,yA) et (xB,yB), ainsi queretR. Si on suppose (xA,yA) = (0,0), on a la proc´edure suivante:1. on posea= 2xB,b= 2yBetc=x2B+y2B-R2+r2;
2. on pose Δ = (2ac)2-4(a2+b2)(c2-b2r2);
3.xP=2ac-⎷Δ2(a2+b2);
4.xQ=2ac+⎷Δ2(a2+b2);
5. sib?= 0, on ayP=c-axPbetyQ=c-axQb;
6. sib= 0, on axP=xQetyP=b2±?R2-?2c-a22a?
2etyQ=b2±?R2-?2c-a22a?
2. Pour adapter ces formules au cas g´en´eral o`u (xA,yA) est quelconque, il suffit de retrancher x A`a tous lesx...etyA`a tous lesy..., ce qui donne la nouvelle proc´edure:1. on posea= 2(xB-xA),b= 2(yB-yA) etc= (xB-xA)2+ (yB-yA)2-R2+r2;
2. on pose Δ = (2ac)2-4(a2+b2)(c2-b2r2);
3.xP=xA+2ac-⎷Δ2(a2+b2);
4.xQ=xA+2ac+⎷Δ2(a2+b2);
5. sib?= 0, on ayP=yA+c-a(xP-xA)betyQ=yA+c-a(xQ-xA)b;
6. sib= 0, on axP=xQetyP=yA+b2±?R2-?2c-a22a?
2etyQ=yA+b2±?R2-?2c-a22a?
2. Note: ce qui pr´ec`ede n"a pas ´et´e test´e et il peut y avoir des erreurs. 3quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les points de l'histoire des arts
[PDF] les points de vue du narrateur
[PDF] LES points de vue svp exercice
[PDF] Les points de Wilson
[PDF] Les Points Du Brevet
[PDF] Les points morts, bénéfice
[PDF] les points sont-ils alignes
[PDF] Les pôles de compétitivité en France
[PDF] Les poles de puissance et les guerres dans le monde
[PDF] Les pôles de puissance mondiaux
[PDF] Les politiques contre de l'exclusion depuis 1945
[PDF] Les politiques contre l'exclusion depuis 1945
[PDF] Les pollens de la tourbière du lac noir ( Savoie )
[PDF] les pollutions de l'air cm2
