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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES01-POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉPOLYNÔMES DU SECOND DEGRÉPremière-Chapitre 1Table des matières

IFonctions polynômes du second degré2

1)Forme développée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2)Forme factorisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3)Somme et produit des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4)Forme canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5)Variations et courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IIÉquations du second degré6

1)Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2)Premiers exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3)Généralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4)Discriminant et énoncé du théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5)Exemples rédigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

IIISigne d"un trinôme et inéquations du second degré10

1)Conjecture graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2)Énoncé du théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3)Inéquations du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Polycopié de cours de N. PEYRATP age1 sur12 Lycée Sain t-Charles

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES01-POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉIF onctionsp olynômesdu second degré

1) F ormedévelopp éeSoitfune fonction définie surR.

On dit quefest une fonctionpolynôme du second degré, ou fonction trinôme du second degré, si

et seulement si il existe trois réelsa,betc, aveca≠0, tels que pour tout réelx: f(x)=ax2+bx+c Cette forme est appelée la formedéveloppéedef(x).DÉFINITION La forme développée d"une fonction polynôme du second degré est unique.REMARQUE

?fest une fonction etf(x)est un réel (c"est l"image dexpar la fonctionf). Ainsi, les phrases "f(x)

est une fonction du second degré » ou "f=ax2+bx+c» sontfausses. ?Sia,betcsont des réels, aveca≠0, alorsf?x↦ax2+bx+cest unefonction polynômedu second degré etf(x)=ax2+bx+cest unpolynômedu second degré.VOCABULAIRE ?f?x↦-3x2+5x-1. ?g?x↦2(5-x)(4x+3). (Attention, ce n"est pas la forme développée degici) ?h?x↦5x2+2.EXEMPLES ?f?x↦2x+1(Fonction polynôme du premier degré, ou fonction affine) ?g?x↦3x3(Fonction polynôme du troisième degré) ?h?x↦5x2+1x (Fonction rationnelle)CONTRE-EXEMPLES 2)

F ormefacto risée

SoitPune fonction polynôme du second degré définie surR. On appelleracine du polynômeP(x)tout nombre réelx0tel queP(x0)=0.DÉFINITION

Autrement dit,x0est une racine deP(x)si et seulement six0est une solution de l"équationP(x)=0.VOCABULAIRE

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES01-POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉSoitP(x)=2x2-2x-4. CalculerP(2)et conclure.

P(2)=2×22-2×2-4=8-4-4=0

Donc2est une racine deP(x)EXEMPLE

SoitP(x)un polynôme du second degré défini surRparP(x)=ax2+bx+c, aveca,betcdes réels eta≠0. On dit queP(x)est mis sousforme factoriséesi on peut l"écrireP(x)=a(x-x1)(x-x2), oùx1 etx2sont deux réels (éventuellement égaux).DÉFINITION

Dans le cas oùP(x)admet bien une forme factorisée telle que définie ci-dessus, les réelsx1etx2sont

alors les deux racines du polynômeP(x)et les deux seules. En effet : ?x?R,P(x)=0??a(x-x1)(x-x2)=0 ??(x-x1)(x-x2)=0(cara≠0) ??x-x1=0oux-x2=0 ??x=x1oux=x2REMARQUE Certains polynômes du second degré ne peuvent pas être mis sous forme factorisée dansR. Considérons par exemple le polynôme défini surRparP(x)=x2+1. ?x?R,x2⩾0doncx2+1⩾1>0. Donc l"équationP(x)=0n"a pas de solution dansRetP(x)n"a donc pas de racine réelle. Il ne peut

donc pas être mis sous forme factorisée, car alors il aurait des racines (raisonnement immédiat par

l"absurde).REMARQUE 3)

Somme et p roduitdes racines

SoitP(x)=ax2+bx+cun polynôme du second degré défini surR, aveca,betcdes réels eta≠0.

SiP(x)admet deux racinesx1etx2(éventuellement égales), alors on a : x

1+x2=-ba

etx1x2=caTHÉORÈME Six1etx2sont les racines deP(x), alors pour tout réelx, on aP(x)=a(x-x1)(x-x2).

Or pour tout réelx, on a aussiP(x)=ax2+bx+c.

La forme développée d"un polynôme étant unique, par identification, on a donc :b=-a(x1+x2)et

c=ax1x2. Soitx1+x2=-ba etx1x2=ca (a≠0).DÉMONSTRATION

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES01-POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉL"un des objectifs de ce chapitre sera de déterminer les racines d"un polynôme du second degré donné sous forme

développée. Autrement dit, savoir passer de la forme développée à la forme factorisée, ou encore savoir résoudre

une équation dite du second degré. C"est ce que nous allons voir dans la suite. Pour cela, nous allons introduire

une troisième forme possible d"un polynôme du second degré, la forme canonique. 4)

F ormecanonique Soitfune fonction polynôme du second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+c, aveca,betcdes

réels eta≠0. Alors pour tout réelx: f(x)=a(x-α)2+β, avecα=-b2aetβ=f(α) Cette écriture est appelée laforme canoniquedef.PROPRIÉTÉ & DÉFINITION

Déterminons la forme canonique de3x2+6x+1.

