Fonctions réelles dune variable réelle PDF

Fonction numérique dune variable réelle

dé nition de la fonction f noté Df . MATHEMATIQUES APPLIQUEES (L1 AES). Fonction numérique d'une variable réelle. 2007 - 2008.

CHAPITRE 1 Fonctions réelles dune variable réelle I. Généralités

Ce chapitre est consacré à l'étude des fonctions définies sur une partie de ? et à valeurs dans une partie ?. : ?. ? ( ). 1)- Une fonction est définie par : 1

Chapitre 2 : Fonctions dune variable réelle

Définition Une fonction d'une variable réelle c'est la donnée de trois choses : Remarque : Sur la droite numérique x ? y représente la distance entre ...

GENERALITES SUR LES FONCTIONS DUNE VARIABLE REELLE

1.1 Vocabulaire - Opérations sur les fonctions. 1.1.1 Définitions. Définition. On dit que f est une fonction numérique d'une variable réelle s'il existe un

FONCTIONS DUNE VARIABLE RÉELLE 1

a pour image par f au plus un (i.e. un ou zéro) nombre réel de B. f ainsi définie est une fonction de la variable réelle x. 2- Ensemble de définition.

ANALYSE : FONCTIONS DUNE VARIABLE R´EELLE

Définition 1.7 Une suite numérique est une application u : N ? R. On dit que v Définition 3.1 Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle ]a ...

Chapitre 1 Suites numériques Fonctions numériques de la variable

Théorème 9 (Caractérisation séquentielle de la limite). Soit a ? I. La fonction f admet l comme limite en a si et seulement si pour toute suite réelle.

Généralités sur les fonctions - Lycée dAdultes

26 nov. 2010 1.1 Fonction numérique. Définition 1 : Une fonction numérique f d'une variable réelle x est une relation qui à un nombre réel x associe un ...

Fonctions réelles dune variable réelle

Ensemble des points M de coordonnées (xy) avec x D. ? et y=f(x). Parité d'une fonction numérique. En mathématiques

Chapitre 9 :Fonctions dune variable réelle

Fonctions d'une variable réelle dérivation et intégration. Page 1 sur 20 C'est la même chose que pour les fonctions numériques :.

[PDF] Fonction numérique dune variable réelle

Fonction numérique d'une variable réelle MATHEMATIQUES APPLIQUEES Licence 1 Administration Economique et Sociale Sébastien Pommier 2007 - 2008

[PDF] CHAPITRE 1 Fonctions réelles dune variable réelle I Généralités

CHAPITRE 1 Fonctions réelles d'une variable réelle I Généralités : Ce chapitre est consacré à l'étude des fonctions définies sur une partie de ? et à valeurs

[PDF] Chapitre 2 : Fonctions dune variable réelle

Définition Une fonction d'une variable réelle c'est la donnée de trois choses : 1 un ensemble de départ E ; 2 un ensemble d'arrivée F ;

[PDF] Chapitre III : Fonctions réelles à une variable réelle Notion de Limite

Fonctions réelles à une variable réelle Notion de Limite (ses variantes) et Théorèmes d'Analyse Par Saïd EL HAJJI Groupe d'Analyse Numérique et

[PDF] ANALYSE : FONCTIONS DUNE VARIABLE R´EELLE

3 1 Définition de la dérivée en un point 3 1 1 Dérivée en un point Définition 3 1 Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle ]a b[

[PDF] TD no 3 : Fonctions dune variable réelle

Étudier les limites éventuelles de E en 0 +? et ?? 2 Étudier la limite éventuelle en 0 de la fonction x ? xE(1 x )

[PDF] FONCTIONS DUNE VARIABLE RÉELLE 1 - http ://ginouxuniv-tlnfr

1 FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE 1 A Définitions 1- Introduction Soient A et B deux parties de \ On dit que f est une fonction de A vers B si tout

[PDF] Fonctions réelles dune variable réelle

Mr LATELI Ahcene Fonctions réelles d'une variable réelle Octobre 2018 1 La continuité à droite et à gauche Parité d'une fonction numérique

[PDF] Généralités sur les fonctions numériques dune variable réelle

Plan du Cours 1 Fonction numériques d'une variable réelle a) Définitions notions de limites et continuité b) Fonctions inverses ou réciproques

