[PDF] Feuille dexercices no 7 - Polynômes

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Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o7Feuille d"exercices n o7 - Polynômes1 Exercices

1.1 Exercices de baseExercice 1.

SoientP(X) =X2+3X-2etQ(X) = 6X-X2+1. DéterminerP+Q,3P-2Q, P3, PQetP(Q(X)).Exercice 2. Déterminer le degré et le coefficient dominant des polynômes suivants :

1.P1(X) =X3-(X-2 +i)2

2.P2(X) =X3-X(X-2 +i)2

3.P3(X) = (X+ 1)n-(X-1)n, oùn?N4.P4(X) =n?

k=1?

2Xk-k?

, oùn?N?

5.P5(X) = (X+ 1)2020-(4X2+aX)1010, où

a?R.Exercice 3.

Pour toutP?R3[X]on définitf(P) =P(X+ 1)-P(X).

Calculerf(X3),f(X2),f(X)etf(1)puis montrer que, pour toutP?R3[X],f(P)?R2[X].Exercice 4. 1. T rouverles p olynômesP?R1[X]tels queP(-1) =-2etP(0) = 1. 2. T rouverles p olynômesP?R2[X]tels queP(-1) =-2etP(0) = 1etP(1) = 0.Exercice 5. Effectuer les divisions euclidiennes suivantes dansR[X].

1.X3+ 1parX2+X+ 1,

2.2X5+X3+ 17X-2parX2+ 2X+ 3.Exercice 6.(Voir la correction ici)

Effectuer la division euclidienne du polynômeApar le polynômeB.

1.A=X3-3X2,B=X2-X+ 2

2.A=-16X4-64X2-X-100,B= 4X2+ 4X+ 10

3.A=X4+ 6X2-2X+ 5,B=X3-X2+ 4X-4

4.A=X3+iX2+X,B=X-i+ 1

5.A=nXn+1-(n+ 1)Xn+X,B= (X-1)2Exercice 7. (pour s"entrainer chez soi)

Effectuer la division euclidienne deAparB

1.A= 3X5+ 4X2+ 1,B=X2+ 2X+ 3

2.A= 3X5+ 2X4-X2+ 1,B=X3+X+ 2

3.A=X4-X3+X-2,B=X2-2X+ 4

4.A=X5-7X4-X2-9X+ 9,B=X2-5X+ 4ECS1 - Mathématiques

Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o7Exercice 8. (pour s"entrainer chez soi) Déterminer le reste de la division euclidienne deAparB:

1.A=Xn,B=X2-5X+ 6

2.A=Xn,B=X2+ 4X+ 4

3.A= (X+ 1)n-Xn-1,B=X2-3X+ 2

4.A= (X-3)2n+ (X-2)n-2,B= (X-3)(X-2)

5.A= (X-3)2n+ (X-2)n-2,B= (X-2)2Exercice 9.

SoitP=-3X2+ 6X-6. FactoriserPdansC[X].Exercice 10. SoitP= 2X3-2X2-28X+48. Montrer que2est racine dePpuis factoriser (au maximum)PdansR[X].Exercice 11.

Montrer que-1est racine triple deP=X5+ 2X4+ 2X3+ 4X2+ 5X+ 2et factoriserPdansC[X].Exercice 12.(Voir la correction ici)

Soit le polynômeP(X) =X4-2X3-11X2+ 12X+ 36; sachant qu"il a deux racines multiples, donner sa factorisation.Exercice 13. (pour s"entrainer chez soi)

Factoriser dansC[X]les polynômes suivants :

1.P(X) =X3+X-10sachant qu"il a une racine "simple"

2.P(X) =X4+ 6X3-4X2-6X+ 3sachant qu"il a deux racines "simples"

3.P(X) =X4-5X3+ 7X2-5X+ 6sachant queiest racineExercice 14. (pour s"entrainer chez soi)

Déterminer la multiplicité de la racineαpour les polynômes suivants :

1.α= 2,P(X) =Xn+2-4Xn+1+ 4Xn

2.α= 3,P(X) =X3-3X2-9X+ 27

3.α= 2,P(X) =nXn+2-(4n+ 1)Xn+1+ 4(n+ 1)Xn-4Xn-1Exercice 15. (pour s"entrainer chez soi)

Déterminer les polynômesPvérifiant les conditions suivantes :

3.1est racine double dePoùPs"écrit sous la formeP(X) =n?

k=0Xk+2+aX+baveca,b?Rà déterminer.

ECS1 - Mathématiques

Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o71.2 exercices d"entrainement

Exercice 16.

On conisdère la suite(Tn)n?Nde polynômes définie par : ?T

0= 1, T1= 2X,

?n?N, Tn+2= 2XTn+1-Tn. 1.

Calculer T3etT4.

