Suites Prise en main des menus suite TI-82stats
Touche Y= puis CLEAR pour effacer la suite déjà saisie. Introduire les deux relations de récurrence : ? n s'obtient avec la touche XT
Suites Prise en main des menus suite TI-83+
Touche Y= puis CLEAR pour effacer la suite déjà saisie. Introduire les deux relations de récurrence : ? n s'obtient avec la touche XT
Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence
est continue en ? alors en passant à la limite dans la relation de récurrence
casio graph 35+ - Suites
Introduire les deux relations de récurrence : utiliser l'instruction nan (touche. F4) et choisir an (touche F2) et bn (touche F3). Valider avec la touche EXE. •
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
c) Soit une suite numérique u n. ( ) définie par une relation de récurrence d'ordre 2 : u. 0 = 2 u. 1 = ?1 et u n+2 = 2u.
Prise en main des menus suites
Introduire la relation de récurrence de la suite u1 et son premier terme ui1. u1 s'obtient avec les touches ALPHA + 1 Valider avec la touche ENTER. même
Suites
Exercice 3 : Soient 0 et trois réels. On considère la suite ( ) ?0 de nombres réels définie par 0 et la relation de récurrence :.
Convergence de suites Suites récurrentes
u0 et la relation de récurrence un+1 = f(un). Etudier une suite c'est savoir si elle est divergente ou convergente
Suites récurrentes linéaires dordre 2
Propriété 1 ( Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (Cas complexe)). Remarque. L'hypoth`ese b = 0 assure qu'il s'agit bien d'une relation de récurrence
Polycopié de cours
2.2 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants avec second membre . . . . . . . 35. 2.3 Étude complète d'une relation de récurrence
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite
U n définie pour tout entier naturel n par U n n 2 3n+1 est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques u n et v n définies pour tout entier naturel n par u n =n 2 et v n =3n+1 . b) Soit deux suites numériques couplées u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 =2 v 0 =4 et u n+1 =2u n -3v n +1 v n+1 =-u n +5v n -4On pose pour tout entier naturel n :
U n u n v nOn pose encore :
A= 2-3 -15 et B= 1 -4 . On a alors U 0 2 4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n +B . En effet : AU n +B= 2-3 -15 u n v n 1 -4 2u n -3v n +1 -u n +5v n -4 u n+1 v n+1 =U n+1 c) Soit une suite numérique u n définie par une relation de récurrence d'ordre 2 : u 0 =2 u 1 =-1 et u n+2 =2u n+1 +3u n . On pose pour tout entier naturel n : U n u n u n+1On pose encore :
A= 01 32YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2On a alors U 0 2 -1 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n . En effet, AU n 01 32
u n u n+1 u n+1 3u n +2u n+1 u n+1 u n+2 =U n+1
2) Terme général d'une suite de matrices Propriété : Soit une suite de matrices colonnes
U n de taille p telle que pour tout entier naturel n, on a U n+1 =AU n où A est une matrice carrée de taille p. Alors, pour tout entier naturel n, on a : U n =A n U 0. Démonstration : On démontre cette propriété par récurrence. • Initialisation :
U 0 =A 0 U 0 car A 0 =I p• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :
U k =A k U 0 - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 : U k+1 =A k+1 U 0 U k+1 =AU k =AA k U 0 =AA k U 0 =A k+1 U 0• Conclusion : La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit :
U n =A n U 0. Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matrices Vidéo https://youtu.be/62U34Kl4o1I Soit deux suites numériques couplées
u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 =1 v 0 =-1 et u n+1 =3u n -v n v n+1 =-2u n +2v nCalculer
u 6 et v 6 . On pose pour tout entier naturel n : U n u n v nOn pose encore :
A= 3-1 -22 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3On a alors U 0 1 -1 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n . On alors U n =A n U 0 et donc en particulier U 6 =A 6 U 0 . Soit en s'aidant de la calculatrice : U 6 3-1 -22 6 1 -12731-1365
-27301366 1 -1 4096-4096
On en déduit que
u 6 =4096 et v 6 =-4096. II. Convergence de suites de matrices colonnes Définitions : On dit qu'une suite de matrices colonnes
U n de taille p est convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de U nsont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les p limites obtenues. Dans tous les autres cas, on dit que la suite est divergente. Exemples : Vidéo https://youtu.be/dbP7R-9Q2_s a) La suite
U n définie pour tout entier naturel n par U n n 2 3n+1 est divergente car lim n→+∞ n 2 et lim n→+∞3n+1=+∞
. b) La suite U n définie pour tout entier naturel n non nul par U n 1 n n 2 +2 n 2 +1 est convergente et sa limite est la matrice colonne U= 0 1 . Propriété : U nest une suite de matrices colonnes de taille p définie par la relation matricielle de récurrence
U n+1 =AU n +Boù A est une matrice carrée de taille p et B est une matrice colonne à p lignes. Si la suite
U n est convergente alors sa limite U est une matrice colonne vérifiant l'égalitéU=AU+B
. Démonstration : lim n→+∞ U n+1 =U et lim n→+∞ AU n +B=AU+B . Par unicité des limites, on aU=AU+B
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 Méthode : Recherche d'une suite constante vérifiant une relation de récurrence Vidéo https://youtu.be/C-2-1yf-O4A Soit une suite
U n de matrices colonnes définies pour tout entier naturel n par U n+1 =AU n +B avec A= 20,5 3-2 et B= 2 1 . Rechercher, si elle existe, la suite U n constante. Résolvons l'équation matricielleU=AU+B
. SoitU-AU=B
soit encore I 2 -A U=BEt donc
U=I 2 -A -1 B I 2 -A= 10 01 20,5 3-2 -1-0,5 -33A l'aide la calculatrice, on obtient :
I 2 -A -1 -1-0,5 -33 -1 -2 3 -1 9 -2 3quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] les suites cours pdf
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