[PDF] TD1 : Fonction numérique dune variable réelle Ensemble de

(c) En déduire le sens de variation de f (d) Déterminer l'image de I par f (e) Déterminer la réciproque de f notée f?1son

Qu'est-ce qu'une fonction numérique d'une variable réelle ?
Une fonction réelle d'une variable réelle associe une valeur réelle à tout nombre de son domaine de définition. Ce type de fonction numérique permet notamment de modéliser une relation entre deux grandeurs physiques.
Quelle est la variable d'une fonction ?
Une variable est donc une entité syntaxique qui apparaît dans une expression et que l'on peut remplacer par une valeur, par exemple par un nombre. En rempla?nt les variables d par 6, V par 14 et h par 2, on obtient les résultats suivants : c'est-à-dire L=7 (la longueur est 7) et l=1 (la largeur est 1).
Quand Dit-on qu'une fonction est numérique ?
En mathématiques, une fonction numérique est une fonction à valeurs réelles, c'est-à-dire qu'elle associe à toute valeur possible de ses variables un résultat numérique.
La limite d'une fonction, c'est en gros « vers quoi tend » la fonction. Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse : On voit bien que quand x tend vers +?, la fonction « tend » vers 0, c'est-à-dire qu'elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher.

Université Mentouri ConstantineMr LATELI AhceneFonctions réelles d'une variable réelle

Octobre 20182.0

Légende

y Entrée du glossaire  Abréviation x Référence Bibliographique

M Référence générale

Table des

matières

I - Chapitre II :Limites et Continuité5 A. Limite d'une fonction.....................................................................................5

1. Théorème d'Encadrement...................................................................................................6

2. Formes indéterminées.......................................................................................................7

3. Cas d'une fonction bornée..................................................................................................7

4. Limite d'une fonction composée..........................................................................................7

B. Exercice.......................................................................................................7

C. Exercice.......................................................................................................8

D. Continuité d'une fonction...............................................................................8

1. La continuité à droite et à gauche........................................................................................8

2. Opérations sur les fonctions continues...............................................................................10

3. Continuité d'une fonction composée...................................................................................11

4. Prolongement par continuité.............................................................................................11

5. Théorèmes sur les fonctions continues...............................................................................12

6. Fonctions réciproques (ou inverses)...................................................................................16

E. Évaluation formative....................................................................................16

1. Calcule des limites...........................................................................................................16

2. La continuité..................................................................................................................16

3. Applications de continuité.................................................................................................17

Questions de synthèse19

Glossaire21

Bibliographie25

Webographie27

Mr. LATELI Ahcene

I - Chapitre II :

Limites et

ContinuitéI

Limite d'une fonction5

Exercice7

Exercice8

Continuité d'une fonction8

Évaluation formative16

A. Limite d'une fonction

Une partie est un voisinage de s'il contient un intervalle ouvert de contenant . Notons par ou l'ensemble des voisinages du point . Ainsi, on peut reformuler les termes de la définition précédente de la manière suivante :

Définition

On dit qu'une fonction définie au voisinage du point , sauf peut-être au point, admet une limite (finie) en , si :

On écrit dans ce cas, .

Remarque

1., c'est-à-dire .

2., c'est-à-dire .

3.Si est définie en alors .

Exemple

Considérons la fonction qui est définie sur . Au point , on a . En effet, pour tout , on a si l'on a,

Mr. LATELI Ahcene

5 à fortiori, . Le bon choix sera alors de prendre .

Complément:Unicité de la limite

Si admet une limite au point , cette limite est unique. Définition:Limite à gauche et limite à droite

Soit une fonction définie sur un intervalle .

On dit que admet une limite à gauche en si, et seulement si :

On note ou .

On dit que admet une limite à droite en si, et seulement si :

On note ou .

Remarque

Si et avec , alors n'admet pas de limite en . Si .

Exemple

Soit la fonction définie sur par .

On remarque que et , alors la limite de

quand tend vers n'existe pas.

Définition:Opérations sur les limites

Soient , et un point d'accumulation de .

Supposons que et , alors on a:

1.. 2..

3.Si de plus, et au, .

4., . 5..

