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Chapitre 2 : Fonctions d"une variable réelle

Table des matières

1 Introduction2

1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Ensembles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Règles de calcul dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Fonction d"une variable réelle 4

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3 Parité et périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4 Composition de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.5 Antécédent, image directe et image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.6 Bijectivité et fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.7 Continuité et dérivabilité d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.8 Étude des variations d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3 Fonctions usuelles12

3.1 La valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.3 Fonction polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.4 Fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.5 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.6 Fonctions puissances et leurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4 Techniques de calcul de limites 19

4.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.2 Limite de fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4.3 Astuces récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4.4 Théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.5 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

4.6 Règle de l"Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

5 Théorèmes fondamentaux 23

A Formulaire26

B Exercices28

1

1 Introduction

1.1 Notations

Nous introduisons ici quelques notations qui seront utilisées par la suite pour l"écriture d"as-

sertions mathématiques : ?le symbole "?» veut dire " pour tout » ou bien " quel que soit »; ?le symbole "?» veut dire " il existe »; ?le symbole "?!» veut dire " il existe un unique »; ?le symbole " : » veut dire " tel que »; ?le symbole "?» veut dire " implique » ou encore " si .... alors »; ?le symbole "?» veut dire " est équivalent à » ou encore " si et seulement si ». Exemples.Voici quelques exemples de lecture d"assertions mathématiques. 1. " ?x?R;f(x)>3» se lit " Pour toutxdansR,f(x)est strictement supérieur à3. » 2. " ?x?R;?y?R;x⩾y?f(x)⩾f(y)» se lit " Pour toutxdansR, pour toutydansR,x

supérieur ou égal à y impliquef(x)supérieur ou égal àf(y), » ou encore " Pour toutxdansR,

pour toutydansR, si estxsupérieur ou égal à y alorsf(x)est supérieur ou égal àf(y), »

3. " ?x?R-?f(x)⩽1» se lit " Il existexdansR-tel quef(x)est strictement plus petit que1». 4. " ?y?R;?x?R?y=f(x)» se lit " Pour toutydansR, il existexdansRtel queyest égal à f(x). »

5.?x;y?R;f(x)=f(y)?x=yse lit " Pour toutxetydansR,f(x)égal àf(y)implique quex

est égal ày» ou encore " Pour toutxetydansR, sif(x)est égal àf(y)alorsxest égal ày».

6. " ?x;y?R+;x2=y2?x=y» se lit " Pour toutx;ydansR+x2est égal ày2si et seulement six est égal ày. » 7. " ?!x?R?x2=0» se lit " Il existe un uniquexdansRtel quex2est égal à0. »

1.2 Ensembles usuels

L"ensemble des nombres réelsR=]-∞;+∞[possède les sous-ensembles remarquables suivants :

?R?=R∖{0}; ?N={0;1;2;3;::::}l"ensemble des entiers naturels; ?N?={1;2;3;::::}l"ensemble des entiers naturels privé de0; ?Z={::;-3;-2;-1;0;1;2;3;:::}l"ensemble des entiers relatifs; ?Q=?pq ; p?Z; q?N??l"ensemble des rationnels; ?R∖Ql"ensemble des irrationnels; ?R+=[0;+∞[, etR-=]-∞;0]; Remarque :Rappelons que l"on a les inclusionsN?Z?Q?R. 2 Pour tousa;b?R, avecaa}; ]-∞;b]={x?R?x⩽b}; ]-∞;b[={x?R?x1.3 Règles de calcul dansR Pour touta;b;c;d?Ron utilisera fréquemment les règles de calcul suivantes : a×b=0?a=0oub=0 ; aProposition 1.1Soienta;b?R. Si aetbsont de même signe alors on a : a

2=b2?a=b:Proposition 1.2Soienta;b?R, alors on a :

?sia;b?R+alorsa⩽b?a2⩽b2; ?sia;b?R-alorsa⩽b?a2⩾b2; ?sia?R-etb?R+alors on a toujoursa⩽⎷b;

?sia?R+etb?R+alorsa⩽⎷b?a2⩽b.Remarque :La condition sur le signe énoncée dans les résultats précédents est indispensable. En

effet, les équivalences suivantes sont fausses : (-3)2=32?-3=3;ce qui est absurde! -3<2?(-3)2⩽22?9⩽4;ce qui est absurde! Exemple.Résoudre dansRl"inéquationx+1⩽⎷x

2+1(⋆).

