ANALYSE : FONCTIONS DUNE VARIABLE R´EELLE PDF

Fonction numérique dune variable réelle

dé nition de la fonction f noté Df . MATHEMATIQUES APPLIQUEES (L1 AES). Fonction numérique d'une variable réelle. 2007 - 2008.

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27 oct 2017 · fonction d'une variable réelle fonction d'une variable réelle s1 economie fonction d'une Durée : 8:56Postée : 27 oct 2017

Qu'est-ce qu'une fonction numérique d'une variable réelle ?
Une fonction réelle d'une variable réelle associe une valeur réelle à tout nombre de son domaine de définition. Ce type de fonction numérique permet notamment de modéliser une relation entre deux grandeurs physiques.
Quand Dit-on qu'une fonction est numérique ?
En mathématiques, une fonction numérique est une fonction à valeurs réelles, c'est-à-dire qu'elle associe à toute valeur possible de ses variables un résultat numérique.
Quelle est la variable d'une fonction ?
Une variable est donc une entité syntaxique qui apparaît dans une expression et que l'on peut remplacer par une valeur, par exemple par un nombre. En rempla?nt les variables d par 6, V par 14 et h par 2, on obtient les résultats suivants : c'est-à-dire L=7 (la longueur est 7) et l=1 (la largeur est 1).
La limite d'une fonction, c'est en gros « vers quoi tend » la fonction. Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse : On voit bien que quand x tend vers +?, la fonction « tend » vers 0, c'est-à-dire qu'elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher.

Jean-Pierre Dedieu, Jean-Pierre Raymond

ANALYSE : FONCTIONS D"UNE

VARIABLE R´EELLE

Institut de Math´ematiques

Universit´e Paul Sabatier

31062 Toulouse cedex 09

jean-pierre.dedieu@math.univ-toulouse.fr 2 Table des Mati`eres1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.1 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Corps commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Totalement ordonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3 Borne inf´erieure, sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.1.4Rest archim´edien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.5Qest dense dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 D´efinition de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Stabilit´e des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3 Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5 Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 D´efinition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3 Limites de fonctions et limites de suites . . . . . . . . . . . .. 16

1.3.4 Stabilit´e des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.5 Limite et supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . .. . . . . . . . . 19

2.2 Propri´et´es alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 20

2.3 Propri´et´es des fonctions continues sur un intervalle compact . . . . . 21

2.3.1 Le th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . .. . . . 22

2.3.3 Continuit´e uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.4 Le th´eor`eme de Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.5 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 D´erivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

3.1 D´efinition de la d´eriv´ee en un point. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 27

3.1.1 D´eriv´ee en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.2 D´eriv´ees `a gauche, `a droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29

4Table des Mati`eres

3.1.3 Graphe et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 R`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 D´eriv´ees des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31

3.4 D´eriv´ee d"une fonction compos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31

4 Th´eor`emes des accroissements finis, formules de Taylor. . . . . .33

4.1 Extrema d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Th´eor`eme de Rolle, th´eor`eme des accroissements finis .. . . . . . . . 35

4.2.1 Th´eor`eme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.3 Fonctions r´eciproques des fonctions strictement monotones . . 36

4.2.4 R`egle de l"Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Formules de Taylor-Lagrange et de Taylor-Young . . . . . . .. . . . 40

4.4.1 Exemples et remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4.2 La formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 D´eveloppements limit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

5.1 D´efinition d"un d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . .. . . . . 43

5.2 D´eveloppements limit´es usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 45

5.2.1 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.2 Sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.3 Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique .. . . . 47

5.2.4 La fonction (1 +x)α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.5 La fonction logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . .. 48

5.2.6 Exemples de d.l. au voisinage dea?= 0 . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.7 D´eveloppement limit´e au voisinage de l"infini . . . . . .. . . . 48

