Temps locaux dintersection et points multiples des processus de Lévy
Récemment Rosen (voir aussi Dynkin [4] pour un point de vue différent) a étendu la notion de temps local d'intersection à des classes de.
Intersection de deux cercles dans le plan
17 déc. 2001 Il s'agit en général de déterminer les deux points P et Q connaissant les centres A B et les deux rayons r et R. Il n'y a pas toujours deux ...
Droites et points remarquables dun triangle - Fiches de cours
Le centre du cercle circonscrit au triangle est le point d'intersection des trois médiatrices du triangle. S'il s'agit d'un triangle rectangle le centre du
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
Soit une droite d passant par un point ^ Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite ( ) avec le plan de.
On peut donc obtenir 45 points dintersection au maximum avec dix
2 droites : 1 point d'intersection (calcul : 1 = 1). 3 droites : 3 points d'intersection (calcul : 1+2 = 3). 4 droites : 6 points d'intersection (calcul
Géométrie énumérative et théorie dintersection
leur intersection est un nombre fini de points toutes des intersections transversales). z Trouver une compactification lisse ˜X ? U (pour y appliquer la
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
La fonction ? est la seule à posséder une racine double égale à 1. Cela signifie que la parabole correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec
Exercice 3 : Déterminer les coordonnées du point dintersection des
Déterminer les coordonnées du point I centre du cercle circonscrit au triangle. Attention à la modif d'enoncé
2. Fonctions affines
Déterminez les coordonnées du point d'intersection de f et de g. e. Calculez l'angle que forment ces deux droites. Exercice 2.11. Ce modèle est évidemment.
Intersection de deux droites et système à deux inconnues.
Dans un repère O; i j
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES
ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !;⃗,⃗, Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗On a :
∈⟺ Il existe un réel tel que Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite .Démonstration :
∈⟺ ⃗ et sont colinéaires ⟺Il existe un réel tel queExemple :
La droite passant par le point
1 -2 3 et de vecteur directeur ⃗ 4 5 -3 a pour représentation paramétrique : =1+4 =-2+5 =3-3 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droiteVidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo
Soit les points
2 3 -1 et 1 -3 2Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite () avec le plan de repère
2Correction
- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite () : Un vecteur directeur de () est : 1-2 -3-3 2- -1 -1 -6 3 La droite () passe par le point 2 3 -1 Une représentation paramétrique de () est : =2- =3-6 =-1+3 - Soit le point d'intersection de la droite () avec le plan de repère Alors =0 car appartient au plan de repèreDonc -1+3=0 soit =
Et donc :
=2- 1 3 5 3 =3-6× 1 3 =1 =0Le point a donc pour coordonnées Q
5 3 1 0 R.Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan
Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé !;⃗,⃗,
Un plan de vecteur normal ⃗ non nul admet une équation de la forme +++=0, avec ∈ℝ.Réciproquement, si , et sont non tous nuls, l'ensemble des points
tels que +++=0, avec ∈ℝ, est un plan. Cette équation s'appelle équation cartésienne du plan .Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/GKsHtrImI_o
- Soit un point de . et ⃗ sont orthogonaux .⃗=0 =0 3 =0 ⟺+++=0 avec =-- Réciproquement, supposons par exemple que ≠0 (, et sont non tous nuls).
On note E l'ensemble des points
vérifiant l'équation +++=0Alors le point Q
0 0 R vérifie l'équation +++=0. Et donc ∈E.Soit un vecteur ⃗
. Pour tout point , on a : .⃗=V+W+
-0 -0E est donc l'ensemble des points
tels que .⃗=0. Donc l'ensemble E est le plan passant par et de vecteur normal ⃗.Exemple : Le plan d'équation cartésienne -+5+1=0 a pour vecteur normal ⃗
1 -1 5 Méthode : Déterminer une équation cartésienne de planVidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY
Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le
point -1 2 1 et de vecteur normal ⃗ 3 -3 1Correction
Une équation cartésienne de est de la forme 3-3++=0. Le point appartient à donc ses coordonnées vérifient l'équation : 3× -1 -3×2+1+=0 donc =8. Une équation cartésienne de est donc : 3-3++8=0. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonalà un vecteur normal de l'autre.
4 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculairesVidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc
Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :
2+4+4-3=0 et 2-5+4-1=0.
Démontrer que les plans et ′ sont perpendiculaires.Correction
Les plans et ′sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est
orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de est ⃗ 2 4 4 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -5 4 =2×2+4× -5 +4×4=0Les vecteurs ⃗ et ′
sont orthogonaux donc les plans et ′sont perpendiculaires.Partie 3 : Applications
Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un planVidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE
Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation 2-+3-2=0.Soit
1 2 -3 et -1 2 0 a) Démontrer que la droite () et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection.Correction
a) Un vecteur normal de est ⃗ 2 -1 3 () et sont sécants si ⃗ et ne sont pas orthogonaux.On a :
-2 0 3Comme :
.⃗=-2×2+3×3≠0, on conclut que () et le plan ne sont pas
parallèles et donc sont sécants. b) Une représentation paramétrique de la droite () est : =1-2 =2 =-3+3 5Le point
, intersection de () et de , vérifie donc le système suivant : Z =1-2 =2 =-3+32-+3-2=0
On a donc : 2
1-2
-2+3 -3+3 -2=05-11=0 soit =
D'où :
=1-2× 11 5 17 5 =2 =-3+3× 11 5 18 5 Ainsi la droite () et le plan sont sécants en 17 5 2 18 5 Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droiteVidéo https://youtu.be/RoacrySlUAU
Dans un repère orthonormé, on donne les points 1 0 2 -1 2 1 et 0 1 -2Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ().
Correction
On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite ().On a :
-2 2 -1 Une représentation paramétrique de () est : =1-2 =2 =2-Le point appartient à la droite () donc ses coordonnées vérifient les équations du
système paramétrique de ().On a ainsi :
1-2
2
2-
et donc1-2
2-1
2-+2
1-2
2-1
4-
Or,
et sont othogonaux, donc : =01-2
-22-1
×2+
4-
-1 =0 -2+4+4-2-4+=09-8=0
6 8 9Le point , projeté orthogonal du point sur la droite (), a donc pour coordonnées :
1-2×
8 9 2× 8 9 2- 8 9 7 9 16 9 10quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les points de l'histoire des arts
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