?x?R,3x2+6x+1=3(x2+2x)+1 =3?(x+1)2-12]+1 =3?(x+1)2-1]+1 =3(x+1)2-3+1 =3(x+1)2-2EXEMPLE Généralisons le procédé pour tout polynôme du second degré : Soitf(x)=ax2+bx+cun polynôme du second degré aveca,betcdes réels eta≠0.

Pour tout réelx, on a :

f(x)=ax2+bx+c =a?x2+ba x?+c(cara≠0) =a??x+b2a?2 -?b2a?2 ?+c =a??x+b2a?2 -b24a2?+c =a?x+b2a?2 -b24a+4ac4a =a?x+b2a?2 -b2-4ac4a =a(x-α)2+β, avecα=-b2aetβ=-b2-4ac4a (On vérifie facilement par le calcul quef(α)=β)DÉMONSTRATION

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES01-POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉDéterminer la forme canonique des polynômes définis surRparP(x)=3x2-6x+1etR(x)=-2x2+5x+3.EXERCICE

5)

V ariationset courb erep résentative

Soitfune fonction polynôme du second degré dont la forme canonique estf(x)=a(x-α)2+β, avec

a,αetβdes réels eta≠0. Alors son tableau de variation est :

Sia>0Sia<0x

f-∞α+∞

ββx

f-∞α+∞

ββPROPRIÉTÉ

Montrons que sia>0, alorsfest strictement croissante sur[α;+∞[: Soientx1etx2deux réels tels queα⩽x1Or la fonction carrée est strictement croissante sur[0;+∞[, donc des réels positifs et leurs images

sont rangées dans le même ordre.

Donc(x1-α)2<(x2-α)2

Oraest un réel strictement positif, donca(x1-α)2<(x2-α)2. Et enfin, par somme avecβ, on aa(x1-α)2+β<(x2-α)2+β, soitf(x1)Représentation graphique :

Dans un repère(O;⃗ı,⃗ȷ)du plan, la courbe représentative d"une fonction polynôme du second degré de la forme

x↦a(x-α)2+β(a,αetβréels eta≠0), est uneparabolede sommet le pointS(α;β), et qui admet pour axe

de symétrique la droite d"équationx=α.Polycopié de cours de N. PEYRATP age5 sur12 Lycée Sain t-Charles

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES01-POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉIIÉquations du second degr é

1)

Définition On appelleéquation du second degrétoute équation pouvant se ramener à la formeax2+bx+c=0

aveca,betcdes réels tels quea≠0.DÉFINITION 2)

Premiers exemples

On sait déjà résoudre certaines équations du second degré : toutes celles n"ayant que deux termes par exemple, ou

celles dont le polynôme du second degré est déjà factorisé. Résolvons les avec les méthodes vues en Seconde ou au

collège :

Ex 1 : résoudre dansRl"équationx2=3(b=0)

?x?R,x2=3??x=⎷3oux=-⎷3 Ex 2 : résoudre dansRl"équation4x2-2x=0(c=0) ?x?R,4x2-2x=0??2x(2x-1)=0 ??2x=0ou2x-1=0 ??x=0oux=12 Ex 3 : résoudre dansRl"équation-5x2=0(b=0etc=0) ?x?R,-5x2=0??x2=0 ??x=0Ex 4 : résoudre dansRl"équation(x-3)(x+1)=0(forme factorisée) ?x?R,(x-3)(x+1)=0??x-3=0oux+1=0 ??x=3oux=-1Ex 5 : résoudre dansRl"équation(3x+2)2=0(carré nul) ?x?R,(3x+2)2=0??3x+2=0 ??x=-23 Ex 6 : résoudre dansRl"équationx2+5=0(pas de solution réelle) ?x?R,x2+5=0??x2=-5.

Or?x?R,x2⩾0, doncl"équationx2+5=0n"a pas de solution dansRPolycopié de cours de N. PEYRATP age6 sur12 Lycée Sain t-Charles

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES01-POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉEx 7 : résoudre dansRl"équation(4-5x)2+3=0(idem, pas besoin de développer!)

?x?R,(4-5x)2+3=0??(4-5x)2=-3.

Or?x?R,(4-5x)2⩾0, doncl"équation(4-5x)2+3=0n"a pas de solution dansREx 8 : résoudre dansRl"équationx2-2x+1=0(identité remarquable)

?x?R,x2-2x+1=0??(x-1)2=0 ??x-1=0 ??x=1Considérons maintenant cette équation :-2x2+x+1=0

Ici, le membre de droite est nul et le membre de gauche est constitué de trois termes, sans facteur commun ni

reconnaissance d"une identité remarquable. Comment résoudre cette équation? En utilisant (pour le moment!) la

forme canonique : ?x?R,-2x2+x+1=0?-2?x2+12 x?+1=0 ?-2??x+14 ?2 -116 ?+1=0 ?-2?x+14 ?2 +18 +88
=0 ?-2?x-14 ?2 +98
=0 ?-2?x-14 ?2 =-98 ??x-14 ?2 =916 ??x-14 ?2 -916 =0 ??x-14 -34 ??x-14 +34
?=0 ?(x-1)?x+12 ?=0 ?x-1=0oux=-12

Ouf! En passant par la forme canonique, on a réussi à factoriser le membre de gauche pour résoudre l"équation.

