[PDF] TD no1 : suites numériques un) × (limn vn). Exercice 5 :

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MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier

2013-2014Grenoble

TD n o1 : suites num´eriques Rappel important :il existe un cours de L1 en ligne, intitul´e "M@ths en L1gne",`a l"adresse :http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/Plusieurs des exercices

ci-dessous en sont d"ailleurs tir´es. Il est crucial, pour toute la partie du cours sur les s´eries

num´eriques, d"ˆetre `a l"aise avec les suites num´eriques, les notions de limite et de continuit´e

et les d´eveloppements limit´es. V´erifiez donc cette aisance `a l"aide des QCM, exercices, cours

et compl´ements du site.

Exercice 1 : Quelques exemples

Donner des exemples des situations suivantes :

1. Une suite d´ecroissante positive ne tendant pas vers 0.

2. Une suite born´ee non convergente.

3. Une suite positive non born´ee ne tendant pas vers +.

4. Une suite non monotone qui tend vers 0.

5. Deux suites divergentes ()et ()telles que ()soit convergente.

Exercice 2 : Des suites d´efinies par r´ecurrence Soitune fonction continue de [01] dans [01] telle que(0) = 0,(1) = 1 et ]01[ ()

1. On d´efinit par r´ecurrence une suite ()≥0:

?0[01]

0 +1=()

Montrer que la suite ()≥0converge et donner sa limite.

2. On d´efinit par r´ecurrence une suite ()≥0:

?0= 12 0 +1= 2 Montrer que la suite ()≥0converge et donner sa limite.

Exercice 3 : Applications contractantesSoitun intervalle ferm´e deR,une application dedans lui-mˆeme etun nombre r´eel

de [01[. On suppose quev´erifie : Montrer que la suite ()d´efinie par0et+1=() converge, et que sa limite est l"unique point fixe de. On pourra commencer par montrer que ()est une suite de

Cauchy.

Exercice 4 : Limite d"un produit

Rappeler la d´emonstration du r´esultat suivant. Soient()et()des suites de nombres complexes. Si()et()convergent, alors ()converge etlim= (lim)(lim). Exercice 5 : Calcul de limites `a l"aide des fonctions usuelles Calculer la limite, si elle existe, des suites suivantes.

1.=+ 1

3 + 2 2.=10 101
3.=1 + 1 4.=4? log? 11 2? +12? 5.=!

6.= tan(1)cos(2+ 1)

7.=(+ 1)2

(+ 1)33 8.=

3 +log(2)

log

9.=log(2+ 32)

log(13)

10.=(2

n1)

Exercice 6 : D´eveloppements limit´es

Donner un d´eveloppement limit´e pour ()(lorsquetend vers l"infini) avec un reste en (12), dans chacun des cas suivants :

1.=+ 1

3 + 2

2.=log?11

+12??

113.=11

⎷+ 2 4.=? 1 +1 +2

Exercice 7 : Borne sup´erieure, borne inf´erieurePour chacun des ensembles suivants, d´eterminer s"il est major´e, s"il est minor´e, s"il a

un maximum, s"il a un minimum, et le cas ´ech´eant d´eterminer ses bornes sup´erieures et inf´erieures.

1.=(1)N

2.=(1)N?

3.=(1)N?4.=?+1

+2N? 5.=?1 1N??

Exercice 8 : Suites extraites

Soit ()une suite complexe.

1. Montrer que si les suites extraites (2)et (2+1)convergent vers la mˆeme limite,

alors ()converge.

2. Montrer que si les suites extraites (2), (2+1)et (3)convergent, alors ()

converge aussi.

Exercice 9 : Une somme t´el´escopique

1. D´eterminer trois r´eelstels que pour toutRdiff´erent de 0, 1 et1 on

ait :1 (21)=1+++ 1

2. En utilisant cette relation pour= 23, d´eterminer pour chaque entier2

une expression simple de =21 (21)=12(221)+13(321)++1(21)

3. En d´eduire que la suite ()converge et d´eterminer sa limite.

Exercice 10 : Suites adjacentes

1. Pour chacun des couples suivants, montrer que les suites ()et ()sont adja-

centes. (a)=? =11

2et=+1.

