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Fonctions polynômes du second degré

Classes de première ES - Lycée Saint-Charles Patrice Jacquet - www.mathxy.fr - 2013/2014Objectifs : •Connaître les différentes formes d"une fonction polynôme du second degré. •Savoir résoudre une équation du second degré.

•Savoir déterminer le signe d"un polynôme du second degré.1 Polynômes et fonctions polynômes

Définition 1 - Polynôme du second degré

Unpolynômedu second degrénest une expression du type ax

2+bx+c

où : a,b,csont des nombres réels, appelés les coefficients, a?= 0,

Le nombrexest appelé l"indéterminée.Exemple 1 :-3x2+ 5x-1est un polynôme du second degré (a= 3;b= 5;c=-1).

Exemple 2 :16x2-25est un polynôme du second degré (a= 16;b= 0;c=-25). Exemple 3 :5x2est un polynôme du second degré (a= 5;b= 0;c= 0).

Remarque :Un polynôme du second degré est également appelétrinôme.Définition 2 - Fonction polynôme du second degré

La fonctionfdéfinie surRparf:x?→ax2+bx+c(a?= 0)est

appeléefonction polynôme de degré 2(oufonction trinôme)Propriété 1 - Courbe représentative d"une fonction polynôme

La courbe représentative de la fonctionf:x?→ax2+bx+c(a?= 0) est une parabole dont le sommet a pour abscisse-b2a.1 Classe de première ES - 2013/2014 Second degré http://www.mathxy.fr/

Sia >0fest décroissante puis croissante.x

variation def-∞- b2a+∞ f(-b2a)f(-b2a)+∞+∞Sia <0fest croissante puis décroissante.x variation def-∞- b2a+∞

-∞-∞f(-b2a)f(-b2a)-∞-∞La parabole associée àfadmet poursommetle point S de coordonnées?

-b2a;f(-b2a)?2 Classe de première ES - 2013/2014 Second degré http://www.mathxy.fr/

2 Forme développée et forme canonique

Définition 3 - Forme développée

L"écrituref(x) =ax2+bx+cd"une fonction polynôme de degré 2 est appeléeforme développéePropriété 2 - Forme canonique Une fonction polynôme de degré 2 pouvant s"écrire sous la forme dévelop- péef(x) =ax2+bx+caveca?= 0peut se mettre sous la forme : f(x) =a(x-α)2+βoùα=-b2aetβ=f(α)

Cette forme est appeléeforme canoniquePreuve :

a(x-α)2+β=a(x-α)2+f(α) =a? x+b2a? 2 +a? -b2a? 2 +b? -b2a? +c =a? x 2+bxa +b24a2? +b24a-b22a+c =ax2+bx+b24a+b24a-b22a+c =ax2+bx+c

3 Interprétation graphique

La parabole associée à la fonctionfde forme

canoniquef(x) =a(x-α)2+βadmet pour sommetle point S de coordonnées(α;β)

Exemple 4 :Soitfla fonction définie surR

parf:x?→2x2-12x+ 14

On a :α=-b2a= 3etβ=f(3) =-4

La forme canonique defestf(x) = 2(x-3)2-44 Equations du second degré à une inconnue

4.1 Rappels sur les équationsDéfinition 4 - Equation

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues.Exemple 5 :x+ 1 = 4est une équation du premier degré à une inconnue

Exemple 6 :x2+ 1 =x-2est une équation du second degré à une inconnue 3 Classe de première ES - 2013/2014 Second degré http://www.mathxy.fr/

Définition 5 - Résoudre une équation

Résoudre une équation c"est trouver toutes les valeurs de l"inconnue pour que l"égalité soit vraie.Exemple 7 :{3}est l"unique solution de l"équationx+ 1 = 4. Exemple 8 :{-2;2}sont les solutions de l"équationx2= 4.

Exemple 9 :L"équationx2=-1n"a pas de solution.

4.2 Équations du second degré

Un équation du second degré à une inconnue peut toujours s"écrire sous la formeax2+bx+c= 0

Résoudre l"équation du second degré à une inconnueax2+bx+c= 0consiste à trouver toutes les

valeurs dexpour lesquelles la fonctionfdéfinie surRparf:x?→ax2+bx+c(a?= 0)s"annule.Définition 6 - Discriminant

Lediscriminantde l"équationax2+bx+c= 0est le nombre réelΔ

défini par :Δ =b2-4ac.Interprétation graphique :le nombre de solutions (0, 1 ou 2) dépend de la position de la parabole

par rapport à l"axe des abscisses. L"étude du signe deΔpermet de connaître ce nombre.cas 1 :Δ<0

l"équationax2+bx+c= 0 ne possède pas de solution. pas de forme factoriséecas 2 :Δ = 0 l"équationax2+bx+c= 0 a une seule solution : x

0=-b2a

f(x) =a(x-x0)2cas 3 :Δ>0 l"équationax2+bx+c= 0 a deux solutions distinctes : x

1=-b+⎷Δ

2a x

2=-b-⎷Δ

2a f(x) =a(x-x1)(x-x2)Définition 7 - racines de l"équation du second degré Les solutionsx1etx2sont appeléesracinesde l"équation.

L"unique solutionx0est appeléeracine doublede l"équation.5 Signe du trinômeax2+bx+c= 0aveca?= 0ax

2+bx+c= 0est toujours du signe deasauf entre les racines lorsqu"elles existent.4

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Preuve (solutions de l"équation du second degré) :Soit une fonction polynôme de degré 2 pou-

vant s"écrire sous la forme développéef(x) =ax2+bx+caveca?= 0. La forme canonique est :f(x) =a(x-α)2+βoùα=-b2aetβ=f(α) a(x-α)2+β=a(x-α)2+f(α) =a? x+b2a? 2 +a? -b2a? 2 +b? -b2a? +c =a? x+b2a? 2 +b24a-b22a+c =a? x+b2a? 2 +b24a-2b24a+4ac4a =a? x+b2a? 2 -b2-4ac4a =a? x+b2a? 2 -b2-4ac4a2?

Sib2-4ac= 0alorsf(x) =a?

x+b2a? 2 ,-b2aest l"unique solution de l"équationf(x) = 0 Sib2-4ac <0alorsf(x)est toujours du signe dea(a?= 0)donc l"équationf(x) = 0n"a pas de solution

Sib2-4ac >0alors on peut écrire :

f(x) =a? x+b2a+⎷b

2-4ac2a??

x+b2a-⎷b

2-4ac2a?

=a? x+b+⎷b

2-4ac2a??

x+b-⎷b

2-4ac2a?

L"équationf(x) = 0a deux solutions :x1=-b+⎷b

2-4ac2aetx2=-b-⎷b

2-4ac2a

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