5.3 Op´erations sur les d´eveloppements limit´es . . . . . . . . .. . . . . . 49

5.3.1 D´eveloppement limit´e d"une combinaison lin´eaire defetg. . 49

5.3.2 D´eveloppement limit´e du produit defetg. . . . . . . . . . . 49

5.3.3 D´eveloppement limit´e de la compos´ee defetg. . . . . . . . 50

5.3.4 D´eveloppement limit´e du quotient defparg. . . . . . . . . 50

5.3.5 Division d"un polynˆome par un autre suivant les puissances

croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4 Exemples d"utilisation des d´eveloppements limit´es . .. . . . . . . . . 51

6 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

6.1 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Caract´erisations des fonctions convexes . . . . . . . . . . . .. . . . . 54

7 Int´egration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

7.1 Int´egrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 57

7.2 Int´egrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58

7.3 Int´egrale des fonctions continues par morceaux . . . . . .. . . . . . . 61

7.4 Le th´eor`eme fondamental du calcul int´egral . . . . . . . .. . . . . . . 61

7.5 Primitives et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62

Table des Mati`eres5

7.5.1 Primitives d"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . .. 62

7.5.2 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.5.3 Primitives d"un d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . .. . . 64

7.6 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

7.7 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.7.1 R´esultats g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.7.2 Trinˆomes du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.8 Int´egration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . .. . . . . . 67

7.8.1 Factorisation complexe d"un polynˆome . . . . . . . . . . . . .67

7.8.2 Factorisation r´eelle d"un polynˆome . . . . . . . . . . . . . .. 68

7.8.3 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.8.4 D´ecomposition en ´el´ements simples de premi`ere esp`ece . . . . 70

7.8.5 D´ecomposition en ´el´ements simples de deuxi`eme esp`ece . . . . 70

7.8.6 Int´egration des fractions rationnelles . . . . . . . . . .. . . . 71

7.9 Quelques changements de variable classiques . . . . . . . . . . .. . . 71

7.9.1 Fonctions de la formeF(cosx,sinx) . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.9.2 Fonctions de la formeF(coshx,sinhx) . . . . . . . . . . . . . 72

7.9.3 Fonctions de la formeF?

x,?ax+b cx+d? 1/n? . . . . . . . . . . . . . 72

7.9.4 Fonctions de la formeF?x,⎷

ax2+bx+c?. . . . . . . . . . . 72

8 Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre. . . . . . . . .73

8.1´Equations diff´erentielles lin´eaires homog`enes d"ordre1 . . . . . . . . . 73

8.2 Probl`eme de Cauchy pour les ´equations diff´erentielles homog`enes . . . 75

8.3´Equations diff´erentielles lin´eaires non homog`enes d"ordre 1 . . . . . . 75

8.4 M´ethode de la variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . .. . 77

8.5 Raccord de deux solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.5.1 Un exemple ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.5.2 Un deuxi`eme exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.6 Applications des ´equations diff´erentielles. . . . . . . . . .. . . . . . . 80

9 Courbes planes param´etr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

9.1 Arcs de courbes param´etr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.2 D´eriv´ees, d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 82

9.3 Tangente `a un arc de courbe param´etr´e . . . . . . . . . . . . . .. . . 83

9.3.1 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.3.2 Tangente en un point d"un arc de courbe param´etr´e . . .. . . 83

9.3.3 Tangente en un point stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9.4 Position de la courbe par rapport `a sa tangente . . . . . . . . . .. . 85

9.5 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.6 Exemple d"´etude d"un arc param´etr´e . . . . . . . . . . . . . . .. . . 89

Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

6Table des Mati`eres

Avant-Propos

La r´edaction de ce polycopi´e a b´en´efici´e de versions pr´eliminaires, d"une part le

polycopi´e "Suites Num´eriques" de Jean-Pierre Dedieu et Jean-Claude Yakoubsohn qui a servi de base pour la r´edaction du chapitre 1 et d"autre part un cours po-quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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