(b)=? =113et=+12. (c)0= 0,0= ,+1=+

2et+1=.

2. On d´efinit `a pr´esent les suites ()et ()par=?

=11 !et=+1!. (a) Montrer que ces suites sont adjacentes. Leur limite commune est not´ee(c"est exp(1) =1). (b) Montrer quen"est pas rationnel (on pourra raisonner par l"absurde : en sup- posant que=, on peut noter que, pour toutN, on a! ! !; choisirtel que!soit entier permet alors de conclure).

Exercice 11 : Moyennes de C´esaro

Soit ()≥1une suite de nombres complexes. On note : 1 =1 (1++)

1. Montrer que si ()converge dansC, alors ()converge vers la mˆeme limite.

2. Exhiber une suite ()divergente telle que ()converge.

3. Soit ()une suite de nombre r´eels strictement positifs telle que+1

converge.

Montrer que (1)converge vers la mˆeme limite.

Exercice 12 : Limite sup´erieure et limite inf´erieure Soit ()≥0une suite born´ee de nombres r´eels. On d´efinit les suitesetpar :

N = inft.q.et= supt.q.

1. Montrer que ()et ()convergent. La limite deest appel´eelimite inf´erieure

de la suite()et est not´ee liminf. Celle deest appel´eelimite sup´erieure de la suite()et est not´ee limsup.

2. Montrer qu"il existe une sous-suite de ()convergeant vers liminfet une autre

convergeant vers limsup . Cela donne donc une autre d´emonstration du th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.

3. Montrer que ()converge si et seulement si ()et ()convergent dansRvers

la mˆeme limite. MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier

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TD n o2 : S´eries `a termes positifs

Exercice 13 : Nature de s´eries

D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral : 1.= 5+ 1;

2.=2+2

32+ 1;

3.=1 n + 1; 4.=1 n1+ 1;

5.=ln?

1 +1 (1); 6.=-

4 + sin;

7.=1ln(1 +1

)+ 1;8.=ln 9.=? 1 +1 (1);

10.=-;

11.=-⎷

12.=? 11 (2); 13.=! (1);

14.=ln

(1) (discuter selon la va- leur du r´eel);

15.= tan?1

1;

16.=2?

1 nsin1cos1? ln(11)? 2?

Exercice 14 : Transformation I

Soit ()une suite de nombres positifs telle que?converge.

Montrer que la s´erie?

+ 1converge. Exercice 15 : S´erie `a terme g´en´eral d´efini par une r´ecurrence

Soit ()la suite d´efinie par0= 1 et+1=sin

+ 1. Montrer que pour toutNon a[01], puis montrer que la s´erie?converge. Exercice 16 : S´eries `a terme g´en´eral positif d´ecroissant Soit ()une suite positive d´ecroissante telle que?converge. Montrer que pour tout

0 il existeNtel que pour tout on ait ()?. En d´eduire que

tend vers 0 quandtend vers +. Donner un exemple de suite positive ()telle que?converge etne tend pas vers 0.

Exercice 17 : Transformation II

Soit ()une suite `a termes positifs, et notons=1

1 +2.

1. Montrer par des exemples que la divergence de

?ne permet pas de d´eterminer la nature de?. On suppose dans la suite que?converge et on va montrer que?diverge.

2. Traiter le cas o`u2ne tend pas vers +.

3. Traiter le cas o`u2+en appliquant l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz `a?

=0 1212.
Exercice 18 : Transformation III - d´eriv´ee logarithmique Soit ()une suite r´eelle positive. Pour toutN?on note=-1? =0

Comparer la nature des s´eries

?et? (indication : on pourra consid´erer log+1log). MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier

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TD n o3 : s´eries `a termes quelconques

Exercice 19 : Natures de s´eries

D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :

1.=(1)

ln;

2.=(1)

1 +(1)?