1. Théorème d'Encadrement

Soient , et un point d'accumulation de .

Supposons que et , alors on a :

1.Si alors .

2.Si sur et alors .

3.Si sur et alors .Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

2. Formes indéterminées

Dans le calcul des limites, on appelle Forme Indéterminée (on note ), toute situation qui conduit à un cas où les théorèmes portant sur les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure. Les formes indéterminées les plus courantes sont : , , , , , , , , etc...

3. Cas d'une fonction bornée

Théorème

Si on a et s'il existe un réel et un voisinage de tels que pour tout appartenant à ce voisinage (autrement dit si est bornéey sur un voisinage de ), alors .

4. Limite d'une fonction composée

Notations

On désigne par l'intervalle .

On considère une fonction admettant pour limite en . On considère d'autre part une partie non vide de et une fonction admettant pour limite en (cela suppose que tout voisinage de rencontre On suppose de plus que : la fonction composée est alors bien définie sur . On a alors

Définition:Composition des limites

Avec les notations introduites ci-dessus, supposons que et que . Alors .

B. Exercice

Trouver la limite suivante ou dire si elle n'existe pas. 0 n'existe pas -1

1Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

C. ExerciceLa limite est :

une forme indéterminée du type . 0 n'existe pas. 1

D. Continuité d'une fonction

Définition

Soit . On dit que la fonction est continue au point si tend vers , quand tend vers pour tout , ce qui s'écrit Si est continue en tout point de , nous dirons que est continue sur .

Remarque

Intuitivement, une fonction , définie sur un intervalle où et sont des réels tels que , est continue sur y si l'on peut tracer son graphey (sa courbe représentative) sans lever le crayon. La fonction est continue en si, et seulement si :

1. La continuité à droite et à gauche

1.On dit est continue à droite en si et seulement si :

2.On dit est continue à gauche en si et seulement si :

Remarque

1.On remarque que est continue en si et seulement si est continue à

droite et à gauche en .

2.On dit est continue sur l'intervalle si et seulement si est continue

en tout point de .

2. Opérations sur les fonctions continues

Soit , soient . Si et sont continues sur , alors les fonctions Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

8 , , pour tout , et sont continues sur . Si de plus, ne s'annule pas sur alors les fonctions et sont continue sur .

Exemple

1.La fonction est définie et continue sur .

2.Les fonctions polynômesy sont continues sur tout .

3.Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont continues sur .

3. Continuité d'une fonction composée

Soient et . On suppose que (de sorte que est

définie sur ). Soit . On suppose que est continue en et est continue en. Alors, est continue en .

4. Prolongement par continuité

Soit et un réel. Nous supposons que la fonction n'est pas définie en mais admet une limite en . Nous posons alors la fonction définie sur par : La fonction est continue en et s'appelle le prolongement par continuité de en .

Exemple

La fonction est définie sur , comme alors admet un prolongement par continuité définie sur par .

5. Théorèmes sur les fonctions continues

a) Théorème des valeurs intermédiaires

Définition:Théorème 1

Soit , et une fonction continuey de dans . Alors, la fonction prend toutes les valeurs comprises entre et , (c'est-à-dire que pour tout appartenant à l'intervalle dont les bornes sont et , il existe tel que ). ( Autrement dit : l'équation admet au moins une solution dans ).

Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

9 Définition:Théorème 2 ( Cas des fonctions strictement monotones Soit une fonction continuey et strictement monotoney sur un intervalle et avec . Pour tout réel compris entre et , il existe un unique réel de tel que . b) Théorème 3 ( Théorème de Bolzano )

Si la fonction est continue sur

l'intervalley et si , il existe alors au moins un point un tel que

Remarque

1.Si est strictement monotone sur , le point est unique.

2.Si est continue sur un intervalle , alors est un intervalle.

3.Si est continue sur un segment , alors est un segment.

Exemple

Montrez que l'équation admet au moins une solution entre 1 et 2. Posons , est une fonction de polynôme , donc elle est définie et continue sur . De plus on a . Dans ces conditions, le théorème de la valeur intermédiaire affirme l'existence d'un nombre entre et tel que . Autrement dit, l'équation a au moins une solution dans l'intervalle . c) Théorème 4 ( Théorème du point fixe ) Soit une fonction continue sur un intervalle . Si , alors admet (au moins) un point fixe sur . (C'est-à-dire : il existe (au moins) un réel de tel que ).

