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  • C'est quoi l'espérance d'utilité ?

    La définition formelle est rappelée à l'annexe 1. celle-ci est le produit de la quantité de risque (une propriété « statistique » mesurée par la variance de la loterie7) et de l'aversion au risque de l'individu (une propriété « psychologique » mesurée par la concavité de l'utilité).

  • Comment calculer l'espérance d'utilité ?

    U = f(R) pour un individu
    Un individu qui est neutre face au risque sera indifférent entre un revenu certain R et une situation risquée d'espérance E(R) = R.

  • C'est quoi l equivalent certain ?

    Définition pour : Equivalent certain
    L'équivalent certain d'un flux financier futur est le montant que l'on serait Prêt à recevoir sans Risque en comparaison du flux futur attendu.
  • On donne ensuite au chiffre choisi la lettre A, qui représente ce qu'on appelle le « coefficient d'aversion au risque » (risk aversion coefficient). Pour l'obtenir, on utilise la formule suivante (Utility formulanote de bas de page 1) : U = E(r) – 0,5 x A x ?2.
Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1 Gestion

Master Modélisation Statistique M2

Finance - chapitre 1

Gestion optimale de portefeuille,

l"approche de Markowitz

Clément Dombry,

Laboratoire de Mathématiques de Besançon,

Université de Franche-Comté.

C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 1 / 31

Motivations

Comment aider un investisseur à placer son argent sur un marché

financier complexe comprenant plusieurs actifs financiers?Nous étudions ici un modèle probabiliste simple de gestion de

portefeuille basé sur l" approche monopériodique de Markowitz Ce modèle s"intéresse exclusivement à l"évolution du cours des actifs entre 2 dates (i.e. sur une pér iodede temps ) et propose une répartition des fonds sur les différents actifs (i.e. une composition de por tefeuille

optimale pour un critère espérance/variance.Ce modèle simple admet une solution simple mais ne tiend pas compte

de problématiques importantes dans la pratique de la gestion de portefeuille comme la liquidité, la fiscalité, les coûts de transaction ... C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 2 / 31

Plan du cours

1Comportement d"un investisseur face au risque

2Le modèle de Markowitz avec vente à découvert

3Le modèle de Markowitz sans vente à découvert

4Mini-projets autour du modèle de Markowitz

C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 3 / 31

Notions de base

On s"intéresse à l"évolution du cours d"un actif financier entre deux dates t

0ett1et on note

V

A0:valeur de l"actif A au tempst0;

V

A1:valeur de l"actif A au tempst1:On suppose :

I

VA0connu (cours à la datet0d"aujourd"hui),

IVA1inconnu (cours à une datet1future)

Pour tenir compte de l"incertitude du cours futur, on modéliseVA1par une

variable aléatoire.Question de base : comment comparer deux actifsAetB?C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 4 / 31

Exemple I : utilité moyenne

Considérons deux actifsAetBtels que :

V

A0=VB0=900e

et

VA1=920eavec proba 1=2

V

A1=960eavec proba 1=2;

VB1=1100eavec proba 4=5

V

B1=150eavec proba 1=5:Les valeurs initiales étant identiques, on pense naturellement à comparer

les espérances

E[VA1] =12

920+12

960=940

E[VB1] =45

1100+15

150=910

et à préférer l"actifA.C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 5 / 31

Exemple I : utilité moyenne

On suppose désormais que le placement doit servir à financer un achat de 1000eet on introduit la fonction d"utilité : u(x) = (x1000)+=max(x1000;0)Notons queAne permettra jamais de financer cet achat et que

E[u(VA1)] =0

tandis que

E[u(VB1)] =45

100+15

0=80

On est donc ammené à préférerB.C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 6 / 31

Règle 1 : maximisation de l"utilité moyenne

Une fonction d"utilité est une fonction croissante sur[0;+1[et généralement concave. Par exemple u(x) =ex( >0);u(x) =x11(0);u(x) =log(x):

Elle représente le comportement de l"investisseur.D"après les exemples précédent, un investisseur cherche à maximiser

l"utilité moyenne :Règle 1 - critère d"espérance Etant donné deux actifsAetBde même cours initialVA0=VB0, un investisseur préférera l"actif maximisant l"utilité moyenneE[u(VA;B

1)].C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 7 / 31

Règle 2 : minimisation du risque

Dans la suite du cours, on se place dans le contexte le plus fréquent de la fonction d"utilité linéaireu(x) =x.Comment comparer deux actifs tels que V