3.=(1)

+ (1);

4.=(1)

+en fonction deC;

5.=(1)

?+ (1);6.= sin?(1)

7.= 1?

1(1);

8.=cos(3)

ln();

9.=(1)cos()

ln(ln()).

Exercice 20 : Lin´earisations

Rappeler la formule d"Euler sur les polynˆomes trigonom´etriques puis d´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :

1.=sin3()

2.=sin()cos()

o`uNsont fix´es etetde parit´es diff´erentes ou bien si

3.=sin()

Exercice 21 : Comparaison avec une int´egrale

En utilisant la comparaison avec une int´egrale, ´etudier en fonction deRla nature des s´eries suivantes : 1.?

1(ln); 2.?1(ln)(ln(ln)).

Indication : on pourra dans le premier cas calculer la d´eriv´ee de(ln).

Exercice 22 : Petits "o"

Soit () une suite `a termes r´eels.

1. Donner un exemple tel que?converge et?2diverge.

2. On suppose maintenant que?et?2convergent et queest une application de

RdansRdeux fois d´erivable en 0, telle que(0) = 0. Montrer que?() converge.

Exercice 23 : Calcul de sommes

Montrer que les s´eries suivantes convergent et calculer leurs sommes : 1. =3?

3-+2+ 2-+3?2.∞?

=1 2+ 2 !3.∞? =0cos()! Exercice 24 : Formule de Taylor avec reste int´egral On notela fonctionln(1 +) d´efinie sur ]1+[ et on fixe]11].

1. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral=(1)-1

(o`u?1) converge.

2. Montrer que sa somme v´erifie

=1(1)-1 = ln(1 +)

3. En d´eduire la somme de

=1(1) et de∞? =212.

Exercice 25 : Calcul de

?1-1

Soitun nombre r´eel, avec1.

1. Montrer que?

et? -1convergent.

2. Donner des expressions ferm´ees (c"est-`a-dire sans signe?) de

=0 et? =1 -1

3. En d´eduire la valeur de?

?1-1.

4. Montrer que les s´eries suivantes convergent et calculerleurs sommes :

(a) =1? (2)3-+ (3)2-?(b)∞? =1(22)3-

Exercice 26 : Attention `a la semi-convergence

Soit ?une s´erie convergente `a termes complexes. Montrer que la s´erie?n converge.

Exercice 27 : Un pot-pourri

Soientetdeux r´eels. On consid´ere la s´erie?avec=n +n.

1. On suppose 1. Pour quelles valeurs dela s´erie est-elle absolument convergente?

2. Mˆeme question pour1.

3. On suppose=1. Pour quelles valeurs dela s´erie est-elle convergente?

4. Repr´esenter dans le plan les points de coordonn´ees () tels que la s´erie est absolu-

ment convergente, convergente, divergente.

Exercice 28 : R`egle de Raabe-Duhamel

Soit ()une suite de r´eels strictement positifs. On suppose qu"il existe 0 et 1 tels que : +1 = 1+?1?

1. Pour toutN, on pose=. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral lnn+1

nconverge.

2. En d´eduire la nature de la s´erie de terme g´en´eral.

Exercice 29 : Attention `a l"ordre de sommation.