3)

Généralisation

Généralisons ce procédé afin d"obtenir notre théorème :

Soienta,betctrois réels tels quea≠0.

?x?R,ax2+bx+c=0?a?x+b2a?2 -b2-4ac4a=0(d"après la forme canonique) ?a??x+b2a?2 -b2-4ac4a2?=0 ??x+b2a?2 -b2-4ac4a2=0(cara≠0) ??x+b2a?2 =b2-4ac4a2Polycopié de cours de N. PEYRATP age7 sur12 Lycée Sain t-Charles 1

èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES01-POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉPosons∆=b2-4ac. Ainsi :

?x?R,ax2+bx+c=0??x+b2a?2 =∆4a2 ??x+b2a?2 =∆(2a)2

Or?x?R,?x+b2a?2

⩾0.

Ainsi,si∆<0, l"équationax2+bx+c=0n"a pas de solution dansR?Si∆=0, alors∆(2a)2=0. Ainsi :

?x?R,ax2+bx+c=0??x+b2a?2 =0 ?x+b2a=0 ?x=-b2a

Ainsi,si∆>0, l"équationax2+bx+c=0admet une unique solution réelle?Si∆>0, alors∆(2a)2=?⎷∆

2a?2 . Ainsi : ?x?R,ax2+bx+c=0??x+b2a?2 2a?2 ??x+b2a?2 2a?2 =0 ??x+b2a-⎷∆

2a??x+b2a+⎷∆

2a?=0 ??x+b-⎷∆

2a??x+b+⎷∆

2a?=0 ?x+b-⎷∆

2a=0oux+b+⎷∆

2a=0 ?x=-b-⎷∆

2aoux=-b+⎷∆

2a ?x=-b+⎷∆

2aoux=-b-⎷∆

2a

Ainsi,si∆>0, l"équationax2+bx+c=0admet deux solutions réelles et distinctes :-b-⎷∆

2aet-b+⎷∆

2a4)Discriminant et énoncé du théo rème

Soitax2+bx+cun polynôme du second degré défini surR, aveca,betcdes réels eta≠0. Le réelb2-4ac, noté∆, est appelé lediscriminant du polynômeax2+bx+cDÉFINITION

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES01-POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉSoienta,betcdes réels, aveca≠0, et∆le réel défini par∆=b2-4ac.

Soit (E) l"équationax2+bx+c=0.

?Si∆<0, alors (E) n"a pas de solution réelle.

?Si∆=0, alors (E) admet une unique solution réellex0=-b2a. On dit que cette solution est double.

?Si∆>0, alors (E) admet deux solutions réelles :x1=-b-⎷∆

2aetx2=-b+⎷∆

2a.THÉORÈME

La démonstration a été faite dans le3).DÉMONSTRATION

Les solutions, lorsqu"elles existent, sont les abscisses des points d"intersection de la courbe représentative

de la fonctionx↦ax2+bx+cet de l"axe des abscisses.REMARQUE Lessolutionsde l"équationax2+bx+c=0sont lesracinesdu polynômeax2+bx+c. Attention à ne pas confondre ces deux mots de vocabulaire !VOCABULAIRE 5)

Exemples rédigés

Ex 1 (cas où∆>0) :

Résoudre dansRl"équation-2x2+x+1=0.

-2x2+x+1est un polynôme du second degré dont le discriminant∆est : ∆=12-4×(-2)×1=1+8=9 ∆>0donc l"équation-2x2+x+1=0admet deux solutions réelles qui sont : x

1=-1-⎷9

2×(-2)=-1-3-4=-4-4=1et etx2=-1+⎷9

2×(-2)=-1+3-4=2-4=-

12 Ainsi,les solutions de l"équation-2x2+x+1=0sont-12 et1EXEMPLE

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES01-POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉEx 2 (cas où∆<0) :

Résoudre dansRl"équation3x2-7x+5=0

3x2-7x+5est un polynôme du second degré dont le discriminant∆est :

∆=(-7)2-4×3×5=49-60=-11∆<0doncl"équation3x2-7x+5=0n"admet pas de solution dansREXEMPLE

Ex 3 (cas où∆=0) :

Résoudre dansRl"équation-x2-8x-16=0

-x2-8x-16est un polynôme du second degré dont le discriminant∆est : ∆=(-8)2-4×(-1)×(-16)=64-64=0

∆=0doncl"équation-x2-8x-16=0admet une unique solution dansRqui estx0=-(-8)2×(-1)=-8-2=4EXEMPLE

Lorsque l"on obtient∆=0, cela signifie que l"on est passé à côté d"une identité remarquable (le vérifier

avec l"Ex 3).REMARQUE III Signe d"un trinôme et inéquations du second degré 1)quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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