Six+1<0, alors(⋆)est toujours vérifiée et on trouve comme premier ensemble de solutions S

1={x?R?x+1<0}=]-∞;-1[:

Six+1⩾0, alors(⋆)?(x+1)2⩽(⎷x

2+1)2?x2+2x+1⩽x2+1?2x⩽0?x⩽0:On trouve

comme deuxième ensemble de solutions S

2=]-∞;0]∩[-1;+∞[=[-1;0]:

Conclusion : l"ensemble des solutions de(⋆)estS=S1?S2=]-∞;-1[?[-1;0]=]-∞;0]. 3

2 Fonction d"une variable réelle

Dans toute la suite, on considèreEetFdeux sous-ensembles deR(ce que l"on note respective- mentE?RetF?R).

2.1 Définitions

DéfinitionUne fonction d"une variable réelle c"est la donnée de trois choses : 1. un ensemble de départ E; 2. un ensemble d"arrivée F; 3. un procédé qui transf ormetout élément de Een un élément deF.

Remarque :Dans toute la suite on écrira " fonction » plutôt que " fonction d"une variable réelle »

par soucis de concision.

NotationUne fonctionfsera notée

f?E→F x↦f(x);

où pour toutx?E,f(x)l"imagedexpar la fonctionf.Exemples.Les courbes représentatives suivantes appartiennent-elles à des fonctions deRdansR?x=1C

fC g112 C

h. .....................................................................................................

DéfinitionSif?E→Fest une fonction, l"ensembleEest appelédomaine de définitionde la

fonctionf. On le note aussiDf. En particulier, le domaine définition ne contient que des éléments

qui possèdent une image par le procédé de transformationx↦f(x). Remarque :En pratique, si une fonctionfn"est donnée que par la formulef(x)et que l"on souhaite déterminer son domaine (maximal) deDf, on cherchera :

?les élémentsx?Rpour lesquelsf(x)n"existe pas et on les " enlève » deR(par exemple lorsque

l"on a une fraction dans l"expression de la fonction et un dénominateur susceptible de s"annu- ler); 4 ?ou bien les élémentsxpour lesquelsf(x)existe (par exemple lorsqu"on a une expression qui contient une racine ou un logarithme). Exemples.SoientE1;E2etE3trois sous-ensembles deR. Déterminer les domaines maximaux de définitionE1;E2etE3des fonctionsf1;f2etf3suivantes : f 1?E

1?→R

x?→1x ;f2?E

2?→R

x?→⎷x+1;f3?E

3?→R

x?→1⎷x-2: ?1?xn"est pas défini seulement lorsquex=0, ainsi,E1=R∖{0};

?⎷x+1est défini lorsquex+1⩾0c"est à dire pourx⩾-1. On en déduit queE2=[-1;+∞[;

1⎷x-2est défini lorsque

x-2⩾0et⎷x-2≠0?x⩾2etx≠2 ; ?x?[2;+∞[etx?R∖{2}; ?x?∩[2;+∞[∩(R∖{2}):

On en déduit queE3=]2;+∞[.

Proposition 2.1Deux fonctionsf1?E1→F1etf2?E2→F2sontégalessi et seulement si les trois points suivants sont vérifiés :

1.E1=E2(égalité des ensembles de départ);

2.F1=F2(égalité des ensembles d"arrivée);

3.?x?E1=E2,f1(x)=f2(x)(égalité du processus de transformation).

Si ces trois propriétés sont vérifiées, on note alorsf1=f2.Exemple.Les fonctions f?R?→R x?→x+1etg?[0;1]?→R x?→x+1 ne sont pas égales car les ensembles de départ ne sont pas les mêmes.

2.2 Monotonie

Définitions.Soitf?E→Rune fonction définie sur un sous-ensembleEdeR. On dit que : ?fest croissantesurEsi?x;y?E;x⩽y?f(x)⩽f(y); ?fest strictement croissantesurEsi?x;y?E;xf(y).Fonction strictement croissante 5

2.3 Parité et périodicité

Définitions.SoientIun intervalle deRsymétrique par rapport à0(c"est à dire de la forme[-a;a]

ou]-a;a[ouR) etf?I→Rune fonction définie sur cet intervalle. On dit que :

?fest pairesi?x?I;f(-x)=f(x).Son graphe est alors symétrique par rapport à l"axe des ordonnées;

?fest impairesi?x?I;f(-x)=-f(x).Son graphe est alors symétrique par rapport à l"origine(0;0). DéfinitionSoientf?R→Rune fonction et un réelT>0. La fonctionfest dite périodiquede périodeTsi?x?R;f(x+T)=f(x):Exemple.Les fonctions cosinus et sinus sont2-périodiques ::

2.4 Composition de deux fonctions

DéfinitionSoientE;F;G;Hdes sous-ensembles deRetf?E→Fetg?G→Hdeux fonctions. Si l"espace d"arrivéeFdefest inclus dans l"espace de départGdegalors on définit lafonction composéeg○fpar g○f?E?→H x?→g(f(x)):

Remarques :

1. La condition F?Gestessentiellepour que l"image par la fonctiongdef(x)ait toujours un sens. De même, la conditionH?Eestessentiellepour que l"image par la fonctionfdeg(x) ait toujours un sens. 2.