A0=VB0etE[VA1] =E[VB1] ?On introduit la notion de risque d"un actif mesuré par sa variance : plus la

variance est élevée, plus l"actif est risqué.Règle 2 - critère de variance Etant donné deux actifsAetBde même cours initialVA0=VB0et de même utilité moyenneE[VA1] =E[VB1], un investisseur préférera l"actif minimisant la varianceVar[VA;B

1].C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 8 / 31

Exemple II : rôle de la corrélation

Considérons deux actifs de même valeur initialeVA0=VB0tels que

E[VA1] =mA1E[VB1] =mB1

et de variance Var[VA1] =2A;Var[VB1] =2B:On considère un portefeuille contenant une proportionxd"actifAet 1x deB P x=xVA+ (1x)VB;x2R: I

La valeur initial estPx0=VA0=VB0.

ILorsquex2[0;1], on ax0 et 1x0 (achat classique).

ISinon, on ax<0 ou 1x<0 (vente à découvert).C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 9 / 31

Exemple II : rôle de la corrélation

Le portefeuillePxa pour caractéristiques

E[Px1] =xmA1+ (1x)mB12[mA1;mB1]

Var[Px1] =x22A+ (1x)22B+2x(1x)A;BAB

avecA;B=corr(VA1;VB1).On remarque que la variance du portefeuillePx1dépend de façon monotone de la corrélationA;B: I croissante six2[0;1],

Idécroissante sinon.C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 10 / 31

Exemple II : rôle de la corrélation

LorsquemA=mB, tous les portefeuilles ont la même espérance finale. Quelle est le portefeuille de risque minimal?Il s"obtient en minimisant (2A+2B2A;BAB)X2+2(A;BAB2B)X+2B conduisant au portefeuille optimal x =2BA;BAB

2A+2B2A;BAB:La contraintex2[0;1]n"est pas toujours respectée, ce qui peut

s"interpréter comme un portefeuille avec vente à decouvert. Si on souhaite respecter la contraintex2[0;1](vente à découvert interdite), on posera x

=0six<0 etx=1six>1:C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 11 / 31

Exemple III : rôle de la diversification

On considèrentitresA1;:::;Ansupposés " interchangeables » tels que V

Ai0=m0;E[VAi1] =m1;Var[VAi1] =2

et

Cov(VAi1;VAj

1) =2pouri6=j:On considère le portefeuillePn=1n

P n i=1VAiformé dentitres en proportions égales.On calcule de manière simple P n0=m0;E[Pn1] =m1;Var[Pn1] =1n

2+2:Interprétation : le risque décroît en diversifiant l"investissement sur les

différents titres. C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 12 / 31

Notion de rendement

Lorsque l"on travaille avec la fonction d"utilité linéaireu(x) =x, il est commode d"introduire le rendement d"un actif afin de comparer des actifs n"ayant pas la même valeur initiale.Définition Le rendement d"un titre prenant les valeursV0>0 etV10 est

R=V1V0V

0Remarques :

I en anglais, rendement return.

IOn a toujoursR 1.

IR>0 en cas de hausse,R<0 en cas de baisse.

IOn a une bijection(V0;V1),(V0;R), en effetV1=V0(1+R).

IEn général,V0est connu etRest une variable aléatoire.C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 13 / 31

Notion de rendement

L"intérêt du rendement est de pouvoir comparer deux actifs n"ayant pas la même valeur initiale.Exemple :

A:VA0=110;VA1=120

B:VB0=55;VA1=61

Analyse :

I Le titre A permet un bénéfice de 10, le titre B seulement de 6. IEn achetant deux titres B au même prix que A, bénéfice de 12.

ILes rendements sont :

R

A=120110110

0;091 etRB=615555

0;109:C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 14 / 31

Notion de rendement

Le raisonnement précédent se généralise aisément et permet de montrer que dans le cas de l"utilité linéaireu(x) =x, les règles d"investissement de maximisation de l"utilité moyenne et minimisation du risque sont équivalentes à la règle suivante :Règle espérance-variance

Soient deux titres de rendementRAetRB.SiE[RA]E[RB], l"investisseur préfèrera le titreA.SiE[RA] =E[RB]etVar[RA]Var[RB], l"investisseur préfèrera le titreA.C.Dombry (Université de Franche-Comté)Finance - chapitre 1Année 2014-2015 15 / 31

Plan du cours

1Comportement d"un investisseur face au risque

2Le modèle de Markowitz avec vente à découvert

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