6. Fonctions réciproques (ou inverses)

Si est une fonction continuey et strictement croissantey (resp.Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

10Image 1 Bernhard Bolzano

strictement décroissantey), alors est une bijectiony de vers l'ensemble d'arrivéey (resp. ). La bijection réciproque est continue et strictement croissante (resp. décroissante).

E. Évaluation formative

Objectifs

Tester la compréhension

1. Calcule des limites

Compréhension

Q ue stio n

Trouver les limites suivantes ou dire si elles n'existent pas. 1.. 2.. 3.. 4..

2. La continuité

Compréhension

Q ue stio n 1

Étudier la continuité de fonction suivante en :

Q ue stio n 2

Étudier la continuité sur le domaine de définition de la fonction :

3. Applications de continuité

Prolongement par continuité

Montrer que les fonctions suivantes définies sur sont continues sur et dire si on peut les prolonger par continuité sur .

Q ue stio n 1

.Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

Q ue stio n 2

Théorème des valeurs intermédiaires

Q ue stio n 3

Montrer que l'équation : admet au moins une solution sur l'intervalle

Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

Questions de

synthèse Montrer que toute fonction polynôme de dans , de degré impair, s'annule en au moins un point. Montrer que l'équation admet une unique solution sur .

Mr. LATELI Ahcene

Glossaire

Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 sur le quel on définit un sens de parcours : sens trigonométrique direct ou indirect.

Continuité en un point

On dit que f est continue en x₀ si et seulement si la limite de f(x) est égale f(x ) ₀ lorsque x tend vers x₀.

Continuité sur un intervalle

f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.

Cosinus

Soit M un point du cercle trigonométrique.

On appelle cosinus de l'angle (OI, OM), l'abscisse du point M.

Domaine de définition

ou ensemble de départ d'une fonction réelle d'une variable réelle Ensemble des éléments pour lesquels la fonction f est définie.

Ensemble d'arrivée

ou image d'une fonction réelle d'une variable réelle est f(D)={y / y=f( ∈ ℝx), x D∈ }.

Extremum d'une fonction

Un extremum est un minimum ou un maximum.

Fonction bijective

Fonction injective et surjective à la fois.

Fonction bornée

f est bornée, si f est à la fois majorée et minorée c'est-à-dire:

Fonction croissante

Fonction décroissante

x ,x I ∀ ₁ ₂∈, tel que x Mr. LATELI Ahcene 15

Fonction dérivable au point x₀

f est dérivable au point x ₀ si et seulement si la quantité f(x)-f(x ) / x-x ₀ ₀admet une limite finie lorsque x tend vers x

Fonction dérivable sur un intervalle

f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I.

Fonction dérivée

La fonction dérivée ou dérivée de f sur I est la fonction f′ qui a tout x de I associe f′(x). fonction monotone Une fonction qui est croissante ou décroissante.

Fonction polynôme de degré 1

Une fonction polynôme de degré un f est une fonction dépendant de deux

paramètres réels α et β et définie pour tout x ∈ℝ par : f(x)=αx+β où α≠0.

Fonction polynôme de degré n

Un polynôme de degré n est une fonction f dépendant de n+1 paramètres réels

⁰ et définie par f(x)=αⁿxⁿ+αⁿ ¹xⁿ ¹+...+α¹x+α- - ⁰ où αⁿ≠0.

Fonction strictement croissante

x ,x I ∀ ₁ ₂∈, tel que x Fonction strictement décroissante x ,x I ∀ ₁ ₂∈, tel que x f(x )₁ ₂⇒ ₁ ₂. fonction strictement monotone Une fonction qui est strictement croissante ou strictement décroissante.

Fraction rationnelle

Une fraction rationnelle se présente sous la forme P(x)/Q(x),où P(x),Q(x) sont des polynômes à coefficients dans ℝ (ou ℂ ). Graphe ou courbe représentative d'une fonction réelle d'une variable réelle Ensemble des points M de coordonnées (x,y) avec x D ∈ et y=f(x).

Parité d'une fonction numérique

En mathématiques, la parité d'une fonction d'une variable réelle, complexe ou vectorielle est une propriété qui requiert d'abord la symétrie du domaine de définition par rapport à l'origine, puis s'exprime par l'une ou l'autre des relations suivantes :

1.fonction paire : pour tout x du domaine de définition, f (-x) = f (x) ;

2.fonction impaire : pour tout x du domaine de définition, f (-x) = -f (x).

Sinus Soit M un point du cercle trigonométrique. On appelle sinus de l'angle (OI,OM), l'ordonnée du point M. Glossaire

Mr. LATELI Ahcene

Voisinage de point x₀

Tout intervalle ouvert de ℝ contenant x

₀ : α>0, ]x -α,x +α[∀ ₀ ₀ est un voisinage de x

Glossaire

Mr. LATELI Ahcene

Bibliographie

[BELAIDI Benharrat] Analyse mathématique Exercices Corrigés. Office Des Publications

Universitaires ( Alger ), 05-2013 ; 1.01.5364.

[HITTA Amara] Cours Algèbre et Analyse I. Université 8 Mai 1945 - Guelma [MEHBALI Mohamed] Mathématiques 1 Fonction d'une variable réelle. Office Des Publications

Universitaires ( Alger ), 01-2013 ; 1.01.5048.

[Wieslawa J. Kaczor, Maria T. Nowak, Traduction : Eric Kouris] PROBLÈMES D'ANALYSE II Continuité et dérivabilité. EDP Sciences (France), 2008 (03)

Mr. LATELI Ahcene

Webographie

[mp.cpgedupuydelome] [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 janvier 2014 [wikipedia] http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=89849582 [wikipedia] Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=100567156

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21
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[PDF] Fonctions réelles dune variable réelle

Qu'est-ce qu'une fonction numérique d'une variable réelle ?

Quelle est la variable d'une fonction ?

Quand Dit-on qu'une fonction est numérique ?

Octobre 20182.0

Légende

M Référence générale

Table des

1. Théorème d'Encadrement...................................................................................................6

2. Formes indéterminées.......................................................................................................7

3. Cas d'une fonction bornée..................................................................................................7

4. Limite d'une fonction composée..........................................................................................7

1. La continuité à droite et à gauche........................................................................................8

2. Opérations sur les fonctions continues...............................................................................10

3. Continuité d'une fonction composée...................................................................................11

4. Prolongement par continuité.............................................................................................11

5. Théorèmes sur les fonctions continues...............................................................................12

6. Fonctions réciproques (ou inverses)...................................................................................16

1. Calcule des limites...........................................................................................................16

2. La continuité..................................................................................................................16

3. Applications de continuité.................................................................................................17

Questions de synthèse19

Glossaire21

Bibliographie25

Webographie27

Mr. LATELI Ahcene

I - Chapitre II :

Limites et

ContinuitéI

Limite d'une fonction5

Exercice7

Exercice8

Continuité d'une fonction8

Évaluation formative16

A. Limite d'une fonction

Définition

On écrit dans ce cas, .

Remarque

1., c'est-à-dire .

2., c'est-à-dire .

3.Si est définie en alors .

Exemple

Mr. LATELI Ahcene

Complément:Unicité de la limite

Soit une fonction définie sur un intervalle .

On note ou .

On note ou .

Remarque

Exemple

Soit la fonction définie sur par .

On remarque que et , alors la limite de

Définition:Opérations sur les limites

Soient , et un point d'accumulation de .

Supposons que et , alors on a:

3.Si de plus, et au, .

1. Théorème d'Encadrement

Soient , et un point d'accumulation de .

Supposons que et , alors on a :

1.Si alors .

2.Si sur et alors .

3.Si sur et alors .Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

2. Formes indéterminées

3. Cas d'une fonction bornée

Théorème

4. Limite d'une fonction composée

Notations

On désigne par l'intervalle .

Définition:Composition des limites

B. Exercice

1Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

C. ExerciceLa limite est :

D. Continuité d'une fonction

Définition

Remarque

1. La continuité à droite et à gauche

1.On dit est continue à droite en si et seulement si :

2.On dit est continue à gauche en si et seulement si :

Remarque