[PDF] REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS





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Temps locaux dintersection et points multiples des processus de Lévy

Récemment Rosen (voir aussi Dynkin [4] pour un point de vue différent) a étendu la notion de temps local d'intersection à des classes de.



Intersection de deux cercles dans le plan

17 déc. 2001 Il s'agit en général de déterminer les deux points P et Q connaissant les centres A B et les deux rayons r et R. Il n'y a pas toujours deux ...



Droites et points remarquables dun triangle - Fiches de cours

Le centre du cercle circonscrit au triangle est le point d'intersection des trois médiatrices du triangle. S'il s'agit d'un triangle rectangle le centre du 



REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS

Soit une droite d passant par un point ^ Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite ( ) avec le plan de.



On peut donc obtenir 45 points dintersection au maximum avec dix

2 droites : 1 point d'intersection (calcul : 1 = 1). 3 droites : 3 points d'intersection (calcul : 1+2 = 3). 4 droites : 6 points d'intersection (calcul 



Géométrie énumérative et théorie dintersection

leur intersection est un nombre fini de points toutes des intersections transversales). z Trouver une compactification lisse ˜X ? U (pour y appliquer la 



FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

La fonction ? est la seule à posséder une racine double égale à 1. Cela signifie que la parabole correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec 



Exercice 3 : Déterminer les coordonnées du point dintersection des

Déterminer les coordonnées du point I centre du cercle circonscrit au triangle. Attention à la modif d'enoncé



2. Fonctions affines

Déterminez les coordonnées du point d'intersection de f et de g. e. Calculez l'angle que forment ces deux droites. Exercice 2.11. Ce modèle est évidemment.



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REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES

Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !;⃗,⃗, Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗

On a :

∈⟺ Il existe un réel tel que Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite .

Démonstration :

∈⟺ ⃗ et sont colinéaires ⟺Il existe un réel tel que

Exemple :

La droite passant par le point

1 -2 3 et de vecteur directeur ⃗ 4 5 -3 a pour représentation paramétrique : =1+4 =-2+5 =3-3 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droite

Vidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo

Soit les points

2 3 -1 et 1 -3 2

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite () avec le plan de repère

2

Correction

- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite () : Un vecteur directeur de () est : 1-2 -3-3 2- -1 -1 -6 3 La droite () passe par le point 2 3 -1 Une représentation paramétrique de () est : =2- =3-6 =-1+3 - Soit le point d'intersection de la droite () avec le plan de repère Alors =0 car appartient au plan de repère

Donc -1+3=0 soit =

Et donc :

=2- 1 3 5 3 =3-6× 1 3 =1 =0

Le point a donc pour coordonnées Q

5 3 1 0 R.

Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan

Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé !;⃗,⃗,

Un plan de vecteur normal ⃗ non nul admet une équation de la forme +++=0, avec ∈ℝ.

Réciproquement, si , et sont non tous nuls, l'ensemble des points

tels que +++=0, avec ∈ℝ, est un plan. Cette équation s'appelle équation cartésienne du plan .

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/GKsHtrImI_o

- Soit un point de . et ⃗ sont orthogonaux .⃗=0 =0 3 =0 ⟺+++=0 avec =-

- Réciproquement, supposons par exemple que ≠0 (, et sont non tous nuls).

On note E l'ensemble des points

vérifiant l'équation +++=0

Alors le point Q

0 0 R vérifie l'équation +++=0. Et donc ∈E.

Soit un vecteur ⃗

. Pour tout point , on a : .⃗=V+

W+

-0 -0

E est donc l'ensemble des points

tels que .⃗=0. Donc l'ensemble E est le plan passant par et de vecteur normal ⃗.

Exemple : Le plan d'équation cartésienne -+5+1=0 a pour vecteur normal ⃗

1 -1 5 Méthode : Déterminer une équation cartésienne de plan

Vidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY

Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le

point -1 2 1 et de vecteur normal ⃗ 3 -3 1

Correction

Une équation cartésienne de est de la forme 3-3++=0. Le point appartient à donc ses coordonnées vérifient l'équation : 3× -1 -3×2+1+=0 donc =8. Une équation cartésienne de est donc : 3-3++8=0. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal

à un vecteur normal de l'autre.

4 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculaires

Vidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc

Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :

2+4+4-3=0 et 2-5+4-1=0.

Démontrer que les plans et ′ sont perpendiculaires.

Correction

Les plans et ′sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est

orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de est ⃗ 2 4 4 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -5 4 =2×2+4× -5 +4×4=0

Les vecteurs ⃗ et ′

sont orthogonaux donc les plans et ′sont perpendiculaires.

Partie 3 : Applications

Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

Vidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE

Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation 2-+3-2=0.

Soit

1 2 -3 et -1 2 0 a) Démontrer que la droite () et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection.

Correction

a) Un vecteur normal de est ⃗ 2 -1 3 () et sont sécants si ⃗ et ne sont pas orthogonaux.

On a :

-2 0 3

Comme :

.⃗=-2×2+3×3≠0, on conclut que () et le plan ne sont pas

parallèles et donc sont sécants. b) Une représentation paramétrique de la droite () est : =1-2 =2 =-3+3 5

Le point

, intersection de () et de , vérifie donc le système suivant : Z =1-2 =2 =-3+3

2-+3-2=0

On a donc : 2

1-2

-2+3 -3+3 -2=0

5-11=0 soit =

D'où :

=1-2× 11 5 17 5 =2 =-3+3× 11 5 18 5 Ainsi la droite () et le plan sont sécants en 17 5 2 18 5 Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite

Vidéo https://youtu.be/RoacrySlUAU

Dans un repère orthonormé, on donne les points 1 0 2 -1 2 1 et 0 1 -2

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ().

Correction

On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite ().

On a :

-2 2 -1 Une représentation paramétrique de () est : =1-2 =2 =2-

Le point appartient à la droite () donc ses coordonnées vérifient les équations du

système paramétrique de ().

On a ainsi :

1-2

2

2-

et donc

1-2

2-1

2-+2

1-2

2-1

4-

Or,

et sont othogonaux, donc : =0

1-2

-2

2-1

×2+

4-

-1 =0 -2+4+4-2-4+=0

9-8=0

6 8 9

Le point , projeté orthogonal du point sur la droite (), a donc pour coordonnées :

1-2×

8 9 2× 8 9 2- 8 9 7 9 16 9 10quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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