Fonction numérique dune variable réelle
dé nition de la fonction f noté Df . MATHEMATIQUES APPLIQUEES (L1 AES). Fonction numérique d'une variable réelle. 2007 - 2008.
CHAPITRE 1 Fonctions réelles dune variable réelle I. Généralités
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27 oct 2017 · fonction d'une variable réelle fonction d'une variable réelle s1 economie fonction d'une Durée : 8:56Postée : 27 oct 2017
Qu'est-ce qu'une fonction numérique d'une variable réelle ?
Une fonction réelle d'une variable réelle associe une valeur réelle à tout nombre de son domaine de définition. Ce type de fonction numérique permet notamment de modéliser une relation entre deux grandeurs physiques.Quand Dit-on qu'une fonction est numérique ?
En mathématiques, une fonction numérique est une fonction à valeurs réelles, c'est-à-dire qu'elle associe à toute valeur possible de ses variables un résultat numérique.Quelle est la variable d'une fonction ?
Une variable est donc une entité syntaxique qui apparaît dans une expression et que l'on peut remplacer par une valeur, par exemple par un nombre. En rempla?nt les variables d par 6, V par 14 et h par 2, on obtient les résultats suivants : c'est-à-dire L=7 (la longueur est 7) et l=1 (la largeur est 1).- La limite d'une fonction, c'est en gros « vers quoi tend » la fonction. Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse : On voit bien que quand x tend vers +?, la fonction « tend » vers 0, c'est-à-dire qu'elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE 1
A. Définitions
1- Introduction
Soient A et B deux parties de
On dit que f est une fonction de A vers B si tout nombre réel x de A a pour image par f au plus un (i.e. un ou zéro) nombre réel de B. f ainsi définie est une fonction de la variable réelle x.2- Ensemble de définition
L'ensemble de définition
f D de f, est la partie de A dont leséléments ont une image dans B.
Le mot défini signifie déterminé. Le mot indéfini signifie infini. Rechercher l'ensemble de définition d'une fonction c'est déterminer le domaine (resp. l'intervalle) à l'intérieur duquel cette fonction n'admet que des valeurs finies.3- Notation et représentation graphique
La fonction f de A vers B est une application de A dans B qui à x fait correspondre y tel que : fAB x yfx Soit ,,Oi j un R.O.N.D. (i.e. un repère orthonormé direct) du plan P. http://ginoux.univ-tln.fr 2 La représentation graphique de f consiste en l'ensemble des pointsM de coordonnées
,xfx f xD . Le point M décrit la courbe représentativeC de f lorsque x décrit
f D.4- Détermination pratique de l'ensemble de définition
Trois cas génériques : Soient
Px et Qx deux fonctions 1 er cas : fonction du type PfxQ f est définie pour tout 0Q 2éme
cas : fonction du type fxQ f est définie pour tout 0Q 3éme
cas : fonction du type PfxQ f est définie pour tout 0Q N.B. : Ensemble et intervalle de définition.La fonction
1yfx x admet pour ensemble de définition f D Elle admet pour intervalle de définition l'intervalle : ,0 0, http://ginoux.univ-tln.fr 3B. Continuité
Une fonction
yfx est continue en un point 0 x où elle est définie si et seulement si elle admet en ce point une limite l finieOn dit que f est continue en
0 x ssi 0, 0!! tels que xI 00 xx fx fxC. Limites
1- Définition - Notation
Soit f une fonction
yfx définie sur un intervalle I contenant le point 0 x . On dit que f admet pour limite en ce point 0 x le nombre réel L ssi :0, 0 tels que xI
00 xx fx L
On note :
0 lim xx fxL2- Théorèmes
Th1 : Limite d'une fraction rationnelle En , la limite d'une fraction rationnelle est égale au quotient de ses termes de plus haut degré. http://ginoux.univ-tln.fr 4Th2 : Limite à gauche, à droite d'un point
0 x x x xLimite à gauche :
0 0 00 lim lim xx xx fx fx H ooLimite à gauche :
0 0 00 lim lim xx xx fx fx H ooFormes indéterminées :
0 0 0 Th3 : Règle de L'Hospital Guillaume de L'Hospital (1661-1704), marquis de Saint Mesme, est un élève de Jean Bernoulli qui lui apprend le calcul différentiel. C'est ainsi que L'Hospital est le premier à écrire un traité sur ce nouvel outil, le livre Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696). C'est dans ce livre qu'apparait la célèbre règle de L'Hospital, qui permet parfois de lever des formes indéterminées du type 0/0. En 1707, L'Hospital publie également un traité sur les coniques (Traité
analytique des sections coniques ), qui sera pendant un siècle un classique du genre. La connaissance du calcul différentiel fait que L'Hospital est un de ceux qui résoud le problème de la brachistochrone, indépendamment de mathématiciens prestigieux comme Newton ou Leibniz.Toutefois, ce mérite est entâché par les déclarations, après la mort de son élève, de Jean
Bernoulli : à la suite d'un arrangement financier, L'Hospital aurait publié sous son propre nom
des résultats dus à Bernoulli. Lien hypertexte : http://www.bibmath.net/index.php3 http://ginoux.univ-tln.fr 5Règle de L'Hospital :
Soient f et g deux fonctions continues et dérivables respectivement sur un intervalle ,ab et ,abSi pour tout
0 ,xab 0 '0gx et si 0 0lim0 xx fx gx Alors 00 'lim lim' xx xx fxfx gxgxSi cette limite tend de nouveau vers
0 0 ou on réitère la règle.D. Parité - Périodicité
Si fxfx alors la fonctio est paire et sa représentation graphique admet l'axe (y'y) comme axe de symétrie. Si fxfx alors la fonctio est impaire et sa représentation graphique admet le point O (0,0) comme centre de symétrie. Si fxTfx alors la fonctio est périodique de période T et sa représentation graphique se déduit par translation de vecteur Ti http://ginoux.univ-tln.fr 6E. Dérivées
1- Taux de variation
Le taux de variation d'une fonction f continue définie sur un intervalle ,ab est égale à : fbfaTba T représente le coefficient directeur (i.e. la pente) de la droite (AB) Si 0T , f est croissante ; 0T , f est décroissante.2- Dérivabilité en un point
0 xSoient f une fonction continue et définie sur
f D et 0f xDOn dit que f est dérivable en
0 x ssi : 0 0 0 0 lim ' xx fx fx fxLxx avec L finieNotation
0 0 000 lim lim ' xx x fx fx fdfdy fxxx x dx dxThéorème
: Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point. (ATTENTION ! la réciproque est FAUSSE !!!)Contre-exemple
: la fonction fxx est continue et définie en 0x mais n'y est absolument pas dérivable 1'2 fxx http://ginoux.univ-tln.fr 73- Interprétation géométrique
Soir (C) la représentation graphique de f dans un R.O.N.D. ,,Oi jSi f est dérivable en
0 x , (C) admet une tangente en 00 0 ,Mxfx de coefficient directeur : 0 'fx . L'équation de cette tangent s'écrit : 0 0 0 'yfxfxxx4- Opérations sur les fonctions dérivables
Dérivées de la somme, du produit, du quotient, de l'inverse et d'une fonction de fonction.Soient
Ux et Vx deux fonctions dérivables sur un intervalle I.Opérations sur les fonctions dérivables
(U + V)'U' + V'
(k U)' k U' (U V)'U'V+V'U
'n U 1 n nU U U V 2 ''UV VU V 1 V 2 'V V U 2U U http://ginoux.univ-tln.fr 8Dérivée d'une fonction de fonction
Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I, la fonction composée f o g, notée également fgx est aussi dérivable sur I. ' 'fgxgxfgxExemple
Cos ax b a Sin ax b
Sin ax b a Cos ax b
5- Dérivées d'ordre supérieur
Le lieu des points où la dérivée de la fonction f s'annule correspond au lieu des points où la fonction f présente des extrema, i.e., points où la fonction est maximum (respectivement minimum). Le signe de la dérivée seconde de la fonction f évaluée en un extremum local permet de statuer sur la concavité (respectivement la convexité) de la courbe. En effet, si la fonction f admet en 0 x un extremum local, i.e., si 0 '0fx et si 0 "0fx , la courbe (C)quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] fonction d'une variable réelle bts
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