2. Démontrer pa rrécurren cedouble que, p ourtout n?N,degTn=net le coefficient dominant deTnest 2 n.Exercice 17. 1. Soit Rle reste de la division euclidienne deXnpar(X-1)(X-2). Que dire du degré deR? Déterminer

R(1)etR(2)puis en déduireR.

2. Soit Rle reste de la division euclidienne deXnpar(X-1)2. Que dire du degré deR? DéterminerR(1) etR?(1)puis en déduireR.Exercice 18.

On poseA=?1 2

-2 5? 1.

V érifierque A2-6A+ 9I2= 0

2.

En effectuant la d ivisioneuclidien nede Xnpar un polynôme bien choisi, déterminer une expression de

A npour toutn?N.Exercice 19.

SoitP?R2[X]tel que, pour toutt?R,P(cost) = 0. Montrer queP= 0.Exercice 20. (pour s"entrainer chez soi)(Voir la correction ici)

SoitPun polynôme tel que pour tout réelx,P(x) =P(sinx). Que peut-on dire deP?Exercice 21.

SoitP?K[X]tel queP(X+ 1) =P(X).

1. On p oseQ(X) =P(X)-P(0). Montrer que, pour toutn?N,Q(n) = 0. 2. En déduire que Pest constant.Exercice 22.(Voir l"indication ici) Factoriser dansR[X]et dansC[X]:P=X3+ 3X2-5X+ 1,Q=X4+ 1,R=X2-2cos(θ)X+ 1, où

θ?R.1.3 exercices d"approfondissement

Exercice 23.(?)(Voir la correction ici)

Pourn≥1, notonsPn(X) =n?

k=0X kk!. Vérifier quePnn"a pas de racine multiple.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o7Exercice 24.(? ? ?)(Voir la correction ici) Soitn≥1, on considère l"application?:P?Rn[X]?→(X2-1)P?-(nX+ 1)P. 1.

Soit P?Rn[X], montrer que?(P)?Rn[X].

2. Soit P?Rn[X], on suppose qu"il existeλ?Ctel que?(P) =λP. Montrer quePne peut avoir d"autres

racines complexes que1et-1. En déduire les valeurs possibles pourλ.Exercice 25.(? ? ?)(Voir la correction ici)

SoitA? Mn(C), on suppose qu"il existeb,c?Ctels queA2+bA+cIn= 0. Pour tout entierm≥2,

déduisez en une expression deAmen fonction des matricesAetIn(on pourra d"abord traiter le cas où un

certain polynôme a deux racines simples, puis le cas où il a une racine double).

En considérant la matriceA=?0 1

b a? aveca,b?R, retrouvez l"expression pour toutn?Nde(un)n?N définie paru0,u1?Ret?n?N,un+2=aun+1+bun.Exercice 26.(? ? ?)(Voir la correction ici) On considère la suite de polynômes définie par ??P 0= 1 P 1=-2X ?n?N,Pn+2=-2XPn+1-2(n+ 1)Pn 1.

Montrez que p ourtout n?N,Pnest une polynôme de degrén. Déterminez le coefficient dominant de

P n. 2.

Déterminez le co efficientconstant de Pn.

3.

Déterminez une relation entre Pn(x)etPn(-x)pourx?R. Déduisez en la parité dePn.1.4 exercices d"entrainement supplémentaires

Exercice 27. (HH)

On définit l"application?comme suit :

?R

3[X]-→R[X]

P?-→XP(X+ 2)-P(X2)

On considère un polynômeP=aX3+bX2+cX+d?R3[X]. Déterminer?(P).Exercice 28. (HH) 1. Déterminer le reste de la division euc lidiennede XnparX2-3x+ 2. 2. Déterminer le reste de la division eu clidiennede XnparX2-6x+ 9.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o7Exercice 29. (HH)

On définit la fonctionfsurR\ {2}par :

?x?R\ {2}, f(x) =x2+x-12x-2. 1. Déterminer la lim itede fen+∞et en-∞. 2.

Déterminer la lim itede fen2+et en2-.

On commencera par donner le tableau de signes dex-2. 3. Déterminer le tableau de va riationsde fainsi que son tableau de signes. 4. (a) Écrire la division e uclidiennede x2+x-12parx-2. (b)

En déduire une nouvelle exp ressionde f.

(c) Déduire de cette e xpressionune fonction affine htelle que lim x→+∞f(x)-h(x) = limx→-∞f(x)-h(x) = 0. (d)

Comment cela se traduit-il graphiquement ?

5. T racerle plus s oigneusementp ossiblel"allure de la courb ere présentativede f.Exercice 30. (HH)

On définit l"applicationψpar :

ψ:?R

2[X]-→R[X]

P?-→2P+ (X-1)P?.

1.

Calculer ψ?3X2-2X+ 5?etψ?

ψ?3X2-2X+ 5??

