Polynômes
Pour quelles valeurs de a le polynôme (X +1)7 −X7 −a admet-il une racine multiple réelle? Correction ▽. Vidéo □. [000410]. Exercice 8. Chercher tous les
Polynômes
Déterminer les racines réelles et complexes de . Allez à : Correction exercice 9. Exercice 10. Factoriser sur ℝ et sur ℂ le polynôme. ( )
Les polynômes : exercices
Les polynômes : exercices. 1. Réduis et ordonne les polynômes suivants. Donne leur degré dis s'ils sont complets ou incomplets. A(x)=x4−2 x2−3x4+x2−7
Feuille dexercices no 7 - Polynômes
Exercice 6. (Voir la correction ici). Effectuer la division euclidienne du polynôme A par le polynôme B. 1. A = X3 − 3X2 B = X2 − X + 2.
polynômes.pdf
X2n − 2 cos(na)Xn + 1. Relations entre coefficients et racines d'un polynôme scindé. Exercice 64 [ 02176 ] [Correction].
EXERCICES SUR LES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES n
EXERCICES SUR LES POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES. Igor Kortchemski. - Rappels de - Exercices -. Exercice 1 Soit n ≥ 2. Il existe une infinité de nombres premiers ...
Première générale - Polynômes du second degré - Exercices - Devoirs
Exercice 4 corrigé disponible. Exercice 5 corrigé disponible. Exercice 6 corrigé disponible. 1/4. Les polynômes du second degré – Exercices - Devoirs.
Exercices sur la division euclidienne des polynômes
Exercices sur la division euclidienne des polynômes. Exercice 1. Calculer le quotient et le reste de chacune des divisions suivantes de A par B : (1) et. (. ) 3.
Anneaux et idéaux Exercice 10. (1) Polynômes irréductibles sur F3
Feuille d'exercices n. 05. Anneaux et idéaux. Exercice 10. (1) Polynômes irréductibles sur F3=Z/3Z=f−1;. 0;1g. indications : les irréductibles de degrés 23
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 9 ***. Soit P un polynôme à coefficients entiers relatifs de degré supérieur ou égal à 1. Soit n un entier relatif et m = P(n).
Polynômes
Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que : Calculer le pgcd D des polynômes A et B ci-dessous. ... Correction de l'exercice 1 ?.
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que si A et B sont deux polynômes à coefficients dans Q alors le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B
Les polynômes : exercices
Les polynômes : exercices. 1. Réduis et ordonne les polynômes suivants. Donne leur degré dis s'ils sont complets ou incomplets.
Les polynômes : exercices
Les polynômes : exercices. 1. Réduis et ordonne les polynômes suivants. Donne leur degré dis s'ils sont complets ou incomplets.
Feuille dexercices no 7 - Polynômes
Exercice 6. (Voir la correction ici). Effectuer la division euclidienne du polynôme A par le polynôme B. 1. A = X3 ? 3X2 B = X2 ? X + 2.
Polynômes
Déterminer les racines réelles et complexes de . Allez à : Correction exercice 9. Exercice 10. Factoriser sur ? et sur ? le polynôme. ( )
livre-algebre-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
particuliers : les nombres complexes les entiers ainsi que les polynômes. activement par vous-même des exercices
Première générale - Polynômes du second degré - Exercices - Devoirs
Exercice 5 corrigé disponible. Exercice 6 corrigé disponible. 1/4. Les polynômes du second degré – Exercices - Devoirs. Mathématiques Première générale
Mathématiques - Pré-calcul secondaire 2 - Exercices cumulatifs et
Exercice no 1 : Multiplication des polynômes. A-1. Multiplier les polynômes dans les problèmes 1 à 10 ci-après : 1. a) (2x2y)(3xy2) b).
Exercices de révisions : Polynômes
Exercices de révisions : Polynômes. Attention seuls les correctifs des 3 premières questions sont disponibles sur le site internet. Exercice 1.
