Fonction numérique dune variable réelle
dé nition de la fonction f noté Df . MATHEMATIQUES APPLIQUEES (L1 AES). Fonction numérique d'une variable réelle. 2007 - 2008.
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27 oct 2017 · fonction d'une variable réelle fonction d'une variable réelle s1 economie fonction d'une Durée : 8:56Postée : 27 oct 2017
Qu'est-ce qu'une fonction numérique d'une variable réelle ?
Une fonction réelle d'une variable réelle associe une valeur réelle à tout nombre de son domaine de définition. Ce type de fonction numérique permet notamment de modéliser une relation entre deux grandeurs physiques.Quand Dit-on qu'une fonction est numérique ?
En mathématiques, une fonction numérique est une fonction à valeurs réelles, c'est-à-dire qu'elle associe à toute valeur possible de ses variables un résultat numérique.Quelle est la variable d'une fonction ?
Une variable est donc une entité syntaxique qui apparaît dans une expression et que l'on peut remplacer par une valeur, par exemple par un nombre. En rempla?nt les variables d par 6, V par 14 et h par 2, on obtient les résultats suivants : c'est-à-dire L=7 (la longueur est 7) et l=1 (la largeur est 1).- La limite d'une fonction, c'est en gros « vers quoi tend » la fonction. Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse : On voit bien que quand x tend vers +?, la fonction « tend » vers 0, c'est-à-dire qu'elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher.
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Jean-Pierre Dedieu, Jean-Pierre Raymond
ANALYSE : FONCTIONS D"UNE
VARIABLE R´EELLE
Institut de Math´ematiques
Universit´e Paul Sabatier
31062 Toulouse cedex 09
jean-pierre.dedieu@math.univ-toulouse.fr 2 Table des Mati`eres1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.1 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Corps commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Totalement ordonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Borne inf´erieure, sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.1.4Rest archim´edien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5Qest dense dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 D´efinition de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Stabilit´e des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 D´efinition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Limites de fonctions et limites de suites . . . . . . . . . . . .. 16
1.3.4 Stabilit´e des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.5 Limite et supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . .. . . . . . . . . 19
2.2 Propri´et´es alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 20
2.3 Propri´et´es des fonctions continues sur un intervalle compact . . . . . 21
2.3.1 Le th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . .. . . . 22
2.3.3 Continuit´e uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.4 Le th´eor`eme de Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.5 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 D´erivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3.1 D´efinition de la d´eriv´ee en un point. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 27
3.1.1 D´eriv´ee en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 D´eriv´ees `a gauche, `a droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
4Table des Mati`eres
3.1.3 Graphe et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 R`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 D´eriv´ees des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31
3.4 D´eriv´ee d"une fonction compos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31
4 Th´eor`emes des accroissements finis, formules de Taylor. . . . . .33
4.1 Extrema d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Th´eor`eme de Rolle, th´eor`eme des accroissements finis .. . . . . . . . 35
4.2.1 Th´eor`eme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3 Fonctions r´eciproques des fonctions strictement monotones . . 36
4.2.4 R`egle de l"Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Formules de Taylor-Lagrange et de Taylor-Young . . . . . . .. . . . 40
4.4.1 Exemples et remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.2 La formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 D´eveloppements limit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
5.1 D´efinition d"un d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . .. . . . . 43
5.2 D´eveloppements limit´es usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 45
5.2.1 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.2 Sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.3 Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique .. . . . 47
5.2.4 La fonction (1 +x)α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.5 La fonction logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
5.2.6 Exemples de d.l. au voisinage dea?= 0 . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.7 D´eveloppement limit´e au voisinage de l"infini . . . . . .. . . . 48
5.3 Op´erations sur les d´eveloppements limit´es . . . . . . . . .. . . . . . 49
5.3.1 D´eveloppement limit´e d"une combinaison lin´eaire defetg. . 49
5.3.2 D´eveloppement limit´e du produit defetg. . . . . . . . . . . 49
5.3.3 D´eveloppement limit´e de la compos´ee defetg. . . . . . . . 50
5.3.4 D´eveloppement limit´e du quotient defparg. . . . . . . . . 50
5.3.5 Division d"un polynˆome par un autre suivant les puissances
croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4 Exemples d"utilisation des d´eveloppements limit´es . .. . . . . . . . . 51
6 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
6.1 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Caract´erisations des fonctions convexes . . . . . . . . . . . .. . . . . 54
7 Int´egration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
7.1 Int´egrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 57
7.2 Int´egrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58
7.3 Int´egrale des fonctions continues par morceaux . . . . . .. . . . . . . 61
7.4 Le th´eor`eme fondamental du calcul int´egral . . . . . . . .. . . . . . . 61
7.5 Primitives et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
Table des Mati`eres5
7.5.1 Primitives d"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . .. 62
7.5.2 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.5.3 Primitives d"un d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . .. . . 64
7.6 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
7.7 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.7.1 R´esultats g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.7.2 Trinˆomes du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.8 Int´egration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . .. . . . . . 67
7.8.1 Factorisation complexe d"un polynˆome . . . . . . . . . . . . .67
7.8.2 Factorisation r´eelle d"un polynˆome . . . . . . . . . . . . . .. 68
7.8.3 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.8.4 D´ecomposition en ´el´ements simples de premi`ere esp`ece . . . . 70
7.8.5 D´ecomposition en ´el´ements simples de deuxi`eme esp`ece . . . . 70
7.8.6 Int´egration des fractions rationnelles . . . . . . . . . .. . . . 71
7.9 Quelques changements de variable classiques . . . . . . . . . . .. . . 71
7.9.1 Fonctions de la formeF(cosx,sinx) . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.9.2 Fonctions de la formeF(coshx,sinhx) . . . . . . . . . . . . . 72
7.9.3 Fonctions de la formeF?
x,?ax+b cx+d? 1/n? . . . . . . . . . . . . . 727.9.4 Fonctions de la formeF?x,⎷
ax2+bx+c?. . . . . . . . . . . 728 Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre. . . . . . . . .73
8.1´Equations diff´erentielles lin´eaires homog`enes d"ordre1 . . . . . . . . . 73
8.2 Probl`eme de Cauchy pour les ´equations diff´erentielles homog`enes . . . 75
8.3´Equations diff´erentielles lin´eaires non homog`enes d"ordre 1 . . . . . . 75
8.4 M´ethode de la variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . .. . 77
8.5 Raccord de deux solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.5.1 Un exemple ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.5.2 Un deuxi`eme exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.6 Applications des ´equations diff´erentielles. . . . . . . . . .. . . . . . . 80
9 Courbes planes param´etr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
9.1 Arcs de courbes param´etr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.2 D´eriv´ees, d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 82
9.3 Tangente `a un arc de courbe param´etr´e . . . . . . . . . . . . . .. . . 83
9.3.1 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.3.2 Tangente en un point d"un arc de courbe param´etr´e . . .. . . 83
9.3.3 Tangente en un point stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.4 Position de la courbe par rapport `a sa tangente . . . . . . . . . .. . 85
9.5 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.6 Exemple d"´etude d"un arc param´etr´e . . . . . . . . . . . . . . .. . . 89
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .956Table des Mati`eres
Avant-Propos
La r´edaction de ce polycopi´e a b´en´efici´e de versions pr´eliminaires, d"une part le
polycopi´e "Suites Num´eriques" de Jean-Pierre Dedieu et Jean-Claude Yakoubsohn qui a servi de base pour la r´edaction du chapitre 1 et d"autre part un cours po-quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] fonction d'une variable réelle bts
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