Il faut faire attention à l"ordre dans lequel on écrit les f onctionscar en général les f onctions

f○getg○fne sont pas égales. Il existe même des cas pour lesquelsf○gexiste alors queg○f

n"existe pas.

Exemples.On considère les fonctions :

f?R?→[-1;1] x?→sin(x);g?R +?→R+ x?→⎷x ;h?R?→R+ x?→x2:

Peut-on définir les fonctionsf○g,g○f,g○heth○f? Si oui donnez-en la définition.

6

1.La f onctiong○f:[-1;1]n"est pas inclus dansR+doncg○fn"a pas de sens.

2. La f onctionf○g: on aR+?Rdoncf○ga un sens et est définie parf○g?R +?→[-1;1] x?→sin(⎷x): 3. La f onctiong○h:R+?R+doncg○ha un sens et est définie parg○h?R?→R+ x?→⎷x 2: 4. La f onctionh○f:[-1;1]?Rdonch○fa un sens et est définie parh○f?R?→R+ x?→(sin(x))2:

2.5 Antécédent, image directe et image réciproque

Définitions.Soientf?E→Fune fonction etBun sous-ensemble deF. ?On appelleantécédentdey?Fpar la fonctionftout élémentx?Etel quef(x)=y. On dit alors queyest l"imagedexpar la fonctionf. ?L"image defest le sous-ensemble de l"espace d"arrivéeFnotéI(f)défini par

I(f)=?y?F? ?x?E?y=f(x)?:

?L"image réciproquedeBparfest le sous-ensemble de l"espace de départEnotéf-1(B) défini par f -1(B)=?x?E?f(x)?B?: Remarque :Il ne faut pas confondre l"image defnotéeI(f)et l"image dexparfnotéef(x)car

ce ne sont pas le même type d"objet. En effet,I(f)est un sous-ensemble de l"espace d"arrivéeFalors

quef(x)est un élément deF.I(f)est le sous-ensemble des éléments de l"espace d"arrivéeFqui ont

au moins un antécédent parf.

2.6 Bijectivité et fonction réciproque

DéfinitionUne fonctionf?E?→Fest ditebijectivesi tout pointyde l"espace d"arrivéeFpossède

exactementun antécédentxdans l"espace de départEpar la fonctionf.

Exemples.Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont bijectives et lesquelles ne le sont pas?. .....................................................................................................

7

Remarque :La définition de la bijectivité d"une fonction se traduit à l"aide de quantificateurs de

la façon suivante :?y?F;?!x?E?y=f(x): Exemples.Les fonctions suivantes sont-elles bijectives deRdansR? Si non, proposer de nouveaux espaces de départ et/ou d"arrivée pour qu"elles le soient.C fC gC

h. .....................................................................................................

Exemples.

1.

La f onctionf?R?→R+

x?→x2n"est pas bijective car1?R+admet deux antécédents-1et1dans l"espace de départR. En effet,f(1)=f(-1)=1. 2.

La f onctiong?R

+?→R x?→x2n"est pas bijective car-1?Rn"admet pas d"antécédent dans l"espace de départR+. En effet, il n"existe pas d"antécédent dansR+pour-1car l"équation g(x)=-1qui s"écritx2=-1n"a pas de solution dansR. 3.

La f onctionh?[0;2]?→[0;4]

x?→x2est bijective car pour toutydans l"espace d"arrivée[0;4], il existe un unique antécédentx=⎷ydans l"espace de départ[0;2]. 4.

La f onctionk?R?→[-1;1]

x?→cos(x)n"est pas bijective car0?[-1;1]admet au moins deux antécé- dents dans son espace de départ : 2 et-2 5.

La f onctionl?[0;]?→R

x?→cos(x)n"est pas bijective car2?Rn"admet pas d"antécédent dans l"espace de départ[0;]. En effet, l"équationl(x)=2qui s"écritcos(x)=2n"admet pas de solution dansRcar pour toutxdansRon sait que-1⩽cos(x)⩽1. 8

En pratique on utilise souvent le résultat suivant pour montrer qu"une fonction est bijective, bien

souvent en dressant le tableau de variations de la fonction : Théorème 2.1Si une fonctionf?E→Fest strictement croissante et telle queF=I(f)alorsquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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