Polynômes
Corrections de Léa Blanc-Centi.
1 Opérations sur les polynômes
Exercice 1Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que :P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:
Exercice 21.Ef fectuerla di visioneuclidienne de AparB: (a)A=3X5+4X2+1;B=X2+2X+3 (b)A=3X5+2X4X2+1;B=X3+X+2 (c)A=X4X3+X2;B=X22X+4 (d)A=X57X4X29X+9;B=X25X+4 2.Ef fectuerla di visionselon les puissances croissantes de AparBà l"ordrek(c"est-à-dire tel que le reste
soit divisible parXk+1) : (a)A=12X+X3+X4;B=1+2X+X2;k=2 (b)A=1+X32X4+X6;B=1+X2+X3;k=4 À quelle condition sura;b;c2Rle polynômeX4+aX2+bX+cest-il divisible parX2+X+1 ? 1. Déterminer les pgcd des polynômes sui vants: (a)X3X2X2 etX52X4+X2X2 (b)X4+X32X+1 etX3+X+1 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1 etX4+2X3+X+2 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 etXnnX+n1 (n2N) 12.Calculer le pgcd Ddes polynômesAetBci-dessous. Trouver des polynômesUetVtels queAU+BV=
D. (a)A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 (b)A=X62X5+2X43X3+3X22X etB=X42X3+X2X+1 1.Montrer que si AetBsont deux polynômes à coefficients dansQ, alors le quotient et le reste de la division
euclidienne deAparB, ainsi que pgcd(A;B), sont aussi à coefficients dansQ. 2. Soit a;b;c2Cdistincts, et 0Indications.Commencer par trouver une solution particulièreP0avec l"une des méthode suivantes :
1. à partir de la relation de Bézout entre (X1)4et(X+1)4; 2. en considérant le polynôme déri véP00et en cherchant un polynôme de degré minimal.Montrer quePconvient si et seulement si le polynômePP0est divisible par(X1)4(X+1)4, et en déduire
toutes les solutions du problème. Quels sont les polynômesP2C[X]tels queP0diviseP? 2Exercice 10
Trouver tous les polynômesPqui vérifient la relationP(X2) =P(X)P(X+1)
Soitn2N. Montrer qu"il existe un uniqueP2C[X]tel que 8z2CP z+1z =zn+1z nMontrer alors que toutes les racines dePsont réelles, simples, et appartiennent à l"intervalle[2;2].
1. Soit P=Xn+an1Xn1++a1X+a0un polynôme de degrén>1 à coefficients dansZ. Démontrer que siPadmet une racine dansZ, alors celle-ci divisea0. 2. Les polynômes X3X2109X11 etX10+X5+1 ont-ils des racines dansZ? Soienta0;:::;andes réels deux à deux distincts. Pour touti=0;:::;n, on pose L i(X) =Õ 16j6n j6=iXaja iaj (lesLisont appeléspolynômes interpolateurs de Lagrange). CalculerLi(aj).Soientb0;:::;bndes réels fixés. Montrer queP(X) =åni=0biLi(X)est l"unique polynôme de degré inférieur ou
égal ànqui vérifie:
P(aj) =bjpour toutj=0;:::;n:
Application.Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel queP(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:
Indication pourl"exer cice4 NLe calcul du pgcd se fait par l"algorithme d"Euclide, et la "remontée" de l"algorithme permet d"obtenirUetV.Indication pourl"exer cice5 NCalculer pgcd(P;P0).Indication pourl"exer cice9 NSiP=P0QavecP6=0, regarder le degré deQ.Indication pourl"exer cice10 NMontrer que siPest un polynôme non constant vérifiant la relation, alors ses seules racines possibles sont 0 et
1.Indication pourl"exer cice11 NPour l"existence, preuve par récurrence surn. Pour les racines, montrer queP(x) =2cos(narccos(x=2)).4
Correction del"exer cice1 NOn cherchePsous la formeP(X) =aX3+bX2+cX+d, ce qui donne le système linéaire suivant à résoudre:
8>>< >:d=1 a+b+c+d=0 a+bc+d=28a+4b+2c+d=4
Après calculs, on trouve une unique solution :a=32 ,b=2,c=12 ,d=1 c"est-à-direP(X) =32
X32X212
X+1:Correction del"exer cice2 N1.(a) 3 X5+4X2+1= (X2+2X+3)(3X36X2+3X+16)41X47 (b)3 X5+2X4X2+1= (X3+X+2)(3X2+2X3)9X2X+7
(c)X4X3+X2= (X22X+4)(X2+X2)7X+6 (d)X57X4X29X+9 = (X25X+4)(X32X214X63)268X+261 2. (a)1 2X+X3+X4= (1+2X+X2)(14X+7X2)+X3(96X)
(b)1 +X32X4+X6= (1+X2+X3)(1X2X4)+X5(1+2X+X2)Correction del"exer cice3 NLa division euclidienne deA=X4+aX2+bX+cparB=X2+X+1 donne
X4+aX2+bX+c= (X2+X+1)(X2X+a)+(ba+1)X+ca
OrAest divisible parBsi et seulement si le resteR= (ba+1)X+caest le polynôme nul, c"est-à-dire si
et seulement siba+1=0 etca=0.Correction del"exer cice4 N1.L "algorithmed"Euclide permet de calculer le pgcd par une suite de di visionseuclidiennes.
(a)X52X4+X2X2= (X3X2X2)(X2X)+2X23X2 puisX3X2X2= (2X23X2)(12 X+14 )+34 X32 puis 2X23X2= (34 X32 )(83 X+43 Le pgcd est le dernier reste non nul, divisé par son coefficient dominant: pgcd(X3X2X2;X52X4+X2X2) =X2 (b)X4+X32X+1= (X3+X+1)(X+1)X24X puisX3+X+1= (X24X)(X+4)+17X+1 donc pgcd(X4+X32X+1;X3+X+1) =pgcd(X24X;17X+1) =1 carX24Xet 17X+1 n"ont pas de racine (même complexe) commune. 5 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1= (X4+2X3+X+2)(X+1)X31 puisX4+2X3+X+2= (X31)(X2)+2X3+2 pgcd(X5+3X4+X3+X2+3X+1;X4+2X3+X+2) =X3+1 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 = (XnnX+n1)(nX(n+1))+n2(X1)2 Sin=1 alorsXnnX+n1=0 et le pgcd vaut(X1)2. On constate que 1 est racine de X nnX+n1, et on trouveXnnX+n1= (X1)(Xn1+Xn2++X2+X(n1)). Sin>2: 1 est racine deXn1+Xn2++X2+X(n1)et on trouve X n1+Xn2++X2+X(n1) = (X1)(Xn2+2Xn3++(n1)X2+nX+(n+1)), donc finalement(X1)2divise X nnX+n1 (on pourrait aussi remarquer que 1 est racine de multiplicité au moins deux de X nnX+n1, puisqu"il est racine de ce polynôme et de sa dérivée). Ainsi sin>2;pgcd(nXn+1(n+1)Xn+1;XnnX+n1) = (X1)2 2. (a) A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 doncA=BQ1+R1avecQ1=X+1,R1=2X310X216X8 puisB=R1Q2+R2avecQ2=12 X+32 etR2=9X2+27X+18 et enfinR1=R2Q3avecQ3=29 X49DoncD=X2+3X+2, et on obtient
9D=BR1Q2=B(ABQ1)Q2=AQ2+B(1+Q1Q2)
soit U=19 (Q2) =118 X16 V=19 (1+Q1Q2) =118 X2+19 X+518 (b)On a A=BQ1+R1avecQ1=X2+1,R1=X2X1
puisB=R1Q2+R2avecQ2=X2X+1 etR2=X+2 et enfinR1=R2Q3+R3avecQ3=X1 etR3=1DoncD=1, et on obtient
1=R1R2Q3=R1(BR1Q2)Q3=R1(1+Q2Q3)BQ3
= (ABQ1)(1+Q2Q3)BQ3 =A(1+Q2Q3)B(Q1(1+Q2Q3)+Q3) soitU=1+Q2Q3=X3
V=Q1(1+Q2Q3)Q3=1+X+X3+X5Correction del"exer cice5 N1.Lorsqu"on ef fectuela di visioneuclidienne A=BQ+R, les coefficients deQsont obtenus par des
opérations élémentaires (multiplication, division, addition) à partir des coefficients deAetB: ils restent
donc dansQ. De plus,R=ABQest alors encore à coefficients rationnels. Alorspgcd(A;B)=pgcd(B;R)etpourl"obtenir, onfaitladivisioneuclidiennedeBparR(dontlequotientet le reste sont encore à coefficients dansQ), puis on recommence... Le pgcd est le dernier reste non nul,
c"est donc encore un polynôme à coefficients rationnels. 62.Notons P1=pgcd(P;P0): commePest à coefficients rationnels,P0aussi et doncP1aussi. OrP1(X) =
(Xa)p1(Xb)q1(Xc)r1. En itérant le processus, on obtient quePr1(X) = (Xc)est à coefficients rationnels, doncc2Q. On remonte alors les étapes:Pq1(X) = (Xb)(Xc)rq+1est à coefficients rationnels, etXbaussi en tant que quotient dePq1par le polynôme à coefficients rationnels(Xc)rq+1, doncb2Q. Demême, en considérantPp1, on obtienta2Q.Correction del"exer cice6 N1.(a) X33= (X31=3)(X2+31=3X+32=3)oùX2+31=3X+32=3est irréductible surR. On cherche
ses racines complexes pour obtenir la factorisation surC: X33= (X31=3)(X+12
31=3i2
35=6)(X+12
31=3+i2
35=6)(b) P assonsà X121.z=reiqvérifiez12=1 si et seulement sir=1 et 12q0[2p], on obtient donc comme racines complexes leseikp=6(k=0;:::;11), parmi lesquelles il y en a deux réelles (1 et 1) et cinq couples de racines complexes conjuguées (eip=6ete11ip=6,e2ip=6ete10ip=6,e3ip=6ete9ip=6, e
4ip=6ete8ip=6,e5ip=6ete7ip=6), d"où la factorisation surC[X]:
X121= (X1)(X+1)(Xeip=6)(Xe11ip=6)(Xe2ip=6)
(Xe10ip=6)(Xe3ip=6)(Xe9ip=6)(Xe4ip=6) (Xe8ip=6)(Xe5ip=6)(Xe7ip=6) Comme(Xeiq)(Xeiq) = (X22cos(q)X+1), on en déduit la factorisation dansR[X]: X121= (X1)(X+1)(X22cos(p=6)X+1)
(X22cos(2p=6)X+1)(X22cos(3p=6)X+1) (X22cos(4p=6)X+1)(X22cos(5p=6)X+1) = (X1)(X+1)(X2p3X+1) (X2X+1)(X2+1)(X2+X+1)(X2+p3X+1)quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] les polynomes exercices corrigés tronc commun
[PDF] les pommes que j'ai mangées
[PDF] Les pont
[PDF] Les pont suspendu
[PDF] LES PONTS
[PDF] les ponts comment franchir un obsatcle
[PDF] les ponts du plus anciens au plus moderne
[PDF] les ponts ouvrage d'art
[PDF] Les Ponts Pour APRES DEMAIN !
[PDF] Les ponts technologie 5eme
[PDF] Les populations de Damier de la succise
[PDF] Les portails
[PDF] les portes de la perception
[PDF] Les portes du menuisier