On consid`ere la s´erie semi-convergente

(1) . Montrer que pour toute limite [+], on peut trouver une bijection:NNtelle que la s´erie? ()converge vers. MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier

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TD n o4 : Int´egrabilit´e des fonctions `a valeurs positives

Exercice 30 : Rappels de primitives

Pour chacune des int´egrales suivantes,

- d´eterminer les intervallestels que l"int´egrale soit bien d´efinie lorsqueetsont dans - calculer alors la valeur de l"int´egrale, - d´eterminer siest compact ou non, - si sup(resp. inf) n"appartient pas `ad´eterminer la limite de l"int´egrale, si elle existe lorsquetend vers sup(resp. lorsquetend vers inf). 1. avecN 2.? (), avecpolynˆome de degr´e 3.? avecC 4.? 5. 1 6. 13 7. 1 1+2

Exercice 31 : Une fraction rationnelle

1. D´eterminer trois r´eelstels que pour tout 0 :

1 (+ 1)(+ 2)=++ 1++ 2

2. Calculer pour 0 :

1 (+ 1)(+ 2)

3. Quelle est la limite lorsque+de()? Que peut-on donc dire de l"int´egrale

impropre?+∞ 1 (+1)(+2)?

Exercice 32 : Changement de variable

Soit[0+[. Calculer() =?

0 chpuis d´eterminer la limite de() lorsque Exercice 33 : Int´egration par partiesD´eterminer une primitivede la fonction : [0+[[0+[ 2-

En d´eduire que l"int´egrale impropre

0()converge, et d´eterminer sa valeur.

Exercice 34 : Nature d"int´egrales impropres

D´eterminer la nature de chacune des int´egrales impropressuivantes. 1. 1ln 2. 1 0ln 3. 0ln 4. 1sin 2+ 1; 5. 0

1 +2sin;

6. 1ln 7. 0 (+ 2

2+ 4+ 1);8.

1 (3

3+ 12+ 1);

9. 1 2-; 10. 2 (ln)3; 11.

12 + sin+ sin2

34+2;
12. -2; 13. 1 0ln 1; Exercice 35 : Limite et convergence de l"int´egrale

1. Soit: [0+[[0+[ une fonction continue par morceaux telle que()

quand+, avec 0 ou= +. Montrer que?+∞

0()diverge.

2. Donner un exemple de fonction continue par morceaux: [0+[[0+[ telle

que()0 quand+et?+∞

0()converge.

Exercice 36 : Deux ´equivalents

1. D´eterminer la nature des int´egrales impropres

1 0 et? 1

2. Pour tout 0, on pose() =?

-. Calculer sa limite en +.

3. Utiliser une int´egration par parties pour montrer que :

4. Montrer que :

()→0+ln1

Exercice 37 : D´eriv´ee logarithmique

Soit: [0+[]0+[ une fonction continue. Pour tout[0+[ on note() =? 0

Montrer que les int´egrales impropres

1 ()et? 1() ()ont mˆeme nature. Exercice 38 : Tir´e de l"examen de rattrapage 2010

Pour tout entier?0 on pose

(+1) cos 2

1 + =?

(+1) sin 21 +

1. Calculer:=+et v´erifier que la s´erie?

diverge.

2. En utilisant une int´egration par parties, montrer que pour tout 0 on a

?1 22

3. D´eduire des r´esultats pr´ec´edents que

et? sont deux s´eries divergentes.

4. Siest un param`etre r´eel, on pose

() =sin2 (1 +)?0 D´eterminer les valeurs depour lesquelles la fonctionest int´egrable sur [0+[. MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier

2013-2014Grenoble

TD n o5 : Int´egrales impropres, cas g´en´eral

Exercice 39 :

|sin()| n"est pas absolument convergente

Pour tout1, on pose :

(+1) sin()

1. D´eterminer un r´eel 0 tel que pour tout[+

4+34],sin() .

2. En d´eduire un r´eel 0 tel que

+1pour tout1.

3. En d´eduire que

|sin()| est divergente.

Exercice 40 : Nature d"int´egrales impropres

D´eterminer la nature de chacune des int´egrales impropressuivantes. 1. 2cos ln(); 2.

1sin(1)

ln(); 3. 1sin 4. 1

12+14sin();5.

1 0cos 2 6. 1sin 3() + 2; 7. -∞sin 2() (12)ln;

Exercice 41 :

0()pour une fonction p´eriodique de moyenne nulle

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