2. (a)

Calculer ψ(X2),ψ(X)etψ(1).

(b)

Par exemple :

a1,2est le coefficient de1dansψ(X) a2,2est le coefficient deXdansψ(X), a3,2est le coefficient deX2dansψ(X) a2,3est le coefficient deXdansψ(X2)

Donner la matriceAet calculerA2.

3.

Calculer A×(

(5 -2 3) )etA2×( (5 -2 3) ). Que remarque-t-on? 4. (a)

Montrer que Aest inversible et déterminerA-1.

(b) On note Q=aX2+bX+coùa,b,csont les réels tels que :( (c b a) )=A-1( (5 -2 3)

DéterminerQ.

(c)

Sans aucun calcul, trouverez-vous ψ(Q)?

5.Généralisation (EML 2019)

Soitn?N?eta?R. On définit l"applicationψapar : a:?R n[X]-→R[X]

P?-→2P+ (X-a)P?.

(a) V érifierque p ourtout P?Rn[X],ψ(P)?Rn[X].ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o7(b)Calculer ψ(1),ψ(X),ψ(X2)puisψ(Xk)pourk?J1,nK. (c) (d) Justifier que Aest inversible.Exercice 31. Exercice de calcul n o1 (I)

On poseP(X) =-4X3-X2-3etQ(X) = 2X2-2.

1.

Déterminer (P+Q)(X),P(X2),P(X+ 1),P◦Q(X).

2. F actoriserP-Q.Exercice 32. (HHH)(Voir l"indication ici) Déterminer l"ensemble des polynômesP?C[X]tels que :

P(X2) =P(X-1)P(X)

.Exercice 33. (I)(Voir l"indication ici) 1.

Montrer que X2-1diviseX10-X8+X6-X4

2.

Montrer que (X-2)(X+ 3)diviseX6-7X4+ 6X3.

3. Montrer que (X-1)2divisenXn+1-(n+ 1)Xn+ 1Exercice 34. (HH)(Voir l"indication ici) Factoriser dansR[X]le polynômeX4-41X2+ 400.2 Indications Exercice 22 - Indication.(retour à l"exercice 22)

PourP, trouver une racine évidente.

PourQ, utiliser la méthode vue dans l"exemple 8 du cours.

PourRprocéder comme d"habitude, avec le discriminant.Exercice 32 - Indication.(retour à l"exercice 32)

Considérer un polynôme constant solution et trouver tous les polynômes constant solutions.

Considérer ensuite un polynôme non constant solution et déterminer toutes ses racines possibles. A la fin vous

devez ne trouver que 2 racines possibles. Déduisez-en sa forme factorisée et, en utilisant l"équation, simplifiez

encore cette forme factorisée finissez de trouver les seuls polynômes possibles.

Vous devez trouver que les polynômes solutions sont de la forme(X2+X+ 1)nou le polynôme nul.Exercice 33 - Indication.(retour à l"exercice 33)

Pas besoin de faire une division euclidienne ici! Penser au fait quer1, etr2sont racines distinctes dePssi

(X-r1)(X-r2)diviseP.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o7Exercice 34 - Indication.(retour à l"exercice 34) Trouver toutes les racines en résolvant l"équationX4-41X+ 400 = 0.

C"est une équation bicarrée....

...Donc... ...Pour résoudre cette équation, poserx=X2ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o73 Solutions Exercice 6 - Correction.(retour à l"exercice 6)

1.A=X3-3X2,B=X2-X+ 2

Correction:A(X) =B(X)(X-2) + (-4X+ 4).

2.A=-16X4-64X2-X-100,B= 4X2+ 4X+ 10

Correction:A(X) =B(X)(-4X2+ 4X-10)-X.

3.A=X4+ 6X2-2X+ 5,B=X3-X2+ 4X-4

Correction:A(X) =B(X)(X+ 1) + 3X2-2X+ 9.

4.A=X3+iX2+X,B=X-i+ 1

"Correction:A(X) =B(X)(X2-(1-2i)X-3i) + (3 + 3i).

5.A=nXn+1-(n+ 1)Xn+X,B= (X-1)2

Correction: si on posePn(X) =nXn+1-(n+ 1)Xn+X, alors on remarque en débutant la division euclidienne quePn(X) =A(X) =nB(X)Xn?+Pn-1(X)et donc en itérant, on obtientPn(X) = B(X)(nXn-1+ (n-1)Xn-2+...+ 1) +X-1.Exercice 12 - Correction.(retour à l"exercice 12) Si on noteaetbles racines dePalorsaetbsont racines du reste de la division euclidienne dePparP?. On trouve ainsia=-2etb= 3doncP(X) = (X+ 2)2(X-3)2Exercice 23 - Correction.(retour à l"exercice 23)

On remarque que pour toutn≥1,Pn(X) =P?n(X) +Xnn!, donc siPna une racine multiple que l"on notea,

elle annule aussiP?net doncann!= 0, donca= 0mais0n"est pas racine dePn(car son coefficient constant est non nul), doncPnn"a pas de racine multiple.Exercice 20 - Correction.(retour à l"exercice 20)

On poseQ(X) =P(X)-P(0). On remarque que?k?Z,Q(kπ) = 0, doncQpossède une infinité de racines,

donc c"est le polynôme nul. Ainsi,Pest un polynôme constant.Exercice 24 - Correction.(retour à l"exercice 24)

1. X de(X2-1)P?)estnanet celui de(nX+ 1)Pest aussinan, donc les termes enXn+1s"annulent et 2. Soit a?R,a?= 1eta?=-1, on suppose queaest racine dePde multiplicitéα. On peut donc écrire P(X) = (X-a)αQ(X)oùQ(a)?= 0. On obtient ainsi (X2-1)P?-(nX+ 1)P= (X2-1)((X-a)αQ?(X) +α(X-a)α-1Q(X))-(nX+ 1)(X-a)αQ(x) =λ(X-a)αQ(X)

Et donc

(X2-1)α(X-a)α-1Q(X) =λ(X-a)αQ(X) + (nX+ 1)(X-a)αQ(x)-(X2-1)(X-a)αQ?(X)ECS1 - Mathématiques

Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n

o7aest racine de multiplicité au moinsαdans le terme de droite mais de multiplicité au plusα-1dans le

terme de gauche. Donc les seules racines possibles pourPsont-1et1. Donc on peut écrirePsous la formean(X-1)k(X+ 1)l. On obtient ainsi (X2-1)(ank(X-1)k-1(X+ 1)l+anl(X-1)k(X+ 1)l-1)-(nX+ 1)(an(X-1)k(X+ 1)l) =λ(an(X-1)k(X+ 1)l) commeX2-1 = (X+ 1)(X-1), on obtient (ank(X-1)k(X+1)l+1+anl(X-1)k+1(X+1)l)-(nX+1)(an(X-1)k(X+1)l) =λ(an(X-1)k(X+1)l) on peut mettrean(X-1)k(X+ 1)len facteur et on ak(X+ 1) +l(X-1)-(nX+ 1) =λdonc k+l=netλ=k-l-1 = 2k-n-1aveck?J0,nK.Exercice 25 - Correction.(retour à l"exercice 25) Si le polynômeP(X) =X2+bX+ca deux racines distinctesx1etx2, alors on fait la division euclidienne

deXnparPpour obtenirXn=P(X)Q(X) +R(X)oùRest de degré inférieur ou égal à1donc s"écrit

R(X) =αX+β, on évalue enx1etx2, on obtientαx1+β=xn1etαx2+β=xn2doncα=xn1-xn2x

1-x2et

β=xn1-x1xn1-xn2x

1-x2. DoncAn=xn1-xn2x

1-x2A+xn1-x1xn1-xn2x

1-x2I2.

SiPa une racine doublex1, alors pour obtenirRon obtient deux relations en dérivant :αx1+β=xn1et

nx n-11=β, doncα=xn-11-nxn-2n. On en déduit queAn= (xn-11-nxn-2n)A+nxn-11I2.

On peut appliquer ces résultats pour la matriceAdonnée en remarquant queA2-aX-bI2= 0.Exercice 26 - Correction.(retour à l"exercice 26)

1. On va montrer pa rréc urrencedouble que Pnest de degrénet de coefficient dominant(-2)n. Pour

l"initialisation, ok. Pour l"hérédité, soitn?N, on suppose quePnest de degrénet de coefficient

dominant(-2)netPn+1est de degrén+ 1et de coefficient dominant(-2)n+1. Le deuxième terme de

la définition dePn+2est de degrénmais le premier est de degrén+ 2, son coefficient dominant est-2

fois celui dePn+1, ce qui conclut la preuve. 2.

P ourévaluer le co efficientconstant d"un p olynôme,il faut l"évaluer en 0. On pose pour tout entiern,bn

le coefficient constant dePn, on trouvebn+2=-2(n+ 1)bn. On en déduit que b

2n+2=-2(2n+ 1)b2n=-2(2n+ 1)×(-2)(2n-1)b2n-2

= (-2)n+1b0n k=1(2k+ 1) = (-2)n+1n? k=1(2k+ 1)2k2k = (-2)n+1(2n+ 1)!12 n?nk=1k = (-2)n+1(2n+ 1)!12 nn! et pourb2n+1, commeb1= 0, on en déduit de la relationbn+2=-2(n+ 1)bnqueb2n+1= 0pour tout entiern. 3.

On va montrer pa rrécurrence q uep ourtout entier n,P2nest pair etP2n+1est impair. Pour l"initialisation,

ok. Pour